Il livello logico

1. Ram, Registro, Contatore Alu, Decoder Multiplexer Funzioni, variabili, espressioni Livello architettonico Livello logico Livello fisico Il livello logico Processore,memoria, I/O contatti, segnali e circuiti

2. Analisi e sintesi di reti combinatorie introduzione: porte logiche e operatori logici

3. Introduzione • Nella prima settimana del corso abbiamo introdotto il modello di comportamento e di struttura delle reti sequenziali (ad esempio il semaforo), e ne abbiamo descritto il funzionamento con il diagramma degli stati e la tabella di flusso • Quindi ci siamo posti l’obiettivo di progettare una rete logica (cioè un sistema di elaborazione binario) che realizzasse il funzionamento descritto dalla t.d.f. • A tal fine abbiamo codificato in binario gli stati interni, gli ingressi e le uscite della rete e abbiamo così potuto tradurre la tabella di flusso in tabella delle transizioni. La t.d.t. non è altro che un insieme di tabelle della verità che descrivono le funzioni combinatorie F e G (rispettivamente variabili di uscita e di stato futuro) • Non resta ora che imparare a “fare la sintesi” cioè disegnare lo schema logico delle reti logiche combinatorie F e G assegnate con la tabella delle transizioni, dopodichè potremo completare il progetto della rete sequenziale disegnando i rami di retroazione sulla funzione G. A quel punto potremo verificare con il simulatore l’effettiva correttezza del nostro progetto • Inoltre siamo in generale interessati a scoprire qual è il funzionamento di un rete sequenziale di cui conosciamo lo schema logico. Per prima cosa dobbiamo allora imparare “a fare l’analisi”cioè a scoprire la tabella della verità delle reticombinatorie F e G; solo a quel punto potremo puntare a disegnare il d.d.s. della rete e quindi a capirne il funzionamento • Nei prossimi lucidi possiamo studieremo uno strumento matematico (l’algebra di commutazione) che ci consente di eseguire l’analisi e la sintesi di reti logiche combinatorie composte dagli operatori logici elementari AND, OR e NOT. Questi tre operatori costuituiscono un insieme di operatori funzionalmente completo: con essi cioè è possibile realizzare qualunque rete logica combinatoria. Sintesi Analisi

4. Premessa fondamentale allo studio delle reti combinatorie: l’approssimazione del modello • Il modello di comportamento delle reti logiche combinatorie mette in relazione le uscite con il valore degli ingressi nello stesso istante (F: I  U) • Nel modello quindi si ipotizza implicitamente che il ritardo introdotto dalle reti combinatorie sia nullo. • Questa è un’approssimazione del vero comportamento dei circuiti elettronici che realizzano reti combinatorie; infatti tutti i circuiti reali introducono un ritardo, per quanto piccolo. • Estinto il ritardo, però, il comportamento del circuito elettronico è esattamente quello “modellato” dalla definizione della macchina combinatoria (F: I  U). • Si può quindi affermare che il ritardo rappresenta un fenomeno transitorio, estinto il quale il modello della macchina combinatoria riflette il funzionamento del circuito elettronico • Il funzionamento dopo il transitorio iniziale si chiama anche “funzionamento a regime”

5. ingresso i uscita u comportamento in transitorio comportamento a regime Comportamento a regime e in transitoriodei circuiti combinatori I nuovi valori dei segnali di ingresso di una rete combinatoria devono propagarsi all’interno della struttura prima di riuscire ad imporre al segnale d’uscita il valore che ad essi deve corrispondere. Ciò determina un comportamento in transitorio, che in generale sarà diverso da quello a regime. Il comportamento a regime è quello previsto dal modello.

