Universität Karlsruhe (TH) Institut für Anwendungen des Operations Research (ANDOR)

1. Universität Karlsruhe (TH) Institut für Anwendungen des Operations Research (ANDOR) Institutsleitung: Prof. Dr. Gerald Hammer Dreidimensionale orthogonale Packungsprobleme Eine Übersicht über Ausprägungen und LösungsmöglichkeitenSeminararbeit vom 16.02.2004 im WS 2003/04Betreuung: Dipl.-Math. Peer Giemsch 01.06.2004 Thilo Böltink

2. Einleitung: Packungsprobleme • zahlreiche Praxisanwendungen: • Beladen von LKWs, Kommissionierpaletten, Containern sowie Verschnitt-, Layout- oder Kapitalanlegeprobleme, Laufzeitaufteilung auf Prozessoren, Werbeblockverteilung • gleiche logische Struktur von Packungsproblemen und Zuschnittproblemen: Dualität von Materie und Raum: "Cutting and Packing" (C&P) • Praxisbedeutung dreidimensionaler Packungsprobleme: Bedeutungsanstieg der Logistik in den letzten Jahren meist dreidimensionale Objekte • Dennoch: Wissenschaft seit 80er Jahren kontinuierlich nur kleine Anzahl von Arbeiten wettbewerbsrelevanten Bedeutung Komplexität des Problems Verbesserungen bestehender Verfahren schwierig Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 2

3. Ziel dieser Arbeit • Überblick über dreidimensionale orthogonale Packungsprobleme • Struktur der Packungsprobleme und ihre verschiedenen Typen transparent machen • Einordnung der in der Literatur sehr uneinheitlich notierten Probleme • gegenwärtiger Stand der zugehörigen Lösungsverfahren • schneller Einstieg in das Gebiet • als Ausgangspunkt zu einer vervollständigenden Literaturrecherche • Zusammenfassungen von ausgewählten Papers, um Relevanz für eigene Forschungszwecke zu überprüfen. • Stand der Forschung und Trends • exemplarisch Heuristik von Gehring/Menschner/Meyer (1990) ausführlich und strukturiert • Die Arbeit stellt den - meines Wissens nach - bisher einzigen Überblick dieser Art in deutscher Sprache dar. Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 3

4. Inhaltsübersicht • Einleitung • Problemausprägungen • Merkmale nach Dyckhoff • Die 4-Feld Klassifizierung von Dyckhoff • Die 4-Grundtypen Klassifizierung von Dyckhoff • Problem- und Problemklassendefinition für diese Arbeit • Lösungsansätze • Exakte Algorithmen (2) • KS3, PL3, BP3, SP3 • Heuristiken (12) • Wall-Building, Column-Building und Layer-Approach • KS3, PL3, BP3, SP3 • Das Verfahren von Gehring/Menschner/Meyer • Fazit, Fragen und Diskussion Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 4

5. Problemausprägungen • Packungsproblem: Anordnung kleinerer Objekte innerhalb eines oder mehrerer größerer Objekte Vielzahl verschiedenartiger Probleme und Bezeichnungen, deren Gemeinsamkeit diese grundsätzliche Struktur ist. • unterscheiden sie sich aber auf einer detaillierteren Ebene in ihren Ausprägungen deutlich voneinander • Merkmale deren Ausprägungen das jeweilige Problem charakterisieren • Probleme mit hinreichend gleichen Ausprägungen können dann zu einer Problemklasse zusammengefasst werden. Zuordnung einer Lösungsmethodik für alle Probleme der Klasse • Literatur: am meisten Beachtung und Anwendung findende Klassifizierungen: Arbeiten von Dyckhoff (1990, 1992) Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 5

6. Logische Grundstruktur nach Dyckhoff • (a) Es existieren zwei Gruppen von Objekten, die als geometrische Körper bestimmten Ausmaßes in einem endlich dimensionalen Raum realer Zahlen dargestellt werden: - ein bestimmter Vorrat an kleinen Objekten - ein bestimmter Vorrat an großen Objekten • (b) Zwei Aufgaben sind zu bewerkstelligen: (b1) Jedem großen Objekt muss eine ausgewählte (evtl. leere) Menge von kleinen Objekten zugeordnet werden (kombinatorische Grundvoraussetzung). (b2) In jedem großen Objekt müssen diese kleinen Objekte so angeordnet werden, dass sie nicht überlappen und in dieses Objekt passen. Das verbleibende Residuum heißt Leerraum (geometrische Grundvoraussetzung). Charakterisierung großer und kleiner Objekte sowie deren geometrische Kombination Merkmale Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 6

7. Arten von Merkmalen (Dyckhoff) • i) Geometrische Merkmale sind: - Dimension - Gestalt - Packmusterrestriktionen • ii) kombinatorische Merkmale sind: - Art des Mengenmaßes - Auswahl an Gestalten - Vorrat an Objekten - Packmusterrestriktionen - Zuordnungsrestriktionen  • iii) weitere Merkmale sind: - Zielfunktion (en) - Stand der Information Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 7

8. Merkmale (1) (Dyckhoff) • (1) Dimension: Minimale Anzahl an Dimensionen, um die Geometrie der Packmuster zu beschreiben. nicht notwendigerweise die räumliche Dimension der kleinen bzw. großen Objekte, sondern das Problem, bzw. präziser: das Packmuster. • eindimensional • zweidimensional • dreidimensional • mehr (n-) dimensional • ! Palettenbeladung: 'Dimension 2+1' statt 3, • Verschnittprobleme mit Guillotineschnitt: '1+1' statt 2 Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 8

