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LE SUDOKU

LE SUDOKU. LE SUDOKU. Préparé et présenté par : -> Mr . KETROUSSI Mohamed Mehdi Section : 02 Groupe : 03 Option : ISI Examiné par : -> Mr. HAMDAOUI Université USTO-MB Oran 02/02/12. Plan De Travail :. Plan De Travail . Introduction . Présentation .

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  1. LE SUDOKU LE SUDOKU Préparé et présenté par : ->Mr. KETROUSSI Mohamed Mehdi Section : 02 Groupe : 03 Option : ISI Examiné par : -> Mr. HAMDAOUI Université USTO-MB Oran 02/02/12 Le Sudoku

  2. Plan De Travail : Plan De Travail • Introduction . • Présentation . • Précurseurs Du Sudoku . • Mathématiques Du Sudoku . • Méthodes De Résolution Utilisées . • Classification Des Puzzles . • Informatique Et Sudoku . • Conclusion . • Bibliographie . Le Sudoku

  3. Introduction Le Sudoku est un jeuen forme de grille défini en 1979 par l’AméricainHoward Garns(architecte). Le but du jeuest de remplir la grille avec unesérie de chiffres (ou de lettresou de symboles) tousdifférents, qui ne se trouventjamais plus d’unefoissurunemêmeligne, dansunemêmecolonneoudansunemêmesous-grille. La plupart du temps, les symbolessont des chiffresallant de 1 à 9, les sous-grilles étantalors des carrés de 3 × 3. Quelquessymbolessont déjà disposésdans la grille, ce qui autoriseunerésolution progressive du problèmecomplet. Le Sudoku

  4. Présentation • Étymologie :Sudoku→ Sūjiwadokushinni kagiru, signifiant « il ne peut y avoir qu’un seul et unique chiffre » (par case et par ligne). Cette abréviation associe les caractères Sū chiffre et Doku unique. Ce nom est une marque déposée au Japon de l’éditeur NikoliCorporation Ltd. • Règles de base : chaque ligne, colonne et région ne doit contenir qu’une seule fois tous les chiffres de un à neuf. Les grilles publiées ont souvent un niveau de difficulté indicatif. L’éditeur peut aussi indiquer un temps de résolution probable. Le Sudoku

  5. Variantes : 2×2 ou « Sudoku binaire », 4×4 contenant des régions 2×2,5×5 contenant des régions en forme de pentamino, 6×6 contenant des régions 2×3(WPC), 7×7 avec six régions en forme d’hexamino et une région disjointe, 9×9 avec des régions en forme de ennéamino, 16×16 avec des régions 4×4, 25×25 avec des régions 5×5, 8×8 contenant des régions 2×4 et 4×2, une méta-grille composée de cinq grilles 9×9 en quinconce qui se chevauchent aux coins, des grilles à régions rectangulaires, grille 3D(roxdoku), grille 3D en 8×8×8, ils l’ont appelé Kuboku, le kamaji basé sur le principe des sommes de chiffres, Au Japon, d’autres variantes sont publiées. • Variantes alphabétiques :Des variantes alphabétiques, qui utilisent des lettres plutôt que des chiffres, sont aussi publiées appelées Godoku ou SudokuWord ou bien encore le Wordoku . Le Sudoku

  6. Précurseurs du Sudoku • le carré latin magique : Exemple d’expérience en carré latin magique relative à la comparaison de six éléments (par exemple six fumures différentes, numérotées de 1 à 6). • Emplois historiques des carrés magiques : Un des ancêtres du sudokudansl'antiquitéétait un carré de neuf cases à remplir par troislettres (A, B et C) sans qu’unemêmelettreapparaissedeuxfoisdans la mêmecolonne, ligneoudiagonale. Le Sudoku

  7. Le problème des officiers :Problème des 36 officiers : un carré gréco-latin d’ordre 6 est impossible à résoudre. • Version moderne du sudoku: Le sudoku a des ancêtres français qui remontent à 1895. C’est en juillet 2005 que le sudoku, publié par Sport cérébral, éditeur spécialisé dans les jeux de réflexion, arrive en France. Le Sudoku

  8. Popularité dans les médias :Le 28 novembre 2005, la Télévision suisse romande lance une émission télévisée quotidienne, Su/do/ku, Depuis, de nombreux tournois ont été organisés en France et partout en Europe . Le Sudoku