6. Altra premessa allo studio delle reti combinatorie: le porte logiche e gli operatori elementari Gate o porta logica - Struttura formata da alcuni interruttori singolarmente azionabili dall’esterno e caratterizzata da un segnaledi uscita il cui valore a regime dipende unicamente dai valoricontemporanei dei segnali di azionamento degli interruttori. • Operatore logico elementare: rete logica combinatoria “primitiva” cioè considerata non decomponibile (vedi principio di decomposizione delle reti logiche) • Gli operatori logici elementari vengono assegnati mediante la relazione ingresso/uscita e vengono rappresentati con simboli che li identificano. Esempio: ecco i tre operatori logici elementari definiti nell’algebra di commutazione Ciascuno di essi viene realizzato con porte logiche chiamate con lo stesso nome L’operatore “or” L’operatore “not” L’operatore “and”

7. I U 0 1 1 0 + E I U Vu Vi ViVu 0 + E + E 0 +E volt oppure 0 volt 0 volt oppure +E volt Esempio: il gate “not” elettronico e l’operatore logico “not” Questo è l’operatore logico che useremo nei nostri progetti Con la codifica di Vi e Vu si ottiene la tabella della verità dell’operatore logico il quale agirà su variabili binarie Questo è il gate Se Vi= E allora l’interruttore è chiuso

8. + E causa:Vi Vu alta bassa tempo Vi effetto:Vu alta bassa tempo DT1 DT2 Velocità di commutazione:il ritardo del Not elettronico

9. Il ritardo sui fronti • Il ritardo sui fronti di salita (tLH) e di discesa (tHL) è presente in ogni tipo di gate e varia in modo notevole da dispositivo a dispositivo. • A causa della marcata differenza dei due valori, la durata di una situazione H o L in ingresso ad un gate è diversa dalla corrispondente situazione in uscita. • A causa della “inerzia” del gate, un segnale di ingresso “impulsivo” e “troppo stretto” può non essere avvertito in uscita.

10. tp Dt < tp nessun effetto tp Il ritardo di propagazione ritardo di propagazione: tp = max (tLH, tHL) • Ritardo puro • Ritardo inerziale Il modello del ritardo inerziale è il più vicino alla realtà Il ritardo puro (o matematico) è però più facile da simulare

11. x1 x2 xn Simbolo grafico dell’operatorelogico o gate “ideale” Z z ritardo di propagazione gate “reale” (o quasi) Un modello più realistico per il gate Z = F(x1, x2, .., xn) z(t) = Z(t-tp) N.B. - I Costruttori di famiglie logiche forniscono i valori minimo, nominale e massimo di t p • L’operatore logico è una astrazione: esso descrive il funzionamento del gate ideale, a ritardo nullo; descrive cioè il funzionamento del gate a regime • Il gate ha dunque un comportamento sequenziale: l’uscita all’istante t dipende dal valore degli ingressi all’istante t-tp!

12. I1 I2 U I1 I2 U 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 La relazione ingresso/uscita e il simbolo grafico degli operatori logici AND e OR Tabella della verità Operatore logico AND Simbolo grafico Tabella della verità Operatore logico OR Simbolo grafico

13. La relazione ingresso/uscita e il simbolo grafico dell’operatore NOT Tabella della verità I U Operatore logico NOT 0 1 1 0 Simbolo grafico • In una diapositiva precedente abbiamo visto come può essere fatto un gate che realizza la funzione dell’operatore logico NOT con un interruttore elettronico • Nei corsi di elettronica digitale si studieranno altre realizzazioni dello stesso gate, nonché diverse realizzazioni di gate che realizzano le funzioni degli operatori logici AND e OR • Noi studieremo un metodo di analisi e sintesi di reti combinatorie composte da operatori logici AND OR e NOT perché questi operatori possono essere realizzati con porte logiche o gate elettronici, e perché, come vedremo, con questi operatori è possibile realizzare qualunque rete combinatoria (si dice che i tre operatori AND OR e NOT costituiscono un insieme di operatori logici funzionalmente completo) • Nel prossimo lucido viene mostrato concettualmente come un AND e un OR possono essere realizzati utilizzando interruttori

