第 3 章 正弦稳态电路分析

1. 第 3 章 正弦稳态电路分析 重 点 • 1．正弦量的三要素、有效值； • 2．同频正弦量的相位差； • 3．正弦量的相量及相量图、电路的相量模型； • 4．电路三类元件的在交流电路中的伏安关系（包括代数形式和相量式）； • 5．电压三角形、阻抗三角形、功率三角形； • 5．平均功率、无功功率、视在功率和复功率； • 6．功率因数的提高。 难 点 • 1．正弦量和相量之间的关系、图形结合求解简单的正弦电路； • 2、理解复阻抗的概念，尤其是阻抗角就是电压与电流相位差。

2. 第一节 正弦交流电的基本概念 • 第二节 正弦量的相量表示法 • 第三节 电路元件电压电流关系的相量形式 • 第四节 复阻抗与复导纳及其等效变换 • 第五节 正弦交流电路中的功率功 • 第六节 复杂正弦电路的稳态分析 • 第七节 • 第八节

3. 3.1 正弦交流电的基本概念 一、正弦量的三要素 正弦量的特征表现在变化的快慢、大小和初始值三个方面，分别用角频率、振幅（或有效值）和初相角来确定，称为正弦量的三要素。正弦电流i的瞬时值表达式或解析式为： 上式中的三个常数 ， ， 就是正弦量的三要素。 1、 称为正弦电流i的最大值，( A )又称振幅或幅值。 2、 称为正弦电流的角频率，（rad/s）它是反映正弦量变化快慢。 角频率与正弦量的周期、频率的关系为 频率与周期的关系为 我国正弦交流电的频率f为50Hz ，周期T为0.02s，角频率为314rad / s，这种交流电称为工频交流电。

4. 3、 称为初相角，简称初相，单位为弧度或度。初相角 是正弦电流t= 0时刻的相位角，即 初相角的大小与计时起点的选择有关，且不随时间和角频率而变。 二、正弦量的有效值 在两个阻值相同的电阻元件中，分别通人直流电流I和一个周期性变化的电流i，如果在相等的时间内，两个电流产生的热量相等，那么这个周期电流i的有效值在数值上就等于这个直流电流I， 有效值与最大值之间的关系为 则正弦量的瞬时值表达式如下 电压、电动势的有效值与电流有效值定义相似。

5. 三、同频率正弦量相位差 两个同频率正弦量的相角之差或初相之差称为相位差，用 表示。设电压u和电流i分别为 设电压u和电流i分别为 则u和i的相位差为 若 ，称电压u在相位上比电流i超前，或电流i比电压u滞后。 若 ，称电压u在相位上比电流i滞后，或电流i比电压u超前。 若 ，称电压 u与电流 i同相。 若 ，我们称电压u和电流i反相。

6. 3.2 正弦量的相量表示法 一、复数与复平面上的矢量 1、复数的表示形式 设A为一复数，a及a分别为其实部和虚部， 代数形式为 三角函数形式为 指数形式为 极坐标形式为

7. 2、复数的运算 (1)复数相等：实部和虚部分别相等；用极坐标形式表示时，则模相等，辐角相等。 (2)复数的加减运算：实部和虚部分别相加减. (3)复数的乘法运算。两个复数相乘用代数形式进行有 (4)复数的除法运算：用极坐标形式进行有 两个复数相乘或相除用极坐标形式较为简单。

8. 二、正弦量的相量表示法 设正弦电流为 则对应的相量形式为：　 是一个与时间无关的复数，其模为该正弦电流的有效值，辐角为该正弦电流的初相，此形式称之为正弦量的相量。 注意：正弦量与相量是一一对应关系，而不是相等关系，它实质上是一种数学变换。 三、基尔霍夫定律的相量形式 正弦交流电路中，KCL的相量形式为 　　正弦交流电路中， KVL 的相量形式为 = 0

9. 例： 如下图所示为电路中的一个节点，已知： 求 。

10. 解：首先写出己知电流对应的相量，即 设未知电流 的相量为 , 根据KCL的相量形式可得 所以

11. 3.3 电路元件电压电流关系的相量形式 一、正弦电流电路中的电阻元件 1、电阻元件电压与电流关系 电阻元件时域形式的电压电流关系式为： 1 )电阻元件电压、电流大小关系为 2 )电阻元件电压电流相位关系为 = 2、电阻元件的功率

12. 二、正弦电流电路中的电感元件 1、电感元件电压与电流关系 电感元件电压与电流关系的相量形式为 1）电感元件电压电流大小关系为

13. 2）电感元件电压电流相位关系为 电压与电流的相位差为 令 ，称 为电感的电抗，简称感抗，（ ）。表征电感对正弦电流阻碍作用的物理量；电感具有“通低频、阻高频”的作用。 感抗的倒数称为电感电纳，简称感纳，单位是西门子（S），感纳表示电感对正弦电流的导通能力，用 表示， 2、电感元件的功率：定义电感元件瞬时功率的最大值（即电感元件与电源交换能量的最大速率）为无功功率，并用 表示，单位是乏（var 或 kvar）。