  9. Mathématiques du Sudoku • Contextemathématique: [DEB.07] Le problème de placer des chiffressurune grille de n2×n2comprenantn×nrégionsestprouvéNP-complet. • x = x’ (les deux cellules appartiennent à la même ligne) ou, • y = y’ (les deux cellules appartiennent à la même colonne) ou, (les deux cellules appartiennent à la même région). La grille se complète en affectant un entier entre 1 et 9 pour chaque sommet, de façon que tous les sommets liés par une arête ne partagent pas le même entier. Le Sudoku

  10. Nombre de grilles complètes possible :[BFF.05]Le nombre de grilles complètespossiblesestinférieur à 9!9 qui correspond au nombre de façons de construire les régions sans tenircompte des contraintessur les lignes et les colonnes. En 2005, Bertram Felgenhauer et Frazer Jarvis ontprouvéquecenombre de grilles était de : 6 670 903 752 021 072 936 960≈6,67.1021 Cenombreestégal à : 9!×722×27×27 704 267 971. • Terminologie :Un Sudoku correctementconçu a une et uneseulesolution : la grille finale est unique, mais la résolution à partir de la grille partiellepeuttoutefoisprendre des cheminsdifférents. Le Sudoku

  11. Formalisation des différentes variantes :Une région peut être décrite par ses dimensions : LxC où L est le nombre de lignes et C le nombre de colonnes dans la région , Il est plus pratique de mentionner la taille de la région plutôt que le nombre d'éléments, Des contraintessupplémentairespermettent de mieuxcibler le type de jeu. • Définitions : Par exemple, la notation h56 correspond au triplet de la région 5, ligne 6. En anglais, on utilise la notation r pour row et c pour column. • Nombre de solutions possible : • Énumérations des solutions symétriquement distinctes : Le Sudoku

  12. Préservation de la symétrie : opérationssuivantestransformenttoujoursune grille valide en uneautre grille valide : -changer le label de chaquesymbole (9!) -permutations des bandes (3!) ,des piles (3!) -permutations des lignesdansunebande (3!3) ,des colonnes dans une pile(3!) -réflexion, transposition, rotation de 90° . Identifier les solutions grâce au lemme de Burnside: Jarvis Russell a calculé le nombre de solutions symétriquement distinctes : 5 472 730 538. Le Sudoku

  13. Bandes du Sudoku: Le compte des bandes pour les problèmes dont « le nombre total de grilles de Sudoku est inconnu » est donné ci-dessous. Comme dans le reste de cet article, les dimensions correspondent à celles des régions. Dimensions Nombre de bandes Auteur(s) Vérification formelle -2×C (2C)! (C!)2 (obviousresult) Oui -3×CPettersen Oui -4×C (voir ci-dessous ) Pettersen Oui -4×4 16! × 4!12 × 1273431960 = c. 9.7304×1038 Silver Oui Le Sudoku

  14. -4×5 20! × 5!12 × 879491145024 = c. 1.9078×1055 Russell Oui -4×6 24! × 6!12 × 677542845061056 = c. 8.1589×1072 Russell Oui -4×7 28! × 7!12 × 563690747238465024 = c. 4.6169×1091 Russell Oui -5×3 15! × 3!20 × 324408987992064 = c. 1.5510×1042Silver Oui -5×4 20! × 4!20 × 518910423730214314176 = c. 5.0751×1066Silver Oui -5×5 25! × 5!20 × 116503755043288 5119709241344 = c. 6.9280×1093Pettersen/Silver Non -5×6 30! × 6!20 × 32617346918362171 81002772823310336 = c. 1.2127×10123Pettersen/Silver Non Le Sudoku

  15. -5×7 35! × 7!20 × 1066450998920919953 3282539525535793414144 = c. 1.2325×10154Pettersen/Silver Non -5×8 40! × 8!20 × 39119289737902332276 64289425142802655028070 0096 = c. 4.1157×10186Pettersen/Silver Non L'expressionpour le cas 4×C est: Le Sudoku

  16. avec : la sommeextérieures'appliquesurtous les a,b,ctelque 0⇐a,b,c et a+b+c=2C la sommeintérieures'appliquesurtous les k12,k13,k14,k23,k24,k34 = 0 telque k12,k34 = a    et k13,k24 = b    et k14,k23 = c    et k12+k13+k14 = a-k12+k23+k24 = b-k13+c-k23+k34 = c-k14+b-k24+a-k34 = C • Sudoku avec des contraintes additionnelles : Plusieurs types de contraintes existent sur des Sudokus avec des régions de 3x3. Les nomsn'ayant pas étéstandardisés, les liens externespointentvers les définitions : Le Sudoku