14. I1 I2 AB 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 I1 I2 AB 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Il gate “and” Il gate “or” Due differenti astrazioni! Contatti in serie I1 I2 AB aperto aperto aperto aperto chiuso aperto chiuso aperto aperto chiuso chiuso chiuso {aperto = 0, chiuso = 1} {aperto = 1, chiuso = 0} A B I1 I2 I gate “and” e “or” realizzati con interruttori in serie

15. I1 I2 AB 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 I1 I2 AB 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Il gate “or” Il gate “and” Due differenti astrazioni! I1 I2 AB aperto aperto aperto aperto chiuso chiuso chiuso aperto chiuso chiuso chiuso chiuso {aperto = 0, chiuso = 1} {aperto = 1, chiuso = 0} I1 I2 A B Contatti in parallelo I gate “and” e “or” realizzati con interruttori in parallelo

16. Considerazioni sui due lucidi precedenti • Nelle due precedenti diapositive abbiamo mostrato concettualmente come un AND e un OR possono essere realizzati utilizzando interruttori • Si noti che la funzione logica realizzata dipende dalla codifica: un AND in logica positiva è un OR in logica negativa e viceversa • questo fatto è una conseguenza di un principio detto di “dualità” che vedremo successivamente

17. Analisi e sintesi di reti combinatorie algebra della commutazione

18. p p Operatore logicocombinatorio AND AND con ritardo p Introduzione • Nelle prossime diapositive studieremo uno strumento matematico (l’algebra di commutazione) che ci consente di eseguire l’analisi e la sintesi di reti logiche combinatorie composte dagli operatori logici elementari AND, OR e NOT. • Questi tre operatori costuituiscono un insieme di operatori funzionalmente completo: con essi cioè è possibile realizzare qualunque rete logica combinatoria • Trattandosi di operatori logici combinatori essi verranno considerati operatori con ritardo nullo • Quando vorremo tener conto del ritardo introdotto da un operatore utilizzeremo il modello della diapositiva n. 11:disegneremo il ritardo  con un blocco specifico sull’uscita dell’operatore (oppure indicheremo il ritardo nell’operatore stesso)

19. ? x1 x2 x3 xn Tabella della verità Rete logica combinatoria x1x2x3 … xn z= F(x1,.., xn) G3 G2 0 0 0 ……..0 0 oppure 1 z G1 1 0 0 ……..0 0 oppure 1 0 1 0 ……..0 0 oppure 1 Gk 1 1 0 ……..0 0 oppure 1 0 0 1 ……..0 0 oppure 1 0 1 1 ……..1 0 oppure 1 1 1 1 ……..1 0 oppure 1 Comportamento & Struttura di una rete logica combinatoria Nell’algebra di comutazione i blocchi Gi sono AND OR e NOT sintesi analisi

20. Algebra della commutazione È un sistema matematico che consente di eseguire l’analisi e la sintesi di reti logiche combinatorie. L’algebra della commutazione consente infatti di passare dallo schema logico alla tabella della verità e viceversa • L’algebra viene definita assegnando: • gli operatori dell’algebra • i simboli su cui gli operatori agiscono • i postulati che definiscono il comportamento degli operatori Studiare l’algebra di commutazione significa studiare le proprietà dei suoi operatori al fine di imparare a manipolare, costruire e analizzare espressioni C’è una corrispondenza biunivoca tra gli operatori dell’algebra di commutazione e gli operatori logici elementari AND OR e NOT

21. Definizione dei simbolie delle operazionidell’algebra della commutazione • L’algebra della commutazione è: • un’insieme di 3 operazioni • un insieme di 2 simboli (0 e 1): questo insieme è l’alfabeto binario su cui le operazioni dell’algebra agiscono 1) Operazioni: somma logica (+) (4 postulati, diap. 22) prodotto logico (.) (4 postulati, diap. 23) complementazione (’) (2 postulati, diap.22) Le operazionidell’algebra agiscono su costanti e variabili 2) Costanti: 0, 1 3) Variabili: simboli sostituibili o con 0 o con 1 (segue)

