1 / 111

Sudaryatno Sudirham

Sudaryatno Sudirham. Kapita Selekta Matematika. Bilangan Kompleks Permutasi dan Kombinasi Aritmatika Interval. Klik untuk melanjutkan. Bilangan Kompleks. Definisi. Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan kompleks sebagai berikut.

vernon-vance
Download Presentation

Sudaryatno Sudirham

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Sudaryatno Sudirham KapitaSelektaMatematika BilanganKompleks PermutasidanKombinasi Aritmatika Interval Klikuntukmelanjutkan

  2. BilanganKompleks

  3. Definisi Dalambuku Erwin Kreyszigkitabacadefinisibilanganbilangankomplekssebagaiberikut Bilangankomplekszialahsuatupasanganterurut (x,y) daribilangannyatax, y, yang kitatuliskan bagiannyata (real part) dariz bagiankhayal (imaginary part) dariz kitatuliskan Kita akanmencobamemahamidefinisiinisecaragrafis, mulaidaripengertiantentangbilangannyata.

  4. BilanganNyata | | | | | | | | -2 -1 0 1 2 3 4 5 Kita mengenalbilangannyatabulatseperti 1, 2, 3 danseterusnya; bilangannyatapecahan ¼, ½, ¾ danseterusnya, sertabilangannyata yang hanyadapat di angankanseperti. Walaupunhanyadapatdiangankan, bilanganinitetapnyata, nilainyaadalah 3,14……., denganangkadesimal yang takdiketahuiujungnya. Secaragrafis, bilangannyatadapatdigambarkanposisinya di suatusumbu yang disebutsumbunyata,

  5. Tinjaulahsuatufungsi tidak adanilai y yang nyata untuk xnegatif namununtukx yang negatifdapatdidefinisikansuatubilanganimajiner(khayal)

  6. Jikabilangannyata 1 menjadisatuandaribilangannyata, misalnya makabilanganimajinerj = 1menjadisatuandaribilanganimajiner, misalnya

  7. PernyataanBilanganKompleks bagianimajiner bilangankompleks Satubilangankomplekszmerupakanjumlahdarikomponennyatadankomponenimajinerdandituliskan bagiannyata

  8. Bilangankompleksdapatdigambarkan di bidangkompleks yang dibatasioleh sumbunyata (diberitanda Re) dan sumbuimajiner (diberitandaIm) yang salingtegaklurussatusama lain setiaptitik di bidangkompleksmenunjukkanposisibilangan-kompleks(x,,y) denganxadalahkomponennyatadanyadalahkomponenimajiner-nya

  9. Diagram Argand disebut modulus Im jb disebutargumen   Re a

  10. CONTOH Suatubilangankompleksdinyatakansebagai Sudutdengansumbunyataadalah Pernyataanz1dapatkitatuliskan

  11. CONTOH Suatubilangankompleksdinyatakansebagai Pernyataaninidapatkitatuliskan

  12. KesamaanBilanganKompleks merupakannilaimutlak Modulus Duaataulebihbilangankompleksbisasajamemilikinilai yang samaakantetapidengansudut yang berbeda; atausebaliknyamempunyainilaisamaakantetapimemiliki yang berbeda. Duabilangankompleksdikatakansamabesarjikamerekamempunyaibaikmaupun yang samabesar. Dengankata lain, merekamemilikibagiannyatadanbagianimajiner yang samabesar..

  13. NegatifdariBilanganKompleks Im jb Re a Nilainegatifdarisuatubilangankompleksadalahnilai negative darikeduakomponennya Jika maka

  14. CONTOH Jika maka Sudutdengansumbunyata z1dapatdinyatakansebagai

  15. KonjugatBilanganKompleks Im  Re Konjugatdarisuatubilangankomplekszadalahbilangankompleksz*yang memilikikomponennyatasamadenganztetapikomponenimajinernyaadalahnegatifdarikomponenimajinerz.