9. Merkmale (2) (Dyckhoff) • (2) Art des Mengenmaßes: • diskret (durch Natürliche Zahlen) • Anzahl oder Frequenz von Objekten bestimmter Form • kontinuierlich (durch Reale Zahlen) z. B. deren Längen, Gewichte oder Durchmesser können auch summiert werden und stellen so eine weitere Dimension dar, die mit dem eigentlichen Packmuster nichts zu tun hat. oft als halbe 'Dimension' dem Problem zugeschlagen Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 9

10. Merkmale (3) (Dyckhoff) • (3) Gestalten: Die Gestalt eines (kleinen oder großen) Objektes ist eindeutig bestimmt durch seine: Form, Größe und Orientierung • regelmäßige Formen (insbesondere rechteckige) • unregelmäßige Formen • Objekte gleicher Form und Größe heißen kongruent. • Objekte gleicher Form, Größe und Orientierung können als identisch betrachtet werden. • Daher sind kongruente Objekte, denen 'jede Orientierung erlaubt' ist, ebenso nicht zu unterscheiden. • Sind 'nur 90-Grad Drehungen erlaubt', können nur kongruente Objekte bestimmter regelmäßiger Formen, z. B. rechteckigen, als identisch bezeichnet werden. • Falls die 'Orientierung festgelegt' (und nicht vorab gleich) ist, sind kongruente Objekte unterschiedlicher Gestalt. Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 10

11. Merkmale (4) (Dyckhoff) • (4) Auswahl an Gestalten: nicht mehr die verschiedenen prinzipiell möglichen Gestalten, sondern das tatsächliche Auftreten verschiedener Gestalten im Vorrat der zu verwendenden Objekte. • heterogene Auswahl: sehr viele verschiedene Gestalten • schwach heterogene Auswahl: es lassen sich einige Gruppen identischer bilden • homogene Auswahl: alle Objekte kongruent oder gar identisch • wichtige Spezialfälle Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 11

12. Merkmale (5) (Dyckhoff) • (5)Vorrat an Objekten: charakterisiert durch deren Menge, Reihenfolge und Zeitpunkt. • bereitstehende Menge: unendlich oder begrenzt - große obere Schranke wirkt wie ein unendlicher Vorrat, - größten gegenteiligen (begrenzenden) Effekt hat der Vorrat nur eines Objektes • Vorschreiben einer Reihenfolge, nach der die Objekte verwendet werden sollen. (Beziehung zwischen den Objekten: partielle oder vollständige Ordnung) • Festlegung, zu welchem Zeitpunkt das betreffende Objekt verwendet werden muss. Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 12

13. Merkmale (6) (Dyckhoff) • (6) Packmusterrestriktionen: Restriktionen der geometrischen Anordnung der kleinen innerhalb der großen Objekte zusätzlich zu den Basisbedingungen (vgl. (b2)) • Abstandsrestriktionen • Orientierungsrestriktionen • Häufigkeitsrestriktionen • Anordnungsrestriktionen (bzgl. des großen Objektes) • zulässige Lage oder Anzahl der Objektgrenzen bzw. Kanten oder Schnitte zu denen des großen Objektes • rechteckige Objekte: orthogonale und nicht-orthogonale Packmuster. • orthogonale: kleine Objekte immer parallel zu den Kanten des großen angeordnet, so dass alle Seiten orthogonal. • Guillotine – Schnitte bzw. Muster Bei rekursiver Anwendung kann die Anzahl der Drehungen beschränkt sein (Stufen). • vernestelte Muster Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 13

14. Merkmale (7) (Dyckhoff) • (7) Zuordnungsrestriktionen: Vor Anordnung in (6) ist Zuordnung von kleinem zu großem nötig, bzw. jedem großen Objekt muss eine ausgewählte (evtl. leere) Menge von kleinen (vgl. (b1)) zugeordnet werden. Restriktionen: • Art der Zuordnung Typ I: alle kleinen und großen Objekte (reine Layoutprobleme) Typ II: alle großen, Auswahl an kleinen ('Beladeprobleme') Typ III: Auswahl an großen, alle kleinen ('Verladeprobleme') Typ IV: Auswahl an großen und kleinen ('Ladeprobleme') • Anzahl an Zuordnungsstufen • Anzahl, Häufigkeit oder Reihenfolge von Mustern Effizienz der Packeinrichtung oder Kundenpackung • Dynamik der Zuordnung • statisch (off-line und on-line Probleme) • dynamisch (verschiedene Aus- und Umladezeitpunkte/-abschnitte) Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 14

15. Merkmale (8) (Dyckhoff) • (8)Zielfunktionen(en): Operationale Subziele i. d. R. konfliktionär und schwierig in einem Modell integrierbar. meist Auswahl des wichtigsten Ziels und übrigen Satisfaktionsniveau durch Nebenbedingung Bsp.: • Minimierung der Anzahl großer Objekte • Minimierung des Leerraums • Minimierung des Materialverbrauchs /-kosten • Maximierung des Packvolumens /- wertes kleiner Objekte • außerdem denkbar: Zielfunktionen, welche Geometrie der Muster (Layout Optimierung) oder deren Häufigkeit, Reihenfolge oder Kombination optimieren Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 15

