Pravdepodobnosť

1. Pravdepodobnosť Základy teórie pravdepodobnosti

2. Teória pravdepodobnosti tvorí teoretický základ pre posudzovanie spoľahlivosti a presnosti výberových postupov pri popise náhodných javov – popisná štatistika a pri analýze náhodných javov – induktívna štatistika

3. Základné pojmy • Náhodný jav je jav ktorý ako výsledok určitého pokusu môže alebo nemusí nastať. • Extrémnymi prípadmi javov je jav istý a jav nemožný • Jav istýje taký jav, ktorý ako výsledok daného pokusu nastane vždy • Jav nemožnýje taký jav, ktorý ako výsledok pokusu nemôže nastať nikdy

4. Klasická definícia pravdepodobnosti(Pierre Simon Laplace) • n - počet všetkých možných výsledkov pokusu • m - počet výsledkov pokusu, v ktorých jav A nastane (priaznivé výsledky)

5. Príklad 1 5 Medzi mestami M1 a M2, vzdialenými od seba 4 km, ktoré sú spojené telefónnym káblom nastalo prerušenie spojenia. Hľadáme pravdepodobnosť, že k pretrhnutiu kábla došlo v prvých 500 metroch.

6. Štatistická definícia pravdepodobnosti(Richard von Mises) Pri n-krát opakovaní pokusu je relatívna početnosť Pri malom počte pokusov má relatívna početnosť náhodný charakter S rastúcim počtom pokusov sa však približuje k určitému číslu - pravdepodobnosti P(A) 6

7. Základné vlastnosti pravdepodobnosti • Pre každý náhodný jav A platí: • Pravdepodobnosť javu istého je rovná jednej • Pravdepodobnosť javu nemožného je rovná nule: • Pravdepodobnosť javu opačného je

8. Násobenie pravdepodobnosti(prienik, a súčasne) Ak sa súčasne objavia dva javy nastáva prienik pravdepodobností 1. Ak sú javy A a B nezávislé: 2. Ak sú javy A a B závislé:

9. Prienikpravdepodobností • je to pravdepodobnosť súčasného vzniku udalostíA aj B

10. Podmienená pravdepodobnosť • Podmienená pravdepodobnosť javu A vzhľadom k uskutočneniu javu B • Podmienená pravdepodobnosť javu B vzhľadom k uskutočneniu javu A

11. Príklad 2 Hod dvomi kockami. Jav A nastane ak súčet na oboch kockách je rovný 4. Jav B znamená padnutie nepárneho počtu na prvej kocke.

12. Bayesov vzorec Vyjadruje podmienenú pravdepodobnosť nastatia javu A, keď nastal jav B.

13. Nezávislosť javov A a B Dva javy A a B sú nezávislé, ak pravdepodobnosť jedného z nich P(A) alebo P(B) nezávisí na tom, či druhý jav nastal alebo nenastal alebo

14. Sčítanie pravdepodobnosti(zjednotenie, alebo) Pravdepodobnosť zjednotenia dvoch javov sa rovná súčtu ich pravepodobnosti zmenšenom o pravdepodobnosť ich prieniku

15. Sčítanie pravdepodobnosti nezlučiteľných javov Ak sú javy A, B nezlučiteľné, potom súčet pravdepodobností je

16. Sčítanie pravdepodobnosti závislých a nezávislých javov Ak sú javy A a B nezávislé, potom Ak sú javy A a B závislé, potom