Ausgleichungsrechnung
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Ausgleichungsrechnung. Einleitung Methode der kleinsten Quadrate Ausgleichungsverfahren Stochastisches Modell a posteriori Anmerkungen. Aufgabe der Ausgleichsrechnung (Helmert 1872). Kontrolle durch überschüssige Messungen

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Ausgleichungsrechnung

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Presentation Transcript


Ausgleichungsrechnung

Ausgleichungsrechnung

  • Einleitung

  • Methode der kleinsten Quadrate

  • Ausgleichungsverfahren

  • Stochastisches Modell a posteriori

  • Anmerkungen

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Aufgabe der ausgleichsrechnung helmert 1872

Aufgabe der Ausgleichsrechnung (Helmert 1872)

Kontrolle durch überschüssige Messungen

Vermehrung der Kontrollen führt zu größerer Annäherung an den wahren Wert, wenn nur zufällige Fehler auftreten

Ziel: Resultat aus allen Beobachtungen bestimmen, das möglichst frei von zufälligen Fehlern ist

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Bisher

Bisher

Messgrößen haben einen (unbekannten) wahren Wert

Unsere Beobachtungen sind mit zufälligen Fehlern behaftet

Aus Messgrößen werden oft andere Größen abgeleitet (z.B. Koordinaten aus Strecken und Richtungen)

Für die abgeleiteten Größen kann eine Standardabweichung angegeben werden

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Gew nscht

Gewünscht

Bisherige Erkenntnisse in einem größeren Kontext

Ausdehnung auf komplexe Systeme

Definition von Standard-Verfahren

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Ziele

Ziele

  • Kontrolle: Aufdecken von (groben) Fehlern

  • Plausibilität: Wahrscheinlichste Schätzwerte für die wahren Werte der Unbekannten bzw. Messwerte

  • Qualität: Angabe von Standardabweichungen für die Unbekannten und Messwerte

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Beispiel ausgleichende gerade 1

Beispiel: Ausgleichende Gerade (1)

  • 10 Punkte gegeben

  • Repräsentation durch Gerade gesucht

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Beispiel ausgleichende gerade 2

Beispiel: Ausgleichende Gerade (2)

Mathematischer Ansatz: Jeder Punkt liefert eine Gleichung

bzw. in Matrizenschreibweise

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Beispiel ausgleichende gerade 3

Beispiel: Ausgleichende Gerade (3)

rk(A)=2, rk(A,L)=3 nicht lösbar

Jeweils zwei Punkte liefern eine Lösung, die Lösungen passen nicht alle zusammen

Gesucht: Möglichkeit, eine eindeutige Lösung zu ermitteln

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Ausgleichungsrechnung

Gerade durch ersten und letzten

Punkt

Zweiteilung der Punktwolke in linke

und rechte Hälfte, Gerade durch die

Schwerpunkte

Gerade, bei der k und d als Mittel-

wert aus allen eindeutigen Lösungen

bestimmt wurden

Gerade, auf der die meisten Punkte

liegen

Welche Lösung sollen wir nehmen???

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Beispiel ausgleichende gerade 5

Beispiel: Ausgleichende Gerade (5)

Annahme: Nur y-Werte sind Messwerte – x-Werte sind Konstante (varianzfrei)

y-Werte bilden BeobachtungsvektorL

Plausibelste Werte sind die, welchen nach der Statistik die höchste Wahrscheinlichkeit zukommt

Annahme Normalverteilung für Messwerte

Annahme mehr Beobachtungen als Unbekannte (Überbestimmung)

Messwerte werden verbessert, sodass Ax=l gilt

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Beispiel ausgleichende gerade 6

Beispiel: Ausgleichende Gerade (6)

Ax=l+v v=Ax-l

Zusätzliche Bedingung:

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Verteilung zuf lliger messabweichungen 1

Verteilung zufälliger Messabweichungen (1)

  • Lambert: Theorie der Zuverlässigkeit der Beobachtungen und Versuche (1765)