16. Merkmale (9) (Dyckhoff) • (9)Stand der Information: Problemrelevanten Daten: • deterministisch, stochastisch oder unsicher - meist aufgrund des kurzen Planungshorizontes deterministisch - aber auch Fälle mit stochastischen Schwankungen (z. B. produktionsbedingte Größenvarianz bei Metallplatten) aus einigen der Merkmale Typen jeweils gleicher Ausprägung bilden besondere Priorität: möglichst eindeutige Zuordnung von Lösungsmethoden zu Typen Typen auch durch Lösungsmethodik charakterisiert! Dyckhoff: Zwei verschiedene Klassifizierungen dieser Art Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 16

17. 4-Feld Klassifizierung (Dyckhoff 1990) • sinnvolle Systematisierung steht im Mittelpunkt • identifiziert vier Merkmale als besonders wichtig und verwendet sie daher typdefinierend: 1. Dimension () 2. Art der Zuordnung () 3. Auswahl an Gestalten der großen Objekte () 4. Auswahl an Gestalten der kleinen Objekte () Durch Kombination der Ausprägungen dieser Merkmale erhält man 4234 = 96 verschiedene Typen. • Notation übersichtlich als Tupel der Form  /  /  /  • Dyckhoff ordnet der neuen Notation die Problembezeichnungen aus der Literatur zu. Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 17

18. 4-Feld Klassifizierung (Dyckhoff 1990) 1. Dimension (): (1) Eindimensional (2) Zweidimensional (3) Dreidimensional (N) N-dimensional 2. Art der Zuordnung (): (B) alle großen Objekte, Auswahl an kleinen ('Beladeproblem' / Typ II) (V) Auswahl an großen Objekten, alle kleinen ('Verladeprobleme' /Typ III) 3. Auswahl an Gestalten der großen Objekte (): (O) Ein Objekt (one) (I) Identische Gestalten (identical) (homogen) (D) Verschiedene Gestalten (different) (heterogen) 4. Auswahl an Gestalten der kleinen Objekte (): (F) wenige Objekte ('few') verschiedener Gestalt (heterogen) (M) viele Objekte ('many') vieler verschiedener Gestalten (heterogen) (R) viele Objekte relativ ('relatively') weniger versch. Gest. (schwach heterogen) (C) Kongruente ('congruent') Gestalten (homogen) Notation:  /  /  /  Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 18

19. 4-Feld Klassifizierung (Dyckhoff 1990) Beispiel : 1 / V / I / M klassische Bin-Packing Problem • zugehörig zu diesem Typ bspw. auch Prozessorlaufzeitaufteilungs-, Maschinenbelegungs- und Speicherallokationsprobleme,eindimensionale Vehicle-Loading Problem, klassisches Cutting-Stock Problem unterscheidet sich nur im letzten Merkmal (=R). • 1 / B / O / klassisches Knapsack Problem 2 / B / O / C Palettenbeladungsproblem 3 / B / O / Containerbeladungsproblem n / B / O / z. B. Mehrperiodige Budgetierungprobleme Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 19

20. 4-Grundtypen Klassifizierung (Dyckhoff 1992) • Verdichtung zu wenigen bekannten Typen bessere Übersicht • mehr als 300 Werke der Literatur werden diesen 4 Grundtypen bzw. 26 Spezialtypen zugeordnet • zunächst nur Kombination der zwei wichtigsten Merkmale: 1. Art der Zuordnung • Typ II: alle großen Objekte, Auswahl an kleinen O. ('Beladeproblem') • Typ III: Auswahl an großen Objekten, alle kleinen O. ('Verladeproblem') • Typ IV:Auswahl an großen und kleinen Objekten ('Ladeproblem') 2. Auswahl an Gestalten der kleinen Objekte • homogen • heterogen - wenige Objekte je Gestalt (heterogen) - viele Objekte je Gestalt (schwach heterogen) Vier Grundtypen: Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 20

21. 4-Grundtypen Klassifizierung (Dyckhoff 1992) Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink Abb. 1: Die vier Grundtypen, kombiniert aus 'Art der Zuordnung' und 'Auswahl an Gestalten der kleinen Objekte' 21

22. 4-Grundtypen Klassifizierung (Dyckhoff 1992) Bin-Packing Typ (BP): Typ III oder IV, heterogen Cutting-Stock Typ (CS): Typ III oder IV, schwach heterogen Knapsack Typ (KS): Typ II, schwach heterogen oder heterogen Pallet-Loading Typ (PL): Typ II, homogen weiter differenziert nach: 3. Dimension: (1) Eindimensional (2) Zweidimensional (3) Dreidimensional zwölf Grundtypen:BP1, BP2, BP3, CS1, CS2, CS3, KS1, KS2, KS3, PL1, PL2 und PL3 Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 22

23. 4-Grundtypen Klassifizierung (Dyckhoff 1992) • V. a. bei BP1, KS1 und KS2, PL2 sowie die dreidimensionalen Typen weitgehende Einheitlichkeit in der Literatur Standardtypen Im Sinne der hier verwendeten Klassifizierung sind diese Standardtypen Spezialfälle der Grundtypen mit weiteren Standardeigenschaften. • BP2, CS1 und CS2 werden durch verschiedene Ausprägungen weiterer Merkmale zu insgesamt 16 Spezialtypen differenziert. Typenhierarchie: Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 23