14. 三、正弦电流电路中的电容元件 1、电容元件电压与电流关系 电容元件电压与电流关系的相量形式： 即 1）电容元件电压电流大小关系为

15. 2）电容元件电压电流相位关系 电压与电流的相位差为 令 ，称 为电容的电抗，简称容抗，单位也是欧姆（ ；电容具有“通高频、阻低频、隔直流”的作用。 容抗的倒数称为电容电纳，简称容纳，单位是西门子（S），容纳也是表示电容对正弦电流的导通能力，用 表示， 2、电容元件的功率 定义电容元件瞬时功率的最大值（即电容元件与电源交换能量的最大速率）为无功功率，并用 表示，单位是乏（var 或 kvar）。 电容元件无功功率为

16. 3 . 4 复阻抗与复导纳及其等效变换 一、R、L、C串联电路及复阻抗 电阻、电感和电容串联的电路，简称为R、L、C串联电路。R、L、C串联电路及相量模型如下图所示 根据KVL，有 。令 ，则有 令 则 其中Z称为R、L、C、串联电路的复阻抗。

17. RLC串联电路的电压、电流相量图和阻抗三角形如下图所示。三个元件的电压相量构成电压三角形，电压三角形与阻抗三角形是相似三角形。 注意：1）复阻抗Z是复数，可以用复数的各种表示形式。 2）复阻抗的表示形式。极坐标表示形式：Z=|Z| 3）复阻抗与电压、电流的关系。

18. 4）阻抗角 与电路性质的关系。 (1) X >0时， ＞0，电压相量超前电流相量一个 角，电路呈感性。 (2) 当X < 0时， < 0，电压相量滞后电流相量一个 角，电路呈容性。 (3) 当X = 0时, = 0，电压相量与电流相量同相位，电路呈电阻性，此时R、L、C串联电路发生了串联谐振。 二、R、L、C并联电路及复导纳 电阻、电感和电容并联的电路，简称为R、L、C并联电路。电路如下图所示。

19. 根据KCL，有 。令 ，则有 令 则 其中Y称为 R、L 、C并联电路的复导纳， Y单位都是西门子（ S ）。 RLC并联电路的电压、电流相量图和导纳三角形如下图所示。三个元件的电流相量构成电流三角形，电流三角形与导纳三角形是相似三角形。

20. 注意：1）复导纳Y是复数，可以用复数的各种表示形式来表示。复导纳 Y 的大小取决于电路的结构、电路的参数及电源的频率。 2）复导纳的表示形式。复导纳的极坐标形为 3）复导纳与电压、电流的关系。 4）导纳角 与电路性质的关系。 ① 当B > 0时， ，电路呈感性。 ② 当B < 0时， ，电路呈容性。 ③ 当B=0时， , 电路呈电阻性，此时 R 、L、 C 并联电路发生并联谐振。

21. 三、无源二端网络的等效复阻抗和复导纳 1、无源二端网络的等效复阻抗和复导纳 等效复阻抗定义为：在电压、电流关联参考方向下，端口上的电压相量与电流相量之比值，即 由复阻抗的定义可知，对于单一元件R、L、C 组成的无源二端网络，其复阻抗分别为： 无源二端网络的等效复导纳定义为在电压、电流关联参考方向下，端口上的电流相量与电压相量之比值，即：

22. 2、无源二端网络等效复阻抗与等效复导纳的关系2、无源二端网络等效复阻抗与等效复导纳的关系 由复阻抗和复导纳的定义可知，同一无源二端网络的复阻抗与复导纳是互为倒数的关系，即 互相之间关系为： 3、复阻抗和复导纳的串、并联电路 1）复阻抗的串联、并联 n个复阻抗串联而成的电路如下图所示，

23. 其等效复阻抗为： 各个复阻抗的电压为 由n个复阻抗并联的电路如下图所示： 其等效复阻抗为：

24. 2）复导纳的并联 由n个复导纳并联而成的电路如下图所示： 其等效复导纳为： 各个复导纳的电流为：

25. 3 . 5 正弦交流电路中的功率 一、正弦电流电路的瞬时功率 对于无源二端网络，在 u 、i关联参考方向下，输人该二端网络的瞬时功率 p 等于端口电压、电流瞬时值的乘积，即： 如果二端网络内部由R 、L、C单个元件组成，吸收的瞬时功率为： 1）电阻元件。 , 表明电阻的耗能特性。 2）电感元件。 ，表明电感的储能特性。 3）电容元件。 ，表明电容的储能特性。

26. 二、平均功率P（或有功功率）、无功功率、视在功率二、平均功率P（或有功功率）、无功功率、视在功率 1、二端网络的平均功率P（或有功功率） 平均功率（或有功功率）是瞬时功率在一个周期内的平均值，为 有功功率是二端网络实际消耗的功率，单位为瓦特（W）。 式中cosφ称为功率因数，并用 表示，即 如果二端网络内部由R、L、C单个元件组成，其有功功率为 1）电阻吸收的有功功率 2）电感吸收的有功功率 3）电容吸收的有功功率