22. Postulati: Funzione: x zRealizzazione: 0’ = 1 0 1 z 1’ = 0 1 0 x Postulati: Funzione: x y z Realizzazione: 0 + 0 = 0 0 0 0 0 + 1 = 1 0 1 1 x 1 + 0 = 1 1 0 1 z 1 + 1 = 1 1 1 1 y Definizione delle tre operazioni dell’algebra di commutazione e dei corrispondenti operatori logici Complementazione : z = x’ , z =x , z =  x Operatore NOT Sommalogica: z = x + y , z = x  y Operatore OR (segue)

23. Postulati: Funzione: x y z Realizzazione: 0 . 0 = 0 0 0 0 0 . 1 = 0 0 1 0 x 1 . 0 = 0 1 0 0 z 1 . 1 = 1 1 1 1 y Prodotto logico: z = x . y , z = xy , z = x  y Operatore logico AND C’è una corrispondenza biunivocatra gli operatori logiciNOT, OR, AND e le tre operazioni dell’algebracomplementazione, somma logica e prodotto logico (rispettivamente rappresentate con i caratteri ‘ + .) C’è una corrispondenza biunivoca tra ingressi dell’operatore logico e operandi dell’operazione algebrica C’è una corrispondenza biunivoca tra l’uscita dell’operatore logico e il risultato dell’operazione algebrica (segue)

24. Analisi Sintesi Giustificazione delle prossime diapositive • L’algebra della commutazione è il ponte tra la struttura della rete combinatoria e la descrizione del suo comportamento (cioè della relazione tra ingressi e uscita) • rappresenteremo la struttura con il suo schema logico • rappresenteremo la relazione ingressi/uscita (cioè il comportamento) sotto forma di funzione binaria di variabili binarie • Per fare l’analisi assoceremo a ogni schema logico una espressione dell’algebra e di lì passeremo alla funzione con un procedimento detto “valutazione dell’espressione” • Per fare la sintesi impareremo a determinare una espressione dell’algebra che “descriva la funzione” da sintetizzare e quindi impareremo a disegnare lo schema logico corrispondente all’espressione trovata • Dobbiamo quindi definire i seguenti oggetti e le relative proprietà: • l’espressione dell’algebra • la funzione binaria di variabili binarie • lo schema logico • dobbiamo inoltre: • imparare a passare dallo schema logico all’espressione e viceversa • studiare il procedimento di valutazione delle espressioni • imparare a descrivere le funzioni (ad esempio con la tabella della verità)

25. Definizione di espressione dell’algebra di commutazione Espressione: - Stringafinita di costanti, variabili,operatori e parentesi, formata in accordo con le seguenti regole: 1) 0 e 1 sono espressioni 2) una variabile è una espressione 3) se A è un’espressione, lo sono anche (A’) e A’ 4) se A, B sono espressioni, lo sono anche (A+B), (A.B) • Esempi: • a+(b.c) a + bc • a’.b (a+b)’ a’b + 0 + ab’ • L’operazione di prodotto è prioritaria rispetto alla somma e non è obbligatorio racchiuderla tra parentesi. • La notazione AB indica A.B • Le parentesi sono obbligatorie solo se omettendole cambia l’ordine in cui le operazioni sono applicate agli operandi

26. x1 x0 x2 00 01 11 10 0 0 1 1 0 X2 X1 X0 Z 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 z Definizione di Funzione completamente specificata Una Funzione completamente specificata di n variabili binariez=F(x1, x2, …, xn) è l’insieme di tutte le 2ncoppie ordinate x,z  x  Bn, z  B formate da una configurazione di valori delle n variabili indipendenti xi e dal corrispondente valore della variabile dipendente z. Una funzione può essere descritta in diversi modi, come, ad esempio: Con la tabella della verità con le mappe di Karnaugh Due rappresentazioni equivalenti della stessa funzione z = F(x2, x1, x0)