24. 4-Grundtypen Klassifizierung (Dyckhoff 1992) Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion Abb. 2: Typenhierarchie für Packungsprobleme 01.06.2004 T. Böltink 24

25. Problemdefinition • DreidimensionaleProbleme: Problemstellung, bzw. Geometrie der Packmuster muss durch mindestens drei Dimensionen beschrieben werden. !DreidimensionalesProblem Dreidimensionale Objekte • Orthogonale Probleme: Anordnungsrestriktion: parallele Lage der Objektgrenzen bzw. Kanten oder Schnitte zu denen des großen Objektes ! Gestalt der Objekte nur regelmäßige und insbesondere rechteckige Formen ! 'kleine Objekte' : 'Kiste' 'große Objekte' : 'Container' • Zuordnung:Off-line Dreidimensionale orthogonale Packungsprobleme: Eine gegebene Menge von Kisten wird vollständig oder nur zum Teil orthogonal in eine auswählte Menge bekannter quaderförmi- ger Container gepackt. • - Zielfunktion je nach Problemtyp unterschiedlich Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 25

26. Problemklassifizierung • wie in Literatur angeregt: Ähnlichkeit bzgl. logischer Struktur von Knapsack-, und Pallet-Loading Problemen sowie von Bin Packing, Cutting-Stock und sog. Strip-Packing Problemen: Knapsack und Bin-Packing Problem als Hauptklassen, übrige (als eigene Klassen bestehen bleibend) untergeordnet • Ähnlichkeit anhand 4-Feld Notation sehr transparent • Kritik: Notation keine ausreichende Unterscheidungsmöglichkeiten (z. B. Strip-Packing Probleme nicht problemlos ausweisbar) Strip- Packing Probleme als eigene (Unter-)klasse von Bin-Packing Problemen Unterklassen explizit aufzuführen: • bessere Transparenz und Übersicht • trotz ähnlicher Merkmale große Unterschiede zu Hauptklassen bzgl. Komplexität und Lösungsmethodik folgende Problemklassifizierung: Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 26

27. Problemklassifizierung Knapsack (i.w. S.): KS3 bzw. 3 / B / / , oft 3 / B / O / Knapsack (i. e. S.): KS3 bzw. 3 / B / / {M, R, F},oft 3 / B / O / {M, R, F} Aus einer mehr oder weniger heterogenen Menge an Kisten wird eine Auswahl in alle, in begrenzter Anzahl zur Verfügung stehenden, Container gepackt. Der Wert der eingepackten Kisten soll hierbei maximiert werden. Oft wird der Wert durch die Kistengröße repräsentiert, so dass der oder die Container möglichst voll gepackt werden sollen und möglichst wenig Leerraum bleibt Pallet-Loading: PL3 bzw. 3 / B / O / C und 2 / B / O / C Homogene (kongruente oder identische) Kisten werden in einen Container gepackt. Es werden so viele Kisten wie möglich eingepackt. Da die Kisten homogen sind reduziert sich das geometrische Problem auf zwei Dimensionen, wenn aus den (bei gleicher Orientierung gleich hohen Kisten) identische Schichten gebildet werden, die aufeinander geschichtet werden bis eine gewünschte Packhöhe erreicht ist. Ein möglichst gutes Packmuster aus den Grundflächen der Kisten reicht dann als Lösung aus. Werden die Kisten auch in die anderen beiden Orientierungen gekippt, muss jeweils eine Lösung hierfür gefunden werden und es können dann die drei verschiedenen Schichten in beliebiger Reihenfolge geschichtet werden, um die Höhe günstig auszunutzen. Prinzipiell kann auch mehr als eine Palette vorliegen. Da diese aber auch homogen sind, ist die Lösung für den Fall einer Palette für alle anderen gleichermaßen gültig. Pallet-Loading Probleme können als spezielle Knapsack Probleme mit homogenen Kisten und Containern (die daher als einer angesehen werden) betrachtet werden. Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 27

28. Problemklassifizierung Bin-Packing: BP3 bzw. 3 / V / I / und 3 / V / D / Heterogene Kisten werden i. d. R. vollständig (V, Typ III) in einer Auswahl mehrerer Container verpackt. Dabei sollen die Kisten in möglichst wenige Container verpackt werden, d.h. die Anzahl an Containern wird minimiert. Sind die Container verschiedenartig (heterogen), so werden ihnen Kosten proportional zum jeweiligen Volumen zugeordnet und dann die Gesamtkosten bzw. das benötigte Gesamtvolumen minimiert. Cutting-Stock: CS3 bzw. 3 / V / I / R Kisten weniger verschiedener Typen (Gestalten) (schwach heterogen) werden i. d. R. vollständig (V, Typ III) in einer Auswahl mehrerer identischer Container verpackt. Cutting-Stock Probleme: spezielle BP Probleme (mit einer weniger heterogenen Auswahl an verschiedenen Kistentypen und identischen Containern)  Reduktion der Komplexität gegenüber Bin-Packing Problemen Strip-Packing: SP3 bzw. 3 / V / O Heterogene Kisten werden i. d. R. vollständig (V, Typ III) in genau einen Container verpackt, dessen dritte Dimension (Höhe i. d. R.) offen und unbeschränkt ist. Dabei sollen die Kisten so verpackt werden, dass diese Dimension bzw. Höhe des Containers minimiert wird. Strip-Packing Probleme: spezielle BP Probleme mit einem in einer (oft als halbe bezeichneten) Dimension unbeschränkten Container. Dyckhoff: BP Problem mit einem (unendlichen) Vorrat an Containern gleicher Grundfläche und allen möglichen Höhen, aus dem der (eine) Container mit der minimalen Höhe ausgewählt wird. SP Probleme werden allerdings algorithmisch anders behandelt als BP Probleme. Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 28