    • zufällige Abweichungen gleicher Größe nach beiden Seiten möglich

    • geringe Abweichungen häufiger als große

    • Kurve mit Wahrscheinlichkeit der Abweichungen ist

      • symmetrisch

      • Abweichung Null hat höchste Wahrscheinlichkeit

      • Wendepunkt auf beiden Seiten

      • beidseitig asymptotische Annäherung an Null

  • Gauß: Weitere Untersuchungen  Normalverteilung

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Verteilung zuf lliger messabweichungen 2

Verteilung zufälliger Messabweichungen (2)

Folgerung: Messwerte sind normalverteiltzufällige Abweichungen normalverteilt

Gilt auch, wenn Abweichungen aus empirischen Verbesserungen vi geschätzt

Danach: Übergang von den einzelnen Abweichungen auf die Summe der Abweichungen

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Verteilung zuf lliger messabweichungen 3

Verteilung zufälliger Messabweichungen (3)

Gesamtwahrscheinlichkeitsdichte: Produkt der einzelnen Dichten

Gesucht: Maximum, also jene vi, für die W maximal wird  K minimal

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Verteilung zuf lliger messabweichungen 4

Verteilung zufälliger Messabweichungen (4)

Bedingung:

oder in Matrizenschreibweise

Gewichtepi umgekehrt proportional zu den Varianzen

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Stochastisches modell a priori die gewichtsmatrix

Stochastisches Modell a prioriDie Gewichtsmatrix

Beschreibung der stochastischen Zusammenhänge in einem Zufallsvektor: Kovarianzmatrix

Für einen Beobachtungsvektor:

  • Hauptdiagonale: Varianz der Beobachtung

  • Außerhalb der Hauptdiagonale: Kovarianz oder Null wenn stochastisch unabhängig

    Bezeichnet mit SLL

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Festlegung von gewichten 1

Festlegung von Gewichten (1)

Gewichtung der Verbesserungen umgekehrt proportional zu den Varianzen

Oft nur relative Genauigkeiten vorhanden

Wir wählen Bezugsvarianz: Varianz der Gewichtseinheit a priorioder Varianzfaktor

Kofaktormatrix

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Festlegung von gewichten 2

Festlegung von Gewichten (2)

Elemente der Kofaktormatrix: Kofaktoren oder Gewichtsreziproke

Gewichtung ist umgekehrt proportional zu den Varianzen bzw. Kofaktoren, also Inversion der Matrix

Festlegung geschieht vor der Messung bzw. Ausgleichung  a priori VarianzenVarianz der Gewichtseinheit a prioristochastisches Modell a priori

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Funktionales modell 1

Funktionales Modell (1)

n BeobachtungenL um u Unbekannte X(Parametervektor) zu bestimmen

Realisierungen L1, … Ln sind Näherungen des wahren Wertes

Wir geben Schätzwert für den wahren Wert an:Ausgeglichene Beobachtungen

Auch Parametervektor hat wahren Wert

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Funktionales modell 2

Funktionales Modell (2)

Oft Parameter näherungsweise bekannt: Genäherter ParametervektorX0

Differenz ausgeglichener – genäherter Parametervektor: gekürzter Parameter-vektorx

Funktionaler Zusammenhang: r Funktionen j1, … jr mit den Parametern L und X

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Beziehungen

(ursprüngliches) funktionales Modell

Widerspruchsvektor

gekürzter Beobachtungsvektor‚gemessen minus gerechnet‘

genäherter Beobachtungsvektor

Beziehungen

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Linearisiertes funktionales modell

Linearisiertes funktionales Modell

Funktionen j1, … jr von beliebigem Typ

Annahme: x und v klein gegenüber X0 und L

Linearisierung über Taylor-Entwicklung

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Jacobi matrix

Jacobi-Matrix

  • Modellmatrix (Designmatrix) A

  • Matrix B

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Funktionales modell

Funktionales Modell

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Allgemeine aufl sung 1

Allgemeine Auflösung (1)