27. x1, x2, …, xn n+1 colonne 2nrighe F(x1, x2, …, xn) 0 0 0 ……..0 0 oppure 1 1 0 0 ……..0 0 oppure 1 0 1 0 ……..0 0 oppure 1 1 1 0 ……..0 0 oppure 1 0 0 1 ……..0 0 oppure 1 0 1 1 ……..1 0 oppure 1 1 1 1 ……..1 0 oppure 1 Descrizione di una funzione mediante Tabella della verità La Tabella della verità è una - Descrizione tabellare di una funzione di variabili binarie Quante colonne ha la t.d.v. di una funzione di 4variabili? Quante righe ha la t.d.v. di una funzione di 8 variabili?

28. cd ab 01 11 10 00 1 0 00 0 1 0 1 b 0 a 0 0 1 1 01 1 0 1 0 1 1 1 1 0 11 0 1 1 0 10 Parità pari su 4 variabili Somma logica Descrizione di una funzione mediante Mappe di Karnaugh Mappa di Karnaugh - Rappresentazione bidimensionale della tabella della verità di una funzione di 2,3,4 variabili, i cui valori sono stati elencati sui bordi in maniera che due configurazioni consecutive siano a distanza 1, differiscano cioè per il valore di un solo bit. Esempi:

29. 01 11 10 00 01 11 10 00 0 00 1 01 11 10 1 0 cella scelta come esempio cd 0 ab celle adiacenti 1 b bc a a 2 variabili 3 variabili 4 variabili Importante proprietà delle mappe di Karnaugh:Adiacenza tra celle Coppia di celle adiacenti su mappe di Karnaugh - Due celle le cui coordinate differiscono per un solo bit. In una mappa che descrive una funzione di n variabili ogni cella ha n celle adiacenti. Regola grafica per l’adiacenza - Sono adiacenti celle aventi un lato in comune o poste all’estremità di una stessa riga o colonna.

30. ef ef 01 11 10 00 01 11 10 cd 00 cd 00 00 de de 01 01 01 11 10 00 01 11 10 bc 00 bc 11 11 00 00 10 10 01 01 ab=00 ab=01 11 11 ef ef 01 11 10 10 00 01 11 10 cd 00 10 cd 00 00 a=0 a=1 01 01 5 variabili 11 11 10 10 ab=10 ab=11 6 variabili Estensione delle mappe a 5 e a 6 variabili Ulteriore regola di adiacenza - Sono adiacenti celle che occupano la stessa posizione in sotto-mappe adiacenti.

31. Check point • Cosa è una funzione completamente specificata e come possiamo rappresentarla? • Cosa è una espressione dell’algebra di commutazione e quali operatori può includere? • Si risponda alle due domande precedenti con alcuni esempi. • Cosa è la sintesi di una rete combinatoria? • Cosa è l’analisi di una rete combinatoria? • Come si passa da un’espressione alla funzione? Col procedimento di valutazione che vediamo nelle prossime diapositive • Come si passa dalla funzione all’espressione? Con i procedimenti di sintesi che vedremo più avanti

32. Valutazione di una espressione in un punto Sia data una espressioneE in cui compaiono n variabili e sia data una configurazione binaria di queste n variabili Valutare l’espressione E nella configurazione binaria data (cioè in un particolare punto del suo dominio di definizione) significa eseguire i seguenti passi: 1 - sostituire ad ogni variabile il valore che ha nella configurazione data 2 - partendo dalle parentesi più interne sostituire ogni operazione con il corrispondente risultato calcolato applicando i postulati dell’algebra, fino ad ottenere o la costante 0 o la costante 1. Esempio: Valutiamo E(a,b,c) = a+(b.c) con a=0, b=1, c=0    0+(1.0) = 0+0 = 0 N° di valutazioni - Una espressione di n variabili può essere valutata su 2n configurazioni binarie diverse

33. Regole di priorità nella valutazione • Si ricordi che, in assenza di parentesi valgono le seguenti regole: • L’operazione di complementazione è prioritaria rispetto a prodotto e somma • L’operazione di prodotto è prioritaria rispetto alla somma e non è obbligatorio racchiuderla tra parentesi.