29. Lösungsansätze: Exakte Algorithmen • eine oder die optimale Lösung • Techniken: Lineare ganzzahlige oder binäre Programme, dynamische Programmierung, Suchbaumverfahren (branch-and-bound), Graphen etc. • bereits BP1 und KS1 NP-vollständig • KS3, BP3 und SP3: unmittelbar als NP-vollständig zu identifizieren, da KS1 und BP1 als Teilprobleme enthalten. Zusätzlich zu dieser kombinatorischen Komplexität tritt dann die geometrische auf (immense Anzahl räumlicher Anordnungsmöglichkeiten) theoretisch optimale Lösung, aber praktisch kaum anwendbar, da der Rechenaufwand dabei prohibitiv groß würde. Selbst modernste Rechner rechnen mehreren Stunden und gelangen im worst case auch dann nicht zu einem Ergebnis. exakte Methoden kaum praktische Bedeutung (fast immer heuristische Lösungsverfahren), aber von wiss. Interesse (s. u.) • Zugehörigkeit von PL zu dieser Komplexitätsklasse ist noch ungeklärt, einiges spricht aber dafür, dass PL polynomiell lösbar ist Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 29

30. Exakte Algorithmen: Potenziale • aktuelle Forschung: Entwicklung effizienterer Verfahren in Zukunft die Anwendung optimaler Packungen in der Praxis: weitere Optimierungspotentiale in logistischen Prozessen • Packen weniger großer Kisten (Heuristik verringert Güte der Lösung drastisch, Anzahl der Variablen und Rechenaufwand geringer) • moderne Algorithmen zunächst in hybriden Ansätzen einsetzen (Bsp.: sperrige Objekte mit exakten Verfahren anordnen, später die kleinen mit Heuristik in die Lücken packen) • Verfahren, die Ausgangslösung iterativ bis zur Optimallösung verbessern, bei Erreichen eines gewissen Satisfaktionsniveaus oder nach gewisser Laufzeit abbrechen(wenn sie dabei bessere Ergebnisse als eine Heuristik aufweisen) • Algorithmen, die im Mittel in angemessener Zeit optimale Lösungen liefern einsetzen, auch wenn die Laufzeit im Worst Case nicht polynomiell beschränkt ist (Heuristik als Backup bereithalten) • Gütebeurteilung heuristischer Verfahren nur durch Kenntnis der Optimallösung und somit Obergrenze, ohne diese nur Volumen-nutzungsgrade berechenbar Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 30

31. Lösungsansätze: Exakte Algorithmen • Literatur sehr überschaubar, in den letzten Jahren einige neue Verfahren • einige prominente Arbeiten: • Mannchen (1989):KS3, BP3 Probleme (-> Seminararbeit) • Chen/Lee/Shen (1995):BP3 , Anpassung an SP3 (-> Seminararbeit) Dreidimensionale Bin-Packing Probleme: ... + Martello/Pisinger/ Vigo (1997),Schepers (1997) Dreidimensionale Strip-Packing Probleme: Schepers(1997): sind "Veröffentlichungen ... nicht bekannt" Anpassung des linearen Programms von Chen/Lee/Shen (1995) Dreidimensionale Knapsack Probleme (KS3): Mannchen (1989), Schepers (1996), Fekete und Schepers (1997), Schepers (1997), Übersicht: Martello und Toth (1990), Dreidimensionale Pallet-Loading Probleme: reduzierbar auf PL2:zahlreiche exakte Verfahren: Christofides und Whitlock (1977), Beasley (1985), Dowsland (1987), Übersicht: Isermann (1987), Christofides und Hadjiconstantinou (1995) lineare Progr., weitere Quellen: Arnold et al. (2002) und Isermann (1998) Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 31

32. Lösungsansätze: Heuristiken • innerhalb angemessener Zeit eine möglichst gute Lösung • statt vollständiger (Programme) bzw. unvollständiger (branch-and-bound etc.) Enumeration aller möglichen Lösungen: Konstruktion einer zulässigen Lösung anhand einiger Regeln (heuristic rules), die geeignet erscheinen, das angestrebte Ziel möglichst gut zu erreichen • Regeln basieren auf dem gesunden Menschenverstand des Gestalters, Kreativität sind keine Grenzen gesetzt • reduzierte Komplexität und Rechenzeit • Zielerreichungsgrad zu Beginn unbekannt und von der Qualität der gewählten Regeln abhängig • Zielerreichungsgrad müsste prinzipiell an der Optimallösung gemessen werden, kann aber i. d. R. nur mit theoretischen Obergrenzen (z. B. Volumen Container) verglichen werden • seit den 80er Jahren Entwicklung diverser Heuristiken, dennoch Zahl nach wie vor relativ überschaubar Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 32

