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叠代法

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叠代法 - PowerPoint PPT Presentation


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叠代法. 以力矩分配法为依托 含结点叠代及侧移叠代 中间计算错误不影响最后精度 叠代收敛. …………… ( 1 ). 改写为:. 考虑如下线性方程组. 预备知识. 解此线形方程组采用两种叠代方法. 第一种叠代:(雅可比叠代). 2. 以新值 , 再代入( 1 )式右边,得更新的 x 1 , x 2 为 : ,. 3. 重复 2 的计算,第 7 次叠代得: ,.

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叠代法

以力矩分配法为依托

含结点叠代及侧移叠代

中间计算错误不影响最后精度

叠代收敛

slide2

……………(1)

改写为:

考虑如下线性方程组

预备知识

解此线形方程组采用两种叠代方法

第一种叠代:(雅可比叠代)

slide3

2.以新值 , 再代入(1)式右边,得更新的x1,x2为 : ,

3.重复2 的计算,第7次叠代得: ,

1. 给定x1,x2的初值 ,,代入方程(1)的右边后得x1=1.0 ,x2 = -0.8,记为 , ;

给定精度

此值与准确值x1=1.5 ,x2 = -1.0, 相差很小

4.一般地,如果第n次叠代与第n+1次叠代满足给定的精度,叠代即可结束。

slide4

给定x1,x2的初值 ,,以x20=1.0代入(1)的右边后得

2.以 代入方程(2)的右边,又得

3.以 代入方程(1)的右边,得

4.以 代入方程(2)的右边,又得

第二种叠代:(赛德尔叠代)

重复以上过程,直到满足精度

本问题上述两种叠代都收敛时,赛德尔叠代快些。在后面的叠代计算中,一般以第二种叠代方法进行计算 。

slide5

简式多层刚架

非简式多层刚架

简式刚架的定义:

梁是贯通该楼层,每层各柱有共同的线位移

叠代法计算简式多层刚架

slide6

k

i

考虑 i k 杆,由杆端转角位移方程

一、基本公式推导

slide7

………(1)

………(2)

………(3)

则,上面3个方程变为:

slide8

1.转角弯矩 的计算公式

i

…..(4)

记,

它是与 i 结点相连各杆在i端的固端弯矩之和,称为不平衡力矩

  • 式中: , 分别表示i ,k 两端的转角弯矩, 表示侧移弯矩

假定与结点i 相连的杆件有若干个,则由结点i的弯矩平衡,结合方程(4),有:

slide9

  • (4)式可写成

注意到i 结点各杆i 端转角相同,得:

slide10

称为 i 结点的转角弯矩分配系数

………..(5)

当结构为无侧移刚架时,

  • 由 的定义
slide11

Pn

Pm

H

q

Vr1

Vrs

Vr2

Vrj

Vri

第 r 层

代入

考虑第r层以上为研究对象。如图,第 r 层柱顶剪力分别为:

Vr1 ,Vr2,Vri,Vrj,Vrs

  • 2.侧移弯矩 的计算公式

由∑X=0 ,得

∑P+∑qH -∑Vik =0

slide12

注意到

并记

称为楼层剪力,得:

  • 得:
slide13

由定义,

  • 同层楼的 相同,由上式 解得
slide14

称为柱高简化系数,得:

………..(6)

  • 记, 为第r层各柱中众数较多的柱高,则上式右端分子、分母同乘 ,得:
slide15

当同层柱高相同,即 =1 ,则(6)变为:

……..(6-1)

称为楼层力矩

  • 式中,

称为侧移弯矩分配系数

slide16

在叠代结束后,求得各杆杆端的 及 ,依(1),(2),(3)式可求最终杆端弯矩和剪力

………(1)

………(2)

………(3)

  • 3.最终杆端弯矩求解公式
slide17

1.计算各杆的固端弯矩,并求各结点的不平衡力矩1.计算各杆的固端弯矩,并求各结点的不平衡力矩

2.计算各楼层剪力,楼侧力矩 (计算无侧移刚架时,

可省略)

3.计算各结点的弯矩分配系数 和楼层侧移弯矩分配系数

4.事先任意选择叠代结点顺序、结点编号后顺序进行 的

叠代,楼层编号后进行 叠代(5,6两式)

5.满足精度后,依

确定杆端弯矩 (1,2,3式)

二、计算步骤

6.作出弯矩图

slide18

2

1

1.2

6m

0.1

0.1

1 kN/m

5

4

3

1.5

1.5

0.3

4m

0.2

0.2

8

2m

7

6

4m

4m

  • 三、计算例题
slide19

2

1

1.2

6m

0.1

0.1

1 kN/m

5

4

3

1.5

1.5

0.3

4m

0.2

0.2

8

2m

7

6

4m

4m

1)固端弯矩和结点不平衡力矩

  • 解:

MF13=MF36= -MF31= -MF63= 3 kNm ,MF1=3kNm ,其余为零

2)计算楼层力矩

柱顶固端剪力VF13=VF36= -3kN ,上层剪力:3 kN ,

下层剪力:1×6+3=9 kN

M上=3×6/3=6kNm ,

M下=9×6/3=18kNm

slide20

2

1

1.2

6m

0.1

0.1

1 kN/m

5

4

3

1.5

1.5

0.3

4m

0.2

0.2

8

2m

7

6

4m

4m

  • 3)计算转角分配系数

以结点4为例

slide21

2

1

1.2

6m

0.1

0.1

1 kN/m

5

4

3

1.5

1.5

0.3

4m

0.2

0.2

8

2m

7

6

4m

4m

(因为13杆与24杆相同)

4)计算侧移分配系数

slide22

侧移弯矩叠代

上层: ,设初值为零,即 , 。

此处ik=13和42两柱。

由于楼层力矩大于结点力矩,故,先进行楼层叠代,后进行结点弯矩叠代。

楼层顺序:先上层,后下层

结点顺序:1,2,3,4,5

5)选叠代顺序

6)叠代步骤

第一轮

slide23

转角弯矩叠代

下层:

结点1:

slide24

结点2:

注意:结点2的两个远端中, 此时已有值

  • 结点1
slide27

注意:结点5的两个远端中, 是已有值

  • 结点5:

第二轮计算

注意: 在进行第二轮计算时,使用第一轮的结果。

slide28

0

-0.462

3

-0.462

-0.038

1.759

0.693

-0.038

0.145

0.057

楼层力矩

分配系数

侧移弯矩

侧移弯矩

6.0

-0.75

-0.75

-4.5

-4.5

0.265

0.082

-0.028

-0.015

0

-0.461

-0.417

0

-0.2275

0

-0.2275

1.238

-0.038

3.937

-0.056

-0.03

1.238

4.190

0.3818

0.530

楼层力矩

分配系数

侧移弯矩

0.163

-0.627

18.0

-0.279

-5.022

-0.279

-5.022

-11.286

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