Extremwertaufgabe mit NebenbedingungenLösung mit Lagrange‘schen Vektoren

Partielle Ableitungen bilden und gleich Null setzen

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Allgemeine aufl sung 2

Allgemeine Auflösung (2)

Ableitung nach v:

Gleich Null setzen:

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Allgemeine aufl sung 3

Allgemeine Auflösung (3)

Ableitung nach x analog und es ergibt sich:

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Allgemeine aufl sung 4

Allgemeine Auflösung (4)

Gemeinsames Gleichungssystem:

Auflösung durch Inversion:

Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung

Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Verbesserungsgleichungen

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Hauptprobe

Iteration

Neu aufstellen

Geprüfte Programme verwenden

Hauptprobe

Annahme war, dass x und v klein gegen-über X0 und Lsind

Annahme muss überprüft werden!

Einsetzen in ursprüngliches (nicht linearisiertes) Gleichungssystem

Wenn nicht genügend genau erfüllt?

  • Näherungswerte nicht gut genug

  • Funktionales Modell fehlerhaft

  • Rechenfehler

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Ausgleichungsrechnung

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Fehler im funktionalen modell

Fehler im funktionalen Modell

Hauptprobe zeigt Fehler im funktionalen Modell an

Kandidat für Fehler ist die Funktion, bei der die Hauptprobe nicht aufgeht

z.B. 3. Gleichung geht nicht auf – möglicherweise 3. Zeile der A-Matrix oder 3. Element des w-Vektors fehlerhaft

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Iterative ausgleichung

Iterative Ausgleichung

Ergebnis der Ausgleichung als Näherung für eine neuerliche Ausgleichung verwendet

L, SLL und B bleiben erhalten

A und w werden neu berechnet (hier kommen die Näherungswerte der Unbekannten vor)

Iteration so lange, bis Hauptprobe aufgeht

Iteration muss nicht konvergieren!

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Sonderf lle

Sonderfälle

  • In jeder Gleichung ji kommt jeweils nur eine Beobachtung vor: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen

  • Es treten keine unbekannten Parameter auf, die Gleichungen ji beschreiben nur den funktionalen Zusammenhang der Beobachtungen: Ausgleichung bedingter Beobachtungen

  • In n Gleichungen tritt jeweils nur eine Beobachtung auf und in den übrigen r-n Gleichungen treten nur Unbekannte auf: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Ausgleichung vermittelnder beobachtungen

Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen

Pro Gleichung nur eine Beobachtung

Gleichungen explizit nach Liauflösbar

n Messgrößen, r=nGleichungen, uUnbekannte

Überschüssige Beobachtungen: nfu=n-uAnzahl der Freiheitsgrade (Redundanz)

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Art des problems

Art des Problems

Unterscheidung über die Redundanz:

  • Redundanz < 0: unterbestimmt, nicht eindeutig lösbar

  • Redundanz = 0: Problem eindeutig lösbar

  • Redundanz > 0: Ausgleichungsaufgabe

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Funktionales modell1

Funktionales Modell

Taylorentwicklung: B= –I

Modellmatrix A wie bisher

weiters:

bzw.

Verbesserungsgleichung

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Gewichtsmatrix

Gewichtsmatrix

Anwendung des Varianzfortpflanzungs-gesetzes auf gibt für die Kovarianzmatrix des gekürzten Beobachtungsvektors:

Die Kofaktormatrix ergibt sich somit zu

Somit erhalten wir dieselbe Gewichtsmatrix P wie bisher.

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


L sung

Normalgleichung

Lösung

Das Gleichungssystem vereinfacht sich zu

Die Auflösung ergibt

Normalgleichungsmatrix

Verbesserungen:

Ausgeglichene Beobachtungen:

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Hauptprobe1

Hauptprobe

Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell?