33. Heuristiken: Ansätze • Heuristiken gehen unterschiedlich vor, dennoch verschiedene Grundstrategien: drei weit verbreitetsten Ansätze: • Wall-Building Approach • Column-Building Approach • Layer Approach sowie Cuboid-Arrangement Approach • allen gemeinsam: Prinzip, den Container bzw. Stauraum sukzessive in Teilräume zu unterteilen und diese dann möglichst gut zu packen • Gesamtproblem zerlegt in mehrere Teilprobleme, Komplexität deutlich geringer, weil i. d. R. ein- oder zweidimensionale Probleme • mehrere möglichst gute oder gar optimale Teillösungen, aber i. d. R. kein Gesamtoptimum, sondern nur 'gute' Lösung • geringe Abstriche an der Lösungsqualität, aber deutliche Reduktion der Komplexität und Rechenzeit in der Praxis einzig effiziente Lösungen Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 33

34. Heuristiken: Wall-Building Approach • vor der Rückwand des Containers Wand aus Kisten • sukzessive neue Wände: Folge von Wänden und vertikalen Schichten • auch heterogene Kisten: Frontseite einer Wand nicht eben • nächste Wand wieder mit ebener Rückseite beginnend gepackt • nicht miteinander verbunden, Permutation möglich (z. B. bessere Gewichtsverteilung) vs: • Leerraumverschmelzung (Amalgamation), Rückwände nicht not- wendig eben, nicht vertauschbar (bessere Volumennutzung) • vertikale Schicht (oft missverständlich: 'layer'): Hilfskonstrukt zur Definition der Teilräume • meist Schichtdefinition durch erste platzierte Box: Konzept der LDB (layer determining box). Verfahren: George und Robinson (1980), Liu und Chen (1981), Bischoff und Marriott (1990), Gehring/Menschner/Meyer (1990), Wottawa (1996), Bortfeldt und Gehring (1999), Pisinger (2002) Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 34

35. Heuristiken: Column-Building Approach • Bildung einzelner Säulen (columns) bzw. Stapel (stacks) oder Türme (towers) • Grundfläche und Höhe des Containers gut ausnutzen • Säulen auf dem Boden des Containers möglichst optimal angeordnet nur noch zweidimensionales Verfahren auf die Grundflächen der Stapel anzuwenden • noch bessere Berücksichtigung von Nebenbedingungen wie Gewichtsverteilung, Packen von Aufträgen eines Kunden in nur einen Stapel oder Entladereihenfolgen als beim Wall-Building Approach Verfahren: Haessler und Talbot (1990), Bischoff und Ratcliff (1995), Gehring und Bortfeldt (1997) Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 35

36. Heuristiken: Layer Approach • legt auf dem Containerboden beginnend sukzessive horizontale 'layer' (Lage, Schicht) aus Kisten übereinander bis die Containerhöhe keine weitere mehr zulässt. • selten möglich komplette Lage aus nur einem Kistentyp zu bilden • Eine (einschichtige) Teillage oder ein (mehrschichtiger) Block aus einem Kistentyp teilt daher die zu packende Grundfläche und erzeugt neben sich und auf sich neue rechteckige Packflächen • Bildung von Blöcken: "Cuboid-Arrangement Approach" (Blockanordnung) • Da Teillagen oder Blöcke aus einem Kistentyp zu bilden sind, bietet sich der Layer Approach eher bei schwach heterogenen Probleme an • inhärente Stabilität • separates Handling von einzelnen Aufträgen und zwischenzeitliche Entladungen nur schlecht möglich • Verfahren: Bischoff/Janetz/Ratcliff (1995) Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 36

37. Heuristiken für KS3 Probleme Notation:KS3 bzw. 3 / B / O / {M, R, F} Verfahren:(Zusammenfassende Darstellung s. Seminararbeit) • Gehring/Menschner/Meyer (1990) (s. u.) • Bischoff und Ratcliff (1995) Stab. (s. u.), Mehrfach-Entlade-Situationen • Bischoff/Janetz/Ratcliff (1995) Distributor's PL,Stabilität der Ladung • Wottawa (1996) (s. u.) • Gehring und Bortfeldt (1997) genetischer Algorithmus, Hybridisierungen • Bortfeldt (1998) MCLP,Auswahlproblem, Kooperation mit Anordnungsheuristik • Pisinger (2002) Streifenbildung,mit Branch-and-bound Verfahren und Backtracking Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 37

38. Heuristiken für PL3 Probleme Notation:PL3 bzw. {3,2} / B / O / C • bei Bildung von Schichten gleicher Kistenorientierung: • Einfachheit (Reduktion auf PL2)  exaktes Verfahren • Volumennutzung • relativ effiziente Bestimmung optimaler Packmuster • notwendige Eigenstabilität (keine Halt gebenden Seitenwände) • Werden Paletten mit heterogenen Kisten in Schichten beladen: per Definition kein PL3, sondern ein KS3 ('Distributor's Pallet-Loading Problem') • Daher entsprechen PL Probleme nicht direkt Thema dieser Arbeit. • dennoch wichtig, weil in der Praxis große Bedeutung Literatur: • Übersichten: Isermann (1987), Dowsland (1985), Dowsland und Dowsland (1992), Wottawa (1996), Isermann (1998) und Arnold et al. (2002) • allgemeines PL3(ohne Schichtenbildung/Reduktion auf PL2): wenig Beachtung: George (1992), Wottawa (1996) Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 38