27. 瞬时功率表达式中第二项在一个周期内的平均值为零，表示的是可逆的功率，其最大值反映了与电源交换规律的规模，称为无功功率，为瞬时功率表达式中第二项在一个周期内的平均值为零，表示的是可逆的功率，其最大值反映了与电源交换规律的规模，称为无功功率，为 无功功率的单位为乏 (var)。 对感性电路而言， , , 认为二端网络“吸收”无功功率； 对容性电路而言， , , 认为二端网络“发出”无功功率。 如果二端网络分别为R、L、C单个元件组成时，其无功功率为： 1）电阻吸收的无功功率 2）电感吸收的无功功率 3）电容吸收的无功功率

28. 3、二端网络的视在功率 正弦交流电路中，电压与电流有效值的乘积称为视在功率，用字母S表示，即：S=UI；单位用伏安（VA）或千伏安（kVA）。 正弦交流电路中的有功功率P、无功功率Q和视在功率S还可以用电压相量和电流相量直接计算出来。 4、二端网络的复功率 设二端网络端口的电压、电流为关联参考方向，电压相量和电流相量分别为 定义电压相量与电流相量的共扼复数之乘积为复功率，并用 表示，即

29. 任何一个正弦电流电路，有功功率P、无功功率Q、复功率 都是守恒的，即总的有功功率P等于各部分有功功率之和，总的无功功率Q等于各部分无功功率之和，总的复功率等于各部分复功率之和。但是，一般情况下，总的视在功率不等于各部分视在功率之和，即视在功率不守恒。

30. 三功率因数 1、提高功率因数的经济意义 （1）、充分利用电源设备的容量 （2）、降低线路损耗和线路压降，提高输电效率 （3）、减少用户电费支出 2、提高功率因数的方法 提高功率因数的方法有提高用电设备的自然功率因数和采用无功补偿两种。 提高功率因数主要的方法是采用无功补偿。 为了减少电源与负载进行能量交换的规模，而又使负载取得所需的无功功率，就要在负载两端并联电容器，使无功功率就地补偿。

31. 说明：1）补偿前、后电路的有功功率不变。 2）功率因数从 提高到 所需并联电容器的电容量为： 式中 P—— 负载吸收的有功功率 U ——负载端电压有效值； 、 ——补偿前、后电路的功率因数角； ——电源的角频率。

32. 3 . 6 复杂正弦电路的稳态分析 在正弦交流电路中引入相量及复阻抗后，基尔霍夫定律和欧姆定理的相量形式与直流电路的公式相同，因此分析直流电路的方法可以推广运用到正弦交流电路中来。 例：电路相量模型如下图所示，用节点电压法求电路中的电流相量 , 和

33. 解：选定节点0为参考节点，则节点l节点电压方程为解：选定节点0为参考节点，则节点l节点电压方程为 解得 根据支路的伏安关系求各支路电流相量，即

34. 3.7 串联谐振电路 发生在R、L、C串联电路中的谐振叫做串联谐振。 一、串联谐振的条件和特征 1、条件 电路发生谐振的条件是复阻抗的虚部为零，即XL=XC。 串联时谐振的角频率 和频率 分别为： 2、特征 1）电路的阻抗最小，Z=R，当端口电压U不变时，电流最大， 。 称为谐振电流。 2）谐振时，电感电压和电容电压大小相等，相位相反，相互抵消，即电抗电压 3）谐振时，电路与电源间不发生能量交换，能量的互换只在电感和电容之间进行。

35. 二、特性阻抗和品质因数 谐振时的感抗与容抗相等，称它们为特性阻抗，记为 ，其 SI 单位为 ，它是一个只与电路参数有关而与频率无关的常量。即 特性阻抗与电阻R的比值，称为品质因数，其比值用Q表示，即 谐振时的电感电压和电容电压分别为：

36. 三、谐振曲线 电路的品质因数Q值的大小是谐振电路质量优劣的重要指标。理论和实验证明，电流随频率变化的关系为 根据上式，选取不同的Q值，做出一组电流随频率变化的曲线，即谐振曲线，如下图 由图分析得，Q 值高，电路的选择性好，Q 值低，电路的选择性差。

37. 3.8 并联谐振电路 发生在R、L、C并联电路中的谐振叫做并联谐振。 一、条件 RLC发生并联谐振的条件是：电路发生谐振的条件是复导纳的虚部为零，即YL=YC。 此时，谐振角频率与 RLC 串联电路的谐振角频率相同。 二、并联谐振的特征及其应用 1、特征 ①并联谐振电路的阻抗最大|Z|=R，这与串联谐振电路相反。 ②总电流最小 ③谐振时端口电流电压同相，电路呈电阻性，这与串联谐振电路相同。

38. 2、应用 实际的并联谐振电路由电感线圈和电容并联组成，如下图