34. Passaggio dalla espressione alla funzione • Il passaggio dalla espressione alla funzione si chiama anche “valutazione della espressione nel suo dominio” • Valutare una espressione di n variabili nel suo dominio Bn significa costruire una tabella della verità di 2n righe (una per ogni configurazione delle n variabili) e n+1 colonne. • Ogni riga conterrà nelle n colonne più a sinistra la configurazione binaria associata alla riga stessa • Nella colonna più a destra di ogni riga si deve invece riportare la costante determinata valutando l’espressione nel punto individuato dalla configurazione binaria indicata nelle n colonne più a sinistra della riga stessa • Con la valutazione di una espressione è possibile ottenere la funzione associata all’espressione data

35. Dall’espressione alla funzione: esempio La valutazione di una espressione E(x0, x2, …, xn-1) nei 2n punti del suo dominio dà origine a 2ncoppie x,z x,z  x  Bn, z  B Esempio: E(a,b,c) =a+(b.c) a b c | E E(0,0,0) =0+(0.0) = 0 0 0 0 | 0 E(0,0,1) =0+(0.1) = 0 0 0 1 | 0 E(0,1,0) =0+(1.0) = 0 0 1 0 | 0 E(0,1,1) =0+(1.1) = 1 0 1 1 | 1 E(1,0,0) =1+(0.0) = 1 1 0 0 | 1 E(1,0,1) =1+(0.1) = 1 1 0 1 | 1 E(1,1,0) =1+(1.0) = 1 1 1 0 | 1 E(1,1,1) =1+(1.1) = 1 1 1 1 | 1 Tabella della verità dellafunzione associata all’espressione data T1) Ogni espressione descrive una e una sola funzione

36. Dall’espressione alla funzione: altri esempi T2) Una funzione può essere descritta da infinite espressioni Esercizio Verificare che le valutazioni di E1=(a.b’) + (b.c) + (a.b) E2=(a+b).(a+c) sono identiche a quelle di E = a+(b.c) a b c E E1 E2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

37. Espressione Valutazione  Avendo studiato come si passa dall’espressione alla funzione, dobbiamo ora esaminare il passaggio dallo schema logico della rete combinatoria all’espressione Tabella della verità x1 x2 x3 xn Rete logica combinatoria x1x2x3 … xn z= F(x1,.., xn) G3 G2 0 0 0 ……..0 0 oppure 1 z G1 1 0 0 ……..0 0 oppure 1 0 1 0 ……..0 0 oppure 1 Gk 1 1 0 ……..0 0 oppure 1 0 0 1 ……..0 0 oppure 1 Schema logico: insieme di operatori AND, OR, NOTinterconnessi in serie e parallelo 0 1 1 ……..1 0 oppure 1 1 1 1 ……..1 0 oppure 1 Analisi di una rete logica combinatoria: dalla Struttura al Comportamento analisi

38. Dallo schema logico all’espressione Per individuare l’espressione corrispondente ad un dato schema si parte dai gate che elaborano solo segnali di ingresso, si assegna un simbolo alla loro uscita e si annota a parte l’espressione. Si procede in modo analogo con i gate i cui ingressi sono già stati denominati. Una volta individuata l’espressione del gate di uscita, vi si sostituiscono tutti i simboli con le corrispondenti espressioni. Questa rete realizza un importante operatore logico dettoOR ESCLUSIVO o XOR (Exclusive Or) c = a’ e = (c . b) a b z = e + f = (c.b) + (a.d) = a’b + a.b’ Qual è la tdv di questa rete? Se ne descriva a parole il comportamento f = (a . d) d = b’

39. Check point • Come si esegue l’analisi di uno schema logico composto da AND, OR e NOT interconnessi? • Qual è il risultato dell’analisi? • Esistono altre tecniche di analisi oltre a quella basata sulla valutazione delle espressioni? Sì, le vedremo in alcune diapositive successive • Quante espressioni sono associate a uno schema logico? • Quante funzioni sono associate a una espressione? • Quante espressioni sono associate a una funzione?