  17. Type Nombre de grilles Auteur(s) Vérification formelle -3doku 104015259648 Stertenbrink Oui -Disjoint -Groups 201105135151764480 Russell Oui -Hypercube 37739520 Stertenbrink Oui -MagicSudoku 5971968 Stertenbrink Oui -Sudoku X 55613393399531520 Russell Oui -NRC Sudoku 6337174388428800 Brouwer Oui Tous les Sudokus sont valides (unicité des nombres dans les lignes, colonnes et régions) après l'application des opérations qui préservent les propriétés du groupe du Sudoku. Certains Sudokus sont spéciaux dans le sens où certaines opérations ont le même effet que le renommage des chiffres : Le Sudoku

  18. Transformation Nombre de grilles Auteur(s) Vérification formelle -Transposition 10980179804160 Russell Indirectement -Quart de tour 4737761280 Indirectement -Moitié de tour 56425064693760 Indirectement -Permutation des bandes 5384326348800 Indirectement -Permutations des lignes dans les bandes 39007939461120 Indirectement Le Sudoku

  19. Nombre minimal de chiffresdans la grille : • Sudoku classique :Le Sudoku classique avec une grille de 9x9, soit 81 cases, est pour l'instant limité par une borne inférieure de 17 valeurs initiales( meilleur borne), ou 18 quand les positions des chiffres initiaux peuvent être tournées de 90°. • Sudoku avec d'autres contraintes : Des contraintes supplémentaires (avec des Sudoku dont les régions font 3×3) changent le nombre de valeurs minimales nécessaires pour aboutir à une solution unique. • Sudoku avec des régions irrégulière :Les Du-sum-oh remplacent les régions de 3×3 (ou plus généralement L×C) par des régionsirrégulières avec unetaille fixe. Le Sudoku

  20. Killer Sudoku :Dans le Samunamupure ou Killer Sudoku, les régions ont non seulement des formes irrégulières mais également des tailles différentes. Les règles d'unicité des nombres dans les lignes, régions et colonnes s'appliquent toujours. • Méthode de Felgenhauer/Jarvis pour l'énumération de la grille de 9×9 : c’est la première stratégieemployée pour énumérer les solutions d'une grille de Sudoku classique (régions de 3x3 dansune grille de 9x9). Le Sudoku

  21. Méthodes de résolutionutilisées par les joueurs • Remarques préliminaires : 1) Il existe de nombreuses approches de la résolution des Sudokus. 2) Il ne s’agit pas de donner une liste exhaustive de ces méthodes. 3) Quelles sont les méthodes de résolution admissibles par un joueur ? 4) Sudopedia (site de référence). • Gestion des nombres candidats : Il y a deux notations utilisées pour les candidats : indicée et pointée. Pour la notation indicée, les candidats sont inscrits dans une cellule, chaque chiffre occupant ou non une place précise. Quand un candidat est impossible, il est rayé de la liste. • Pour la notation pointée, les joueurs inscrivent des points dans les cellules vides. Il y a deux logiques possibles, opposées et mutuellement exclusives : • Quand un candidat s'avère impossible, et quand un candidat s’avère possible. Le Sudoku

  22. Règles élémentaires : • Singleton : généralement, le « singleton » correspond au cas où il n'y a qu'une seule solution . • Élimination directe - Singleton caché : Identification d'un singleton caché : il n'y a qu'une seule case possible pour un "4" dans le bloc supérieur droit. Le Sudoku

  23. Recherche des valeurs uniques - Singleton nu : Exemple de grille avec un « singleton nu » Le Sudoku

  24. Élimination indirecte - interactions ligne-bloc et colonne-bloc : Le "1" dans le bloc centre droit ne peut qu'être sur la colonne g. Le "1" du bloc inférieur droit est donc nécessairement en Gj (en jaune). Le Sudoku

  25. Méthodes basées sur des figures (patterns) simples prédéfinies : • Groupes nus : Un groupe nu en colonne e : Le groupe des 2 cases Ce et Ge de la colonne e forme une paire nue dont les candidats sont 78 ; on peut donc éliminer les candidats 7 et le 8 des autres cases de la colonne e (le 8 de la case Fe et les 7 et 8 des cases Ae, De et Je). Le raisonnementest le mêmeque le groupesoit de deux, de trois, ou de quatre cases (et sera donnéici pour trois cases) Le Sudoku