Einsetzen in

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Sonderfall lineare verbesserungsgleichungen

Sonderfall: Lineare Verbesserungsgleichungen

z.B. Koordinatendifferenzen (Nivellement)

Verbesserungsgleichungen sind linear

Keine Linearisierung notwendig

Keine Näherungswerte für die Parameter notwendig (oft trotzdem aus numerischen Gründen verwendet – kleine Werte in x und l)

Hauptprobe: Nur aufgestelltes Modell und Rechnung können falsch sein

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Sonderfall ausgleichung direkter beobachtungen

Sonderfall: Ausgleichung direkter Beobachtungen

z.B. Ausgleichung direkt und mehrfach gemes-sener Größen (Strecke)

A-Matrix ist ein 1-Vektor

Auflösung:

Gewichtsmatrix Einheitsmatrix: einfaches arithmetisches Mittel

Gewichtsmatrix Diagonalmatrix: gewogenes arithmetisches Mittel

Sonst: allgemeines arithmetisches Mittel

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Ausgleichung bedingter beobachtungen

Ausgleichung bedingter Beobachtungen

Keine unbekannten Parameter

nBeobachtungen sollen so verbessert werden, dass sie rBedingungen (sind aufzustellen) erfüllen

r = n – n0 mit n0 = Anzahl der notwendigen Beobachtungen für eine eindeutige Lösung

nfb=r Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz)

Das Problem vereinfacht sich zu

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Funktionales modell2

Funktionales Modell

Widerspruchsvektor:

Ableitungen nach X alle Null, somit A-Matrix eine Nullmatrix, also

Korrelaten:

Verbesserungen:

Normalgleichungsmatrix der bedingten Ausgleichung:

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Hauptprobe2

Hauptprobe

Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen das ursprüngliche funktionale Modell?

Einsetzen in

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Ausgleichung vermittelnder beobacht ungen mit bedingungsgleichungen

Ausgleichung vermittelnder Beobacht-ungen mit Bedingungsgleichungen

Pro Gleichung nur eine Beobachtung

Zusätzlich Bedingungen zwischen den Unbekannten

nBeobachtungen, uUnbekannte, nbBedingungen

nfvb = n – u + nb = r – uAnzahl der Freiheitsgrade (Redundanz)

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


L sungsans tze

Lösungsansätze

  • Elimination von Unbekannten: r Unbe-kannte werden mit Hilfe der Bedingungen eliminiert

  • Strenge Lösung: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen

  • Fiktive Beobachtungen: Bedingungen werden als (fiktive) Beobachtungen mit großem Gewicht eingeführt

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Wann ausgleichungsproblem

Wann Ausgleichungsproblem?

nfvb = n – u + r

Ausgleichungsproblem, wenn nfvb > 0

Somit: n + r > uDie Summe aus Beobachtungen und Bedingungen muss größer als die Anzahl der Unbekannten sein

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Funktionales modell3

Funktionales Modell

Funktionales Modell der vermittelnden Ausgleichung

und die Bedingungen

Getrennte Betrachtung der beiden Teile:

Beobachtungen

Bedingungen

Keine Bedingungen zwischen den Beobachtungen  B ist eine Nullmatrix

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


L sung 1

Lösung (1)

Methode von Langrange:

Differenziert und gleich Null gesetzt:

Einsetzen von gibt

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


L sung 2

Lösung (2)

1. Gleichung:

Kombiniert mit 2. Gleichung:

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Hauptprobe3

Hauptprobe

Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell?

Erfüllen die ausgeglichenen Parameter die Bedingungen?

Einsetzen in

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Ausgleichung bedingter beobacht ungen mit verbesserungsgleichungen

Ausgleichung bedingter Beobacht-ungen mit Verbesserungsgleichungen

Entspricht dem Allgemeinfall der Aus-gleichungsrechnung

nBeobachtungen, n0Beobachtungen zur eindeutigen Lösung notwendig, uUnbekannte

Anzahl der aufzustellendenBedingungen: r = (n – n0) + u = nfa + u

Lösung: siehe Allgemeinfall

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Stochastisches modell a posteriori

Stochastisches Modell a posteriori

a posteriori: nach der Ausgleichung

Beim stochastischen Modell a priori Ausgangspunkt Kovarianzmatrix, aber schließlich verwendet die Kofaktormatrix

Kovarianzfortpflanzungsgesetz angewendet auf Gleichungssystem f=Fx gibt

Kofaktorfortpflanzungsgesetz

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden ausgleichung 1

Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (1)

gekürzter Beobachtungsvektor:

Ausgeglichene Beobachtungen aus

Somit gilt:

Nun können wir l, x, und v als Funktion von l ausdrücken.