40. Esercizi • Si disegni lo schema logico dell’espressione: ac + bc’ • La rete così ottenuta si chiama multiplexer a due vie • Si analizzi questa rete (se ne tracci la mappa) e se ne descriva a parole il funzionamento • Si verifichi con il simulatore la correttezza della soluzione trovata Si tracci la tabella della verità e lo schema logico corrispondenti all’espressione: E(D, C,B,A) = D.(C + B) Si descriva a parole la funzione nel caso in cui i bit D, C, B, A rappresentino i coefficienti del numero D.23+ C.22+ B.21+ A.20

41. Check point sull’analisi delle reti combinatorie • Abbiamo visto un metodo di analisi basato sulla valutazione delle espressioni associate allo schema logico assegnato. • Questo metodo può diventa impraticabile quando l’espressione è complessa • In questo caso si possono utilizzare in generale due metodi alternativi: • la semplificazione dell’espressione mediante applicazione di alcune proprietà dell’algebra della commutazione • la semplificazione sistematica dell’espressione mediante applicazione del teorema di espansione • Nelle prossime diapositive illustreremo alcune proprietà (o teoremi) dell’algebra di commutazione e mostreremo qualche esempio del primio metodo • Il secondo metodo verrà presentato successivamente

42. Funzioni di n variabili Espressioni di n variabili F Espressioni di F Equivalenza tra espressioni Espressioni equivalenti - Due espressioni E1, E2 sono equivalenti, e si scrive E1 = E2 , se e solo se descrivono la stessa funzione. • Se si vuole analizzare una espressione conviene cercare tra le espressioni equivalenti alla espressione data, quelle più facili da analizzare! Questa ricerca può essere effettuta applicando le equivalenze indicate nelle prossime due diapositive

43. Equivalenze notevolidell’algebra di commutazione Proprietà della somma e del prodotto logico: T4) commutativa x + y = y + x x . y = y . x T5) associativa(x + y) + z = x + y + z (x . y) . z = x . y. z T6) distributiva (x . y) + (x . z) = x . (y + z) (x + y) . (x + z) = x + (y . z) T7) idempotenza x + x = x x . x = x T8) identità x + 0 = x x . 1 = x T9) limite x + 1 = 1 x . 0 = 0

44. Altre equivalenze notevolidell’algebra di commutazione Proprietà della complementazione: T10) involuzione (x ’) ’ = x T11) limitazionex + x ’ = 1 x . x ’ = 0 T12) combinazione xy + xy’ = x (x+y).(x+y’) = x T13) Ia legge di De Morgan(x + y) ’ = x ’ . y ’ Iia legge di De Morgan(x . y) ’ = x ’ + y ’ T14) consenso xy + x’z + yz = xy + x’z (x+y).(x’+z).(y+z) = (x+y).(x’+z)

45. Espressioni duali - Data l’espressione E(x, y, z, .., 1, 0, +, ., ’) è detta duale di E e denotata con Ed l’espressione che si ottiene scambiando tra loro 0,1 e .,+ Ed = E(x, y, z, .., 0, 1, .,+, ’). Esempio: A+B e A.B (nell’esempio si scambiano solo gli operatori . e +) Dualità Proprietà della dualità: (Ed)d = E Ed = E’(x’, y’, z’, ...) Se E1 = E2allora (E1 )d = (E2 )d • La terza proprietà dice che se due espressioni sono equivalenti, lo sono anche le rispettive duali. Si verifichi questa proprietà nelle equivalenze notevoli dei lucidi precedenti N.B. - A causa delle due possibili codifiche dei valori di un segnale binario, il comportamento di ogni struttura di interruttori azionabili indipendentemente uno dall’altro ha due descrizioni algebriche, una duale dell’altra.