  26. Groupes cachés :Un groupe caché 124 en colonne f : Le groupe de 3 cases Af, Gf et Jf de la colonne f forme un trio camouflé (incomplet) dont les candidats sont 124  ; on peut donc éliminer les candidats 8 et 9 des cases Af et Gf, et les candidats 3 et 8 de la case Jf (ce qui fait apparaître dans le pavé Zy un solitaire camouflé 7 à la case Gd) Le raisonnementest le mêmeque le groupesoit de deux, de trois, ou de quatrecandidats (et sera donnéici pour troiscandidats). Le Sudoku

  27. Recherche des groupes nus et cachés : La recherche des groupesnus et cachéspeut se faire systématiquement, région par région, pour examiner celles qui peuvent encore êtreréduites. Si unerégion a moins de quatre cases libres, elle ne peut plus êtreréduite ; si un sous-groupe a moins de quatremembres, il ne peut pas lui-mêmeêtreréduit ; et unefoisqu'unerégion a étéréduite, iln'est plus nécessaire de l'examiner par la suite. • Fish ou Poissons (X-Wing, Swordfish, Jellysfish) :X-wing sur les lignes F et J pour 8 : Les deux lignes F et J ont toutes leurs candidats 8 situés à l'une des cases placées à l'intersection avec les colonnes a et j (configuration dite X-wing); par rapport à ces quatre sommets on peut donc éliminer les candidats 8 des cases des lignes et colonnes qui ne sont pas sur les sommets (donc en Ha et Dj )- Le Sudoku

  28. Symétries généralisées et tableau de résolution étendu : Une grille de résolution étendue a été conçue, qui fait apparaître les liens de conjugaison comme des cases (de l’espace rc, rn, cn ou bn) à deux candidats et peut faciliter l’application de la méthode. De la sorte, les sous-ensembles cachés, ainsi que les X-wings, Swordfish et Jellysfish, apparaissent tous comme de simples Paires, Triplets ou Quadruplets. Dans un cadre général pour traiter des chaînes, ces symétries ont été utilisées pour introduire de nouvelles règles de résolution, comme les chaînes xy cachées et ultérieurement les chaînes nrczt. Cette méthode a été implémentée dans un solveur, SudoRules, basé sur des techniques d’Intelligence Artificielle et simulant un joueur humain. Le Sudoku

  29. Figures plus complexes : chaînes : • chaînes xy : Une « chaînexy » de longueur n a 2n candidatsgroupés par 2 dans n cellules bivaluées (c’est-à-dire ayantchacuneexactement 2 candidats). • Exemple de chaînexy de longueur 4 : {a b} - {b c} - {c d} - {d a}. Un « {... } » symbolise le contenud’une cellule (i.e. l’ensemble de sescandidats) et un « - » symboliseque les cellules de chaquecôtésontliées (i.e. différentesmaissur la mêmeligne, la mêmecolonneoudans le même bloc). • Généralisations des chaînes xy : chaînes d'ALS et chaînes nrczt : les chaînes d’ALS (AlmostLocked Sets), les plus anciennes et de loin les plus utilisées par les joueurs sur les forums de Sudoku. Le Sudoku

  30. - les chaînes xyt, xyz et xyzt ainsi que leurs homologues « cachés » dans les espaces rn, cn et bn, les chaînes nrczt, ou chaînes supersymétriques, qui généralisent les précédentes en combinant toutes les cellules des espaces rc, rn, cn et bn. • Règles résultant de l'hypothèse d'unicité : • Le principe du rectangle interdit : Considéronsquatre cellules formant un rectangle s’étalantsurdeuxlignes, deuxcolonnes et seulementdeux blocs. Si le contenu de cesquatre cellules est : abab abab alors pour toute solution du puzzle ayant les valeurs a b b a Le Sudoku

  31. pour les cellules de ce rectangle, ilexisteuneautre solution ayant les valeurs b a a b et le puzzle ne peutdoncavoirune solution unique. La configuration initiales’appelle rectangle interdit. À partir de là, on peutdéfinirplusieursrèglesvisant à empêcherquecette situation se produise. Cesrègles ne sontvalablesquesousl’hypothèsed’unicité. • Exemples de règle reposant sur l'exploitation du rectangle interdit : Règle UR1 : dans la configuration (où les quatre cellules forment un rectangle s’étalant sur deux lignes, deux colonnes et seulement deux blocs Le Sudoku

