Modèle Faible Mach et simulations numériques 2D de l'amplification d'onde thermoacoustique

1. Modèle Faible Mach et simulations numériques 2D de l'amplification d'onde thermoacoustique O. Hireche, K. Sodjavi, C. Weisman, D. Baltean-Carlès, M. Xavier-François, P. Le Quéré , LIMSI-CNRS, Orsay, France et L. Bauwens, Université de Calgary, Canada Générateur d’ondes Thermoacoustique Charge: refrigérateur Résonateur Qf Qc

2. Objectif : simulation et analyse de l’amplification d’onde thermoacoustique , à partir d’un zoom sur la cellule active • Modèle en 2 parties : analyse multi-échelle • Equations d’Euler + Développement Faible Mach dans les résonateurs gauche et droit (acoustique linéaire) : solution analytique 1D par méthode des caractéristiques • Equations de Navier-Stokes + Développement Faible Mach dans la cellule active (échangeurs + stack) : solution numérique 2D Echangeur chaud Echangeur froid Acoustique Linéaire 1D Acoustique linéaire 1D Domaine de simulation 2D : cellule active

3. Couplage au niveau des section d’entrée et sortie de la cellule active Demie-plaque stack Echangeur chaud Echangeur froid Acoustique linéaire 1D Acoustique linéaire 1D uL uR Domaine de simulation 2D : cellule active

4. Hypothèses fondamentales : Résonateurs : Même échelle de temps: t=période référence /2 Stack + Échangeurs M<<1 : hypothèse “stack court” ou acoustiquement compact p v l/2 Développements asymptotiques <  > = <  > + M <  >(1)+M2 <  >(2)

5. Exemple de cas test (exp. A. Atchley, 1992-95) LL=9 cm LR=91cm 0,8 cm 2,2 cm 3,8cm 3,5 cm LT=1 m Ensemble 6 cm Hélium 0,74 mm h=0,78 mm H=1,06mm Inox 304 L Nickel Cellule active

6. Conditions de l’expérience Gaz: hélium à pmoy= 1,5 – 4,4 bar ; Tfroid=TC =293K, Lstack= 3,5cm rref =0,25 - 0,74 kg/m3 ; cref = 1008 m/s; f=500 Hz; t=1ms; Uref= 35 m/s M=0,035 ; Pe=11000-31500 ; Re=16000-46500; Plaques stack : Inox 304 L Plaques échangeurs : Nickel Epaisseurs de couche limite thermique et visqueuse

7. Exemple de cas test (inspiré d’une expé. LIMSI, 2007) LL=7 cm LR=7,5cm 0,75 cm 0,75 cm 5,6cm 15 cm LT=7,57 m Ensemble 45 cm Hélium h=0,77 mm H=0,97mm Inox 304 L Nickel Cellule active

8. Conditions de l’expérience Gaz: hélium à pmoy= 10bar ; Tfroid=TC =293K, Lstack=0,15 m rref =1,63kg/m3 ;cref = 1008 m/s; f=67 Hz; t=7,8ms; Uref= 19,2 m/s M=0,02 ; Pe=1,7.105; Re=2,4.105 Plaques stack et échangeurs : Inox 304 L Epaisseurs de couche limite thermique et visqueuse

9. Résonateurs: Cellule active Acoustique linéaire Acoustique linéaire LL LR • Adhérence aux parois du résonateur négligées • Frontières adiabatiques (sur chaque partie du résonateur) • Ecoulement 1D, non visqueux, faiblement conducteur Ecoulement isentropique Equations adimensionnées, termes jusqu’en O(M)

10. DéveloppementFaible Mach : Cellule active Acoustique linéaire LR LL cR cL Acoustique linéaire solution analytique (d’Alembert) Variables de Riemann L et R constantes sur les caractéristiques se déplaçant à la vitesse , avec à gauche, =1à droite

11. Conditions aux limites: Tube fermé à l’extrémité gauche : Charge (résistive) positionnée à l’extrémité droite : avec

12. Cellule active, Stack+échangeurs H Faible Mach Equations de Navier-Stokes 2D + Développement Faible Mach

13. Cette formulation autorise les variations temporelles de p(0) Mais : à cause du couplage avec l’acoustiquedans le résonateur, seules les variations temporelles de p(1)sontautorisées, que ne voit pas le modèle stack + échangeurs

14. Graviténégligée Conduction dans les plaques Biland’énergiedans le domaine de calcul (conservation masse+energie)

15. Traitement des échangeurs Tchaud Tfroid Echangeurs « idéaux » Tchaud Tfroid Echangeurs à température fixée qchaud qfroid Echangeurs à flux de chaleur fixé qchaud qfroid