  16. CONTOH: Im Re Jika maka Sudutdengansumbunyata zdapatdinyatakansebagai

  17. CONTOH: Im Re Im Re maka maka Jika Jika

  18. Operasi-Operasi Aljabar

  19. Penjumlahan dan Pengurangan BilanganKompleks Hasilpenjumlahanduabilangankompleksmerupakanbilangankompleks yang komponennyatanyamerupakanjumlahkomponennyatadankomponenimajinernyajugamerupakanjumlahkomponenimajiner. Hasilselisihduabilangankompleksadalahbilangankompleks yang komponennyatanyamerupakanselisihkomponennyatadankomponenimajinernyajugamerupakanselisihkomponenimajiner.

  20. CONTOH: Diketahui

  21. PerkalianBilanganKompleks Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakansepertihalnyakitamelakukanperkalianjumlahduabilangan, yaitudenganmalakukanperkaliankomponen per komponen Jika Perhatikan:

  22. CONTOH: CONTOH:

  23. PembagianBilanganKompleks Hasilbagisuatupembagiantidakakanberubahjikapembagianitudikalikandengan 1 CONTOH:

  24. PernyataanBilanganKompleksBentuk Polar

  25. FungsiEksponensialKompleks Jikax adalahbilangannyatamakafungsiekponensial merupakanfungsiekponensialnyata; ymemilikinilainyata Jikazadalahbilangankompleks fungsieksponensialkompleksdidefinisikan Melaluiidentitas Euler fungsiexponensialkompleksdapatkitatuliskan

  26. Bentuk Polar Im Re Im Re Representasi bilangankompleksdalambentukpolaradalah CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5 Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennyaz = 0,5 rad Bentuk sudut sikunya adalah:

  27. CONTOH: Im Re Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4 Modulus Argumen z = 5e j0,93 Representasi polar

  28. CONTOH: Im Re Misalkan Modulus Argumen tidak bernilai tunggal Di sini kita harus memilih  =  radkarenakomponenimajiner 0 sedangkankomponennyata2

  29. CONTOH Im Re . Misalkan Modulus Argumen komponennyata: 0 komponenimajiner: 2 Representasi polar adalah

  30. ManfaatBentuk Polar

  31. PerkaliandanPembagianBilanganKompleks Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian. CONTOH: Misalkan z1= 10 e j0,5danz2= 5 e j0,4

  32. Konjugat Kompleks argumenkonjugatberlawanandenganargumenbilangankompleksasalnya Im Re Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugat bilangankomplekslainnyaadalah sebagai berikut

  33. CONTOH: Misalkan

  34. Kuliah Terbuka BilanganKompleks SudaryatnoSudirham

  35. Sudaryatno Sudirham

  36. Permutasi

  37. PermutasiadalahbanyaknyapengelompokansejumlahtertentukomponenPermutasiadalahbanyaknyapengelompokansejumlahtertentukomponen yang diambildarisejumlahkomponen yang tersedia; dalamsetiapkelompokurutankomponendiperhatikan Misalkantersedia 2 hurufyaituA danB dankitadimintauntukmembuatkelompok yang setiapkelompoknyaterdiridari 2 huruf Kelompok yang yangbisakitabentukadalah diperoleh 2 kelompok Ada duakemungkinanhuruf yang bisamenempatiposisipertamayaituA atauB JikaA sudahmenempatiposisipertama, makahanyasatukemungkinan yang bisamenempatiposisikeduayaituB JikaB sudahmenempatiposisipertama, makahanyasatukemungkinan yang bisamenempatiposisikeduayaituA