39. Heuristiken für BP3 und SP3 Probleme Notation:BP3 bzw. 3 / V / I / und 3 / V / D / Verfahren:(Zusammenfassende Darstellung s. Seminararbeit) • Liu und Chen (1981) Computersystem-Implementierung, z. T. interaktiv • Haessler und Talbot (1990) speziell für LKW-Anhänger/Güterwagons • Sommerweiß (1996) Distributor's PL, Stabilität (Ladung und Kisten, 'height-density-function', Branch-and-bound • Wottawa (1996) 'Teilfolgen-Heuristik': Kisten mit min. Seitenlängen- diffferenz, Push-Straight-Insert Alg. (Verbesserung) • Bortfeldt (1998) (s. o.) Notation:SP3 bzw. 3 / V / O / Verfahren:(Zusammenfassende Darstellung s. Seminararbeit) • George und Robinson (1980) reinesAnordnungsverfahren, 'flexible width' 'amalgamation' • Bischoff und Marriot (1990) Problemabhängigkeit('domain depen- dency''combined heuristics''hybride' Heuristik • Bortfeldt und Gehring (1999) Tabu-Search, genetischer Algorithmus Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 39

40. Heuristiken: Fazit (1) Wie sieht die Anwendung von Heuristiken in der Praxis aus? Welche werden eingesetzt? Wie sehen moderne Heuristiken aus? • präzise feststellen, welche Art von Packungsproblem (Problemtyp, Heterogenität der Kisten, Restriktionen, ...) • Bischoff und Marriot (1990): Performance signifikant von Struktur des zu lösenden Problems abhängig ('domain dependent') • Ad hoc ist keine Heuristik anderen immer überlegen! • verglichene Heuristiken selten uneingeschränkt vergleichbar (d. h., für exakt gleiches Problem inkl. aller NBen etc. entwickelt worden) • zunehmend zusammengesetzte Heuristiken (mehrere verschiedene Heuristiken oder Versionen der selben parallel oder sequentiell) • vertretbare Laufzeit • hybride Heuristiken (zusammenges., die je nach Ausprägung des zu lösenden Problems unterschiedliche Entscheidungsregeln ('heuristic rules') anwenden; auch exakte Verfahren kombinierbar Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 40

41. Heuristiken: Fazit (2) • Berücksichtigung der wichtigsten relevanten Nebenbedingungen für Praxisanwendung wichtig! (Forschungsbedarf) • neben traditionellen Heuristiken vermehrt sog. Metaheuristiken, die z. B. genetische Algorithmen, Simulated Annealing oder Tabu-Search Verfahren beinhalten (höherer Aufwand aber bessere Auswahl der Lösung) • insgesamt "beachtlicher Forschungsbedarf": Zahl Veröffentlichungen immer noch relativ gering • Anforderungen der Praxi eher selten ausreichend modelliert • Verbesserungen gegenüber älteren Verfahren oft auch mit größerem Aufwand marginal (Verfahren von George und Robinson (1980) nach wie vor als Referenz für eine effiziente Heuristik genannt) Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 41

42. Die Heuristik vonGehring/Menschner/Meyer (1990) • Ausgangspunkt: Auftrag einer kleineren Versandagentur, den bisherigen manuellen Beladungsvorgang durch ein leistungsfähigeres computergestütztes Verfahren zu ersetzen • Agentur sammelt verschiedene einzelne Klein-Aufträge für einen Zielhafen in Nordamerika und verfrachtet diese gemeinsam in (20' oder 40') Standard-Frachtcontainern per Schiff • Bisher: • Mitarbeiter nahm Aufträge für einen Container solange entgegen, bis Gesamtvolumen der Kisten einen bestimmten Erfahrungswert erreicht hatte • übergibt dem Frachtaufseher Packliste, • anhand dieser versucht er, die Kisten in den Container zu packen • bildet von der Rückseite beginnend Wände aus Kisten bis Container voll ist • Passen nicht alle Kisten hinein: Umpacken • in einigen Fällen: übrig gebliebene Kisten nicht zu vermeiden Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 42

43. Gehring et al. (1990): Problemspezifikation • jetzt: Ziel, dieses Umpacken durch Generierung zulässiger Staupläne mittels Computer zu vermeiden und dabei den Containerraum möglichst gut auszunutzen Problemspezifikation: Ziel: Aus der heterogenen Menge (M) von Kisten soll diese Auswahl (B) in einen (O) Container gepackt werden, die den Containerleerraum minimiert bzw. maximales Kistenvolumen aufweist. (einschließlich Fall: alle Kisten) Nebenbedingungen:Gewichtsverteilung: Der Schwerpunkt des beladenen Containers soll innerhalb eines gewissen Toleranz­ bereichs um den Mittelpunkt des Containers liegen Annahmen: (1) Alle Kisten sind rechteckig und deren Maße bekannt. (2) Alle Orientierungen der Kisten sind zulässig. (keine Orientierungsrestr.) (3) Jede Kiste kann neben jede andere platziert werden. (keine Abstandsrestr.) (4) Jede Kiste kann auf jede andere gestellt werden. (5) Jede Kisten kann an jeder Stelle des Container platziert werden. (keine Anordnungsrestriktionen außer: orthogonale Anordnung) Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 43