46. Qualche commento sui teoremi dell’algebra di commutazione • La proprietà associativa per l’OR si può anche scrivere come segue: • (x + y) + z = x + (y + z) = (z + x) + y = x + y + z • Questa proprietà ci dice che combinando in qualunque modo tre ingressi con due OR in cascata si ottengono sempre espressioni equivalenti; la funzione che si ottiene vale 1 se e solo se almeno un ingresso vale 1. Possiamo chiamare questa funzione “OR a tre ingressi”; è possibile nello stesso modo definire l’OR a n ingressi • si verifichi la proprietà associativa con il simulatore • chiamiamo NOR l’operatore composto da un OR e un NOT in cascata; si disegni la tdv di questo operatore composto e si dimostri che per questo operatore non vale la proprietà • associativa • Per la terza proprietà sulla dualità quello che abbiamo detto per l’OR vale anche per l’AND e quello che non vale per il NOR non vale nemmeno per l’operatore composto dalla serie AND-NOT (il NAND) • I teoremi di De Morgan indicano l’equivalenza tra NOR e AND degli ingressi complementati e l’equivalenza tra NAND e OR degli ingressi complementati • Il teorema del consenso indica due diversi modi per realizzare la funzione “multiplexer a due vie” già vista in un esempio precedente

47. Qualche esercizio di analisi da svolgere utilizzando i teoremi dell’algebra della commutazione • Si esegua l’analisi delle seguenti espressioni: • xy + x’z + xyz + yz • (((x+y)’+(z+w)’)’+1)’ • ((x+y)’+(z+y)’)’ • per l’ultimo esercizio si consiglia di eseguire le semplificazioni a partire dallo schema logico • Per il primo si suggerisce di provare sia con i teoremi, sia tracciando direttamente la mappa di Karnaugh

48. Check point • Ora siamo in grado di eseguire l’analisi delle reti combinatorie realizzate con gli operatori dell’algebra di commutazione. Il procedimento si basa sulla semplificazione delle espressioni (ottenuta applicando intuitivamente i teoremi dell’algebra) e sulla relativa valutazione. • Resta ancora da vedere una tecnica di semplificazione sistematica dell’espressione basata sull’applicazione del teorema di espansione già annunciato e che dobbiamo ancora studiare • Prima vogliamo affrontare il problema della sintesi e vogliamo inoltre dimostrare che gli operatori dell’algebra sono un insieme funzionalmente completo (il che significa che con AND, OR e NOT è possibile realizzare qualunque tabella della verità)

49. Funzione assegnata Espressioni equivalenti Schemi logici Individuazione dell’espressione che fornisce lo schema “migliore” per la realizzazione della funzione assegnata. Il problema della sintesi Massima velocità Minima complessità Massima flessibilità

50. x2 x1 x0 z1 z0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 ENCODER a 3 ingressi x2 x1 x0 z1 z0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 N.B. le altre configurazioni sono per ipotesi impossibili 1 1 0 - - 1 0 1 - - 0 1 1 - - 1 1 1 - - Funzioni non completamente specificate • Alcune configurazionidi ingresso possono essere impossibili, oppure per certe configurazioni di ingresso può non interessare il valore dell’uscita. In questi casi la funzione è incompleta o “non completamente specificata” 6) Funzioni incomplete - Funzioni di n variabili il cui dominio è un sottoinsieme di Bn Le configurazioni di valori delle variabili al di fuori del dominio sono dette condizioni di indifferenza e sono indicate nella tdv con il simbolo “-” nella colonna ove va indicato il valore della funzione.