  38. diperoleh 6 kelompok Misalkantersedia 3 hurufyaituA, B, danC Kelompok yang setiapkelompoknyaterdiridari 3 hurufadalah: Jikasalahsatukomponensudahmenempatiposisipertama tinggal 2 kemungkinankomponen yang dapatmenempatiposisikedua Jikasalahsatukomponensudahmenempatiposisipertama dansalahsatudari 2 yang tersisasudahmenempatiposisikedua makahanyatinggal 1 kemungkinankomponen yang dapatmenempatiposisiterakhiryaituposisiketiga Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah Jumlahkemungkinankomponen yang menempatiposisipertama Jumlahkemungkinankomponen yang menempatiposisiketiga Jumlahkemungkinankomponen yang menempatiposisikedua

  39. Dari 4 hurufyaituA, B, CdanDkitadapatmembuatkelompok yang setiapkelompoknyaterdiridari 4 huruf Kemungkinanpenempatanposisipertama : 4 Kemungkinanpenempatanposisikedua : 3 Kemungkinanpenempatanposisiketiga : 2 Kemungkinanpenempatanposisikeempat : 1 jumlahkelompok yang mungkindibentuk 4321=24 kelompok yaitu: ABCD BACD CDAB DABC ABDC BADC CDBA DACB ACBD BCAD CABD DBCA ACDB BCDA CADB DBAC ADCB BDAC CBAD DCAB ADBC BDCA CBDA DCBA ada 24 kelompok

  40. Secaraumumjumlahkelompok yang dapatkitabangun darin komponen yang setiapkelompokterdiridarin komponenadalah Kita katakanbahwapermutasidarinkomponenadalahn! dankitatuliskan Kita baca : n fakultet Namundarin komponentidakhanyadapatdikelompokkan dengansetiapkelompokterdiridarin komponen, tetapijugadapatdikelompokkandalamkelompok yang masing-masingkelompokterdiridarik komponendimanak < n Kita sebutpermutasik darin komponendankitatuliskan

  41. Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah Di sinikitahanyamengalikankemungkinanpenempatanpadaposisipertamadanketigasajayaitu 4 dan 3. Tidakadakomponen yang menempatiposisiberikutnya. Penghitungan4P2 dalamcontoh di atasdapatkitatuliskan

  42. Secara Umum: Contoh: Contoh:

  43. Kombinasi

  44. Kombinasimerupakanpengelompokansejumlahkomponen yang mungkindilakukantanpamempedulikanurutannya Jikadaritigahuruf A, B, dan C, dapat6 hasilpermutasiyaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA namunhanyaadasatukombinasidaritigahuruftersebutyaitu ABC karenadalamkombinasiurutanposisiketigahurufitutidakdiperhatikan ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA

  45. Olehkarenaitukombinasik darisejumlahn komponenharuslahsamadengan jumlahpermutasinPk dibagidenganpermutasi k Kombinasik darisejumlahn komponendituliskansebagainCk Jadi

  46. Contoh: Berapakah kombinasi dua-dua dari empat huruf A, B, C, dan D Jawab: yaitu: AB AC AD BC BD CD

  47. ContohAplikasi Distribusi Maxwell-Boltzman Distribusi Fermi-Dirac

  48. Distribusi Maxwell-Boltzman Energielektrondalampadatanterdistribusipadatingkat-tingkatenergi yang diskrit;kitasebut Setiaptingkatenergidapatditempatiolehelektronmanasaja dansetiapelektronmemilikiprobabilitas yang samauntukmenempatisuatutingkatenergi

  49. Jika Nadalahjumlahkeseluruhanelektron yang harusterdistribusidalamtingkat-tingkatenergi yang ada dankitamisalkanbahwadistribusi yang terbentukadalah makajumlahcarapenempatanelektron di E1merupakanpermutasin1dari N yaitu

  50. Jumlahcarapenempatanelektron di E2merupakanpermutasin2dari (Nn1) karenasejumlahn1sudahmenempatiE1 Jumlahcarapenempatanelektron di E3merupakanpermutasin3dari (Nn1n2) karenasejumlah (n1+n2) sudahmenempatiE1danE2 dst.

More Related