16. Couplage charge Extrémité fermée Tfroid Tchaud uL uR Modèle 2D LL LR C.L. aux sections d’entrée et de sortie: P(0) est le même dans la cellule active et à l’extérieur Biland’énergie (conservation de la masse + energie)

17. Conditions aux limites etConditions initiales Tfroid Tchaud uL uR Modèle 2D Frontières extérieures (bleues) adiabatiques Glissement sur les frontières ouvertes horizontales adhérence, continuité de température et de flux de chaleur aux interfaces fluide/solide –stack et échangeurs) Différents modèles de CL sur les échangeurs Vitesses uL et uR calculées à partir du couplage avec l’acoustique et le bilan d’énergie Distribution linéaire de température entre les échangeurs (gaz et stack) OU température sol. stationnaire du pb de conduction sans écoulement Résonateur : bruit aléatoire ou/ onde stationnaire de faible amplitude

18. Méthode numérique • Volumes finis/second ordre • Traitement implicite des termes visqueux et diffusifs • Discrétisation explicite des termes convectifs • Intégration temporelle de type Prédicteur-correcteur • Calcul des champs sur tout le domaine solide+fluide (utilisation d’une fonction scalaire pour différentier les points solides des points fluides) • A chaque pas de temps, calcul de uL, uR et p(1) en fonction des valeurs calculées aux instants antérieurs tenant compte de la propagation dans les deux parties du résonateur, et de l’intégrale du flux de chaleur sur le domaine fluide

19. Algorithme • Début du pas de temps • Calcul (ADI ou GMRES) du nouveau champ de température à partir de • Résolution des 3 équations de couplage utilisant l’intégrale du flux de chaleur, et les valeurs de L et R aux instants antérieurs en tenant compte des allers-retours. Calcul des vitesses uL et uR qui serviront de CL et calcul de la pression acoustique p(1). • Mise à jour de la masse volumique • Calcul de la divergence souhaitée en chaque point • Calcul (ADI ou GMRES) des vitesses intermédiaires • Calcul de la correction de pression (algorithme multigrille) • + C.L. Homog. Neumann • Update des vitesses et de la pression • Fin du pas de temps

20. Adimensionnement code Les distances sont adimensionnées par H et non par LStack Paramètres numériques Maillages uniformes : de 512x32 (grossier) à 2048x128 (fin) Minimum 500 pas de temps par période acoustique de référence (1 ms/point/pas de temps sur NEC SX8, Idris-CNRS) ~ 0.5-2 hr CPU/run pour la phase initiale de l’amplification, ~ 50 hr CPU/runpour les calculs jusqu’à saturation

21. Isothermes, milieu du stack, bruit initial aléatoire Stack plate Stack plate

22. Développement de vitesse entre stack et échangeur chaud

23. Simulations Pm = 5 bar, Tchaud =1.5Tfroid Variation temporelle de la pression totale (à partir d’un bruit aléatoire). Tube fermé aux deux extrémités. Mode Fondamental mode instable (période adimensionnée=2)

24. Simulations Pm = 5 bar, Tchaud =2Tfroid Variation temporelle de la pression totale (à partir d’un bruit aléatoire). Tube fermé aux deux extrémités. Mode fondamental instable (période adimensionnée=2), solution non linéaire

25. Simulations Pm = 5 bar, Tchaud =2 Tfroid Variation temporelle pression acoustique, vitesses (à partir d’un bruit aléatoire). Tube fermé aux deux extrémités.

26. Simulations Pm = 1.7 bar, Tchaud =1.2 Tfroid Variation temporelle de la pression totale (à partir d’un bruit aléatoire). Tube fermé aux deux extrémités. Mode fondamental et premier harmoniques semblent instables

27. Simulations Pm = 1.7 bar, Tchaud =1.5 Tfroid Variation temporelle de la pression totale (à partir d’un bruit aléatoire). Tube fermé aux deux extrémités. Mode fondamental et premier harmonique instables. Le second mode croît.

28. Simulations Pm = 1.7 bar, Tchaud =2 Tfroid Variation temporelle de la pression totale (à partir d’un bruit aléatoire). Tube fermé aux deux extrémités. Mode fondamental et premier harmonique semblent instables. Le second mode semble le plus instable.

29. Résultats Atchley

30. Influence du champ initial de température • Saturation obtenue par introduction d’une charge f à la place de l’extrémité fermée. • - Deux champs initiaux testés . ~40s ~120s

31. Conclusion L’approche faible Mach permet de décrire l’amplification thermoacoustique, et de détecter les modes instables On a montré l’influence du champ initial de température (effets 2D) Perspectives • Etudes paramétriques, exploitation du code : déplacement du stack dans le résonateur, variation de la distance échangeur/stack Calage de la charge pour comparaison avec des situations expérimentales réelles • Analyse de stabilité pour interpréter la sélection des modes