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden ausgleichung 2

Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (2)

Das Kofaktorfortpflanzungsgesetz liefert:

Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden ausgleichung 3

Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (3)

Und weiters:

Grund: Unterscheiden

sich nur durch konstante

Faktoren

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Probe

Probe

Gewichtsreziprokenprobe nach Ansermet

Die Summe der Hauptdiagonalglieder der Produktmatrix muss gleich der Anzahl der Unbekannten sein

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Kofaktoren a posteriori bei der bedingten ausgleichung 1

Kofaktoren a posteriori bei der bedingten Ausgleichung (1)

Ausgangspunkt: (ausgehend von mit anschließender Taylor-Entwicklung für w:

Wenn die Näherungswerte genau genug, kann der Restfehler o2 vernachlässigt werden

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Kofaktoren a posteriori bei der bedingten ausgleichung 2

Kofaktoren a posteriori bei der bedingten Ausgleichung (2)

Somit wirdzu

Und es gilt

Nun können wir alle Werte als Funktion von L darstellen

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Kofaktoren a posteriori bei der bedingten ausgleichung 3

Kofaktoren a posteriori bei der bedingten Ausgleichung (3)

Das Kovarianzfortpflanzungsgesetz liefert:

Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnde ausgleichung mit bed

Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnde Ausgleichung mit Bed.

Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix:

Und weiters:

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Kofaktoren a posteriori bei der bed ausgleichung mit unbekannten

Kofaktoren a posteriori bei der bed. Ausgleichung mit Unbekannten

Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix:

Und weiters:

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Varianz der gewichtseinheit a posteriori 1

Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (1)

Im stochastischen Modell s02 herausge-hoben und die Kofaktormatrix Q erhalten

Somit Übergang auf relative Genauigkeits-angaben (ausreichend für Gewichtung)

Ausgleichung liefert Kofaktormatrizen für ausgeglichene Parameter etc.

Gesucht: Kovarianzmatrizen

Multiplikation mit Varianz der Gewichts-einheit a posteriori

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Varianz der gewichtseinheit a posteriori 2

Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (2)

Parameter aus den empirischen Beobachtungen bestimmt  auch Varianz der Gewichtseinheit a posteriori empirisch bestimmt

Definition der Varianz: Quadratsumme der Verbesserungen durch Anzahl der Freiheitsgrade

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Varianzen kovarianzen und standardabweichungen

Varianzen, Kovarianzen und Standardabweichungen

Aus Kofaktormatrizen durch Multiplikation mit der Varianz der Gewichtseinheit a posteriori

z.B.

Varianz einer Funktion

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Funktionales modell4

Funktionales Modell

Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen: Designmatrix enthält Ableitungen nach den Unbekannten

Formeln für Elemente der Designmatrix für Standardbeobachtungen einfach herzuleiten

  • Streckenbeobachtung

  • Richtungsbeobachtung

    Formeln für andere Beobachtungen analog

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Streckenbeobachtung

Werte der A-Matrix

Streckenbeobachtung

Ableitungen:

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Richtungsbeobachtung

Werte der A-Matrix

Richtungsbeobachtung

Ableitungen:

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Bedingungsgleichungen

Bedingungsgleichungen

Probleme bei der bedingten Ausgleichung

  • Anzahl der Bedingungen festlegen (Redundanz)

  • Linear unabhängige Bedingungen aufstellen

    Wann? Anzahl der Unbekannten größer als Redundanz (Matrixgröße)