  32. abab ababc éliminer a et b de la dernière cellule. Règle UR2-H : dans la configuration (où les quatre cellules forment un rectangle s’étalantsurdeuxlignes, deuxcolonnes et seulementdeux blocs) : ababc ababc où les deux cellules de droitesontdans le même bloc, éliminer c de touteautre cellule liée aux deux cellules de droite. Il existe de nombreusesvariantes de cesrègles. Le Sudoku

  33. Classification des puzzles • Préambule sur les puzzles minimaux et les statistiques de classification des puzzles : Quand on veut faire des statistiques sur la classification des puzzles,il faut toujours se réfèrer aux puzzle minimaux(point vue théorique) . • SER (SudokuExplainer Rating) : Le SER (SudokuExplainer Rating) est de loin la classification la plus utilisée. • Classification NRCZT : Cette classification, estbaséesur la longueurmaximale de la chaînenrcztnécessaire pour résoudre un puzzle. Contrairement au SER, un seul type de règle (les chaînesnrczt de diverseslongueurs) esticiutilisé et cette classification, purementlogique, indépendante de l’hypothèsed’unicité et indépendante de touteimplémentation, est compatible avec toutes les symétries du jeu. Le Sudoku

  34. Informatique et Sudoku • Solutions logicielles : Il existe de nombreuxprogrammeslibrementdisponiblessur le web, baséssurl’implémentation de règlesutilisées par les joueurs : Sudocue, Sudoku Explainer, Sudoku Susser, Sudoktor, Sadman, le solveur de gsf. Le programmeSudoRules, non public, estbasésur des techniques d’IntelligenceArtificielle. • Construction de grilles : Il est possible de construire des grilles avec de multiples solutions ou sans solution, maiscelles-ci ne sont pas considéréescommed’authentiquessudoku. Comme pour les autresjeuxlogiques, une solution unique estrequise. Unegrande attention estdoncnécessairelors de la construction d’une grille, puisqu’unseulchiffre mal placérisque de rendre la résolution de celle-ci impossible. Le Sudoku

  35. Conclusion Commedanstous les domainesoù des notations affectéesontétéintroduites ( Mathématiques, Chimie, Musique, Échecs...) une notation des méthodes de résolution des grilles de Sudoku estintéressante car par exempleellepermetune reconnaissance des grilles c'est-à-dire, in fine, leur classification, de mêmeque la notation introduite aux Échecs a permisune classification des débuts de parties. En effetune grille de Sudoku étantdonnéeellepeut en générerplusieursautres par l'unequelconque des symétriesou des rotations qui échangent un carré en lui-même, ou par une permutation quelconque de seschiffres. Comme le nombre de permutations des dixchiffres de 0 à 9 s'élève à 3628800 on voit le grand nombre de grilles en fait identiques, qu'onpeutengendrer à partir d'un seule. Le Sudoku

  36. Bibliographie [NAJ.06] : NarendraJussien, Précis de Sudoku, Hermès Lavoisier, 2006, 188 pages. [DEB.07] :Denis Berthier, The HiddenLogic of Sudoku, Lulu Publishers ; 1re édition, mai 2007, 384 pages deuxième édition, novembre 2007, 416 pages. [DEB.11] :Denis Berthier, ConstraintResolutionTheories, Lulu Publishers, Octobre 2011, 308 pages. [TSS.05] : « Le tsunami du sudoku », Pour la Science, no 338, décembre 2005, p. 144. [DEB.08] : Denis Berthier, FromConstraints to ResolutionRules, Part I: Conceptual Framework, International Joint Conferences on Computer, Information, Systems Sciences and Engineering (CISSE 08), December 5-13, 2008; re-publié comme chapitre du livre Advanced Techniques in Computing Sciences and Software Engineering, Springer, 2010. [DEB.08] : Denis Berthier, FromConstraints to ResolutionRules, Part II: chains, braids, confluence and T&E, International Joint Conferences on Computer, Information, Systems Sciences and Engineering (CISSE 08), December 5-13, 2008; re-publié comme chapitre du livre Advanced Techniques in Computing Sciences and Software Engineering, Springer, 2010. [DEB.09] : Denis Berthier, UnbiasedStatistics of a CSP - A Controlled-BiasGenerator, International Joint Conferences on Computer, Information, Systems Sciences and Engineering (CISSE 09), December 4-12, 2009; re-publié comme chapitre du livre Innovations in Computing Sciences and Software Engineering, Springer, 2010. Le Sudoku

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