44. Gehring et al. (1990): Problemtyp Problemtyp: dreidimensionales Knapsack Problem mit Gewichtsverteilungsrestriktion. • zulässige Gewichtsverteilung kann durch die Heuristik immer (ex-post) erzeugt werden, keine echte Restriktion, da nicht ex-ante in den Ansatz integriert, sondern erwünschter Nebeneffekt ex-post • Benutzer muss Kistenwände nach Terminierung des Algorithmus so vertauschen, dass Restriktion eingehalten wird Verfahren löst das allgemeine dreidimensionale Knapsack Problem KS3 bzw. 3 / B / O / M Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 44

45. Gehring et al. (1990): Grundelemente Lösungsverfahren: Grundelemente: (1) Kisten werden in Liste nach Vol. absteigend sortiert gespeichert Kisten werden von der Rückwand beginnend zu aufeinander folgenden separaten Wänden innerhalb einer gedachten senkrechten Schicht gestapelt (Wall-Building Approach). Die Wände können dann permutiert werden bis die Gewichtsverteilung am besten ist. Die Tiefe jeder Schicht ergibt sich aus der Tiefe der jeweils ersten platzierten Kiste (LDB) In Leerräume neben, vor und über einer Kiste wird in dieser Reihenfolge (aber nicht vor der LDB) jeweils das passende Kistenpaar mit dem größten Volumen gepackt. Diese begrenzte Vorausschau erzeugt tendenziell geeignete Oberflächen für das weitere Packen. Es können viele alternative Staupläne erzeugt werden, aus denen der Frachtaufseher einen geeigneten auswählen kann. Hierzu kann jede LDB in sechs Anordnungen platziert werden. Außerdem können die Elemente 2, 3, ... der Liste jeweils an die erste Stelle versetzt werden, so dass sie als LDB herangezogen werden. Die Kombination beider ergibt viele verschiedene Möglichkeiten. Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 45

46. Gehring et al. (1990): Container und erste LDB Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink Abb. 3: Container und erste LDB 46

47. Gehring et al. (1990): Verfahrensablauf Verfahrensablauf : • Einlesen und Initialisieren der Container- und Kistendaten • Kisten nach absteigendem Volumen sortiert in der Liste gespeichert • erste Kiste der Liste (mit größtem Volumen) als LDB ausgewählt, der Schicht zugeordnet und möglichen Anordnungen ('positions') bestimmt (3/2/1 versch. lange Seiten  6/3/1 Möglichkeiten, 3/2/1 versch. Schichttiefen) • Schichtdefinition: Seitenlänge der LDB in Längsrichtung (Tiefe) des Containers = Schichttiefe, Breite und Höhe des Containers (s. u.) • Schicht weiter mit Kisten gefüllt (s. u.) • Ermittlung der verbliebenen Länge (Resttiefe, 'residual depth', RD) des Containers und Prüfung, ob nächste LDB hinein passt • nein oder keine Kisten mehr übrig  Container gilt als voll • sonst  LDB definiert die nächste Schicht • voll  Inputdaten und Packliste werden für diesen Stauplan ausgedruckt, System fragt Benutzer, ob weitere alternative Staupläne erwünscht • ja  andere möglichen Anordnungen der ersten Kiste, falls es keine weiteren mehr, andere Kisten an die erste Stelle der Liste gesetzt, erst wenn alle Kisten als LDB in jeweils allen möglichen Anordnungen verwendet wurden, gibt es keine neuen Staupläne mehr  Ende. • nein  Ende. Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 47

48. Gehring et al. (1990): Verfahrensablauf Abb. 4: Struktogramm des Verfahrensablaufs Einleitung  Kernprozesse 'Bestimme Schichtdaten' und 'Fülle Schicht' (s. u.) Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 48

49. Gehring et al. (1990): 'Bestimme Schichtdaten' • Anordnung der LDB ist gewählt  'Bestimme Schichtdaten' • Breite, Höhe und Tiefe einer Schicht bzw. des Containers werden als LW, LH, LD, bzw. CW, CH, CD bezeichnet • Resttiefe RD vor platzierter LDB wird ermittelt und überprüft, ob in diese noch eine neue Schicht passen wird. • wenn die kürzeste aller Seitenlängen der Kisten in der Liste (MinDim) kleiner ist als die Resttiefe RD (RD < MinDim)  Schichttiefe LD = Tiefe der LDB. • Passt die Kiste mit Seitenlänge MinDim nicht in RD (RD < MinDim): aktuelle Schicht ist letzte und wird mit der Resttiefe des Containers zu einer Schicht verschmolzen •  Schichttiefe LD = CL - CumLD (Summe der bisherigen LDs) erste Kiste nicht als LDB bezeichnet, Schicht wird von Beginn an mit am besten passenden Kistenpaaren gefüllt. Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion 01.06.2004 T. Böltink 49

50. Gehring et al. (1990): 'Bestimme Schichtdaten' Einleitung Problem- ausprägungen Lösungs- ansätze Exakte Algorithmen Heuristiken Fazit/Fragen/ Diskussion Abb. 5: Struktogramm des Prozesses 'Bestimme Schichtdaten' 01.06.2004 T. Böltink 50