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


H hennetze

Höhennetze

Mögliche Bedingungen sind:

  • Höhendifferenz geschlossener Schleifen ist gleich Null

  • Höhendifferenz zwischen zwei bekannten Punkten ist gleich der Summe der Höhen der Teilstücke

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Winkelmessung

Winkelmessung

Mögliche Bedingungen sind:

  • Winkelsumme im ebenen Dreieck ist 200g a+b+g–200=0

  • Winkelsumme im Vieleck

  • Winkelsumme einer abgeschlossenen Satzmessung ist 400g a+b+g–400=0

  • Winkelsumme einer nicht abgeschlossenen Satzmessung ist

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Zentralsystem

Zentralsystem

C

Gegeben: 9 Winkel

Notwendig: 4 Winkel

 5 Bedingungen

3x Dreieckssumme

1x abgeschlossene Satzmessung

5. Bedingung: Über Sinussatz Strecke zum Zentralpunkt

3

4

8

2

9

A

7

1

5

6

B

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Streckenmessung

Streckenmessung

Geg.: 10 Strecken

Notwendig 9 Strecken

1 Bedingung!

Zentralwinkelsumme 400g

Winkel über Cosinus-Satz

Linearisierung notwendig

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Gro e netze

Große Netze

Bei großen Netzen auch große Matrizen

Inversion großer Matrizen ist auch heute noch ein Problem (Rechenzeit von Tagen)

Daher Strategien zur Reduktion der Größe

Netze der Landesvermessung: Bedingte Ausgleichung

Elimination von Parametern durch Blockzerlegung

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Elimination von parametern durch blockzerlegung 1

Elimination von Parametern durch Blockzerlegung (1)

Allgemeingültiger Ansatz

Blockweise Reduktion des funktionalen Modells

Zerlegung in Submatrizen und -Vektoren:

Verbesserungsgleichungen:

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Elimination von parametern durch blockzerlegung

Elimination von Parametern durch Blockzerlegung

Zuschläge auf die Unbekannten:

2. Gleichung:

Falls existiert erhalten wir eine Bestimmungsgleichung für x2

Einsetzen in x1 Lösung für x1

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Blockzerlegung nach helmert 1

Blockzerlegung nach Helmert (1)

Zerlegung des Netzes an der gestrichelten Linie

3 Punktwolken

  • x1: links

  • x2: rechts

  • x3: Naht

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Blockzerlegung nach helmert 2

Blockzerlegung nach Helmert (2)

Nun werden die Parameter x1 und x2 aus den Gleichungssystemen eliminiert:

Die partiell reduzierten Anteile werden addiert:

 Lösung von x1 und x2 bestimmen

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Weitere bezeichnungen

Weitere Bezeichnungen

  • Parameterschätzung nach der L2-Norm

  • Vermittelnde Ausgleichung:Gauß-Markov-Modell

  • Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung:Gauß-Helmert-Modell

  • Ausgleichungsen vermittelnder Beobacht-ungen mit Bedingungsgleichungen:Ausgleichung nach Parametern mit Restriktionen

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Analogien

Analogien

  • Statik: Durchbiegung bei Fachwerk- und Stabsystemen – Arbeit minimiert

  • Elektrizitätslehre: Leitungsnetze – Stromwärme minimiert

  • Kinetische Gastheorie: bei irreversiblen Prozessen wird die Entropie maximiert

  • Dynamik: Bewegung eines Massenpunktes – Summe der durch Zwangsbedingungen verlorenen Kräfte minimiert

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


Zusammenfassung

Zusammenfassung

  • Lösung überbestimmter Probleme durch Einführen einer Bedingung: vTvmin

  • Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung

  • Sonderfälle bedingte/vermittelnde Ausgleichung

    • vermitteln: einfach zu automatisieren

    • bedingt: schwer aufzustellen, einfach zu rechnen

  • Große Netze: Zerlegung oder bedingte A.

Ausgleichungsrechnung I

Gerhard Navratil


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