Do dr ersoy arslan
Download
1 / 58

COORDINATE SYSTEMS IN GEODESY - PowerPoint PPT Presentation


  • 179 Views
  • Uploaded on

Doç.Dr . Ersoy ARSLAN. COORDINATE SYSTEMS IN GEODESY. BÖLÜM 5 KÜRESEL ÜÇGEN VE ÇÖZÜMLERİ. 5.1- GİRİŞ

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' COORDINATE SYSTEMS IN GEODESY' - varuna


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Do dr ersoy arslan

Doç.Dr. ErsoyARSLAN

COORDINATE SYSTEMS IN GEODESY


B l m 5 k resel gen ve z mler
BÖLÜM 5KÜRESEL ÜÇGEN VE ÇÖZÜMLERİ

5.1- GİRİŞ

Gök küre üzerinde gözlemciyi temsil eden Z zenit noktası, (KGK) Kuzey Gök Kutbu ve bir (S) gök cisminin oluşturduğu küresel üçgene Astronomik ya da Nautik Üçgen denir (Şekil 5.1). Bu üçgenin kenarları, Kuzey Gök Kutbu ile zenit arasında Gök Meridyeni üzerinde (90-), Kuzey Gök Kutbu ile gök cismi arasında Deklinasyon (saat) Dairesi üzerinde (90-), zenit ile gök cismi arasında z = 90-h olmaktadır. Bu üçgenin açıları, Kuzey Gök Kutbunda saat açısı t (veya 24h-t), zenit noktasında azimut a (veya 360-a) ve gök cisminde oluşan ve paralaktik açı olarak adlandırılan q açısıdır.


Saat dairesi =

Deklinasyon

Dairesi

KGK

90-

t

a

Z

90-

Gök

meridyeni

a

z

q

S

Düşey

daire

h

Gök Ekvatoru

Gök Ufku

N

GGK

Şekil : 5.1 - Astronomik üçgen


  • Yerküre üzerinde A , B ve Kuzey Kutup (veya Güney Kutup) noktalarının oluşturduğu üçgen bir küresel üçgendir. Bu üçgenin kenarları, küresel coğrafi enlemi A , küresel coğrafi boylamı A olan A noktası ile Kuzey Kutup arasında kalan kenarı meridyen dairesi üzerinde (90-A), enlemi B , boylamı B olan B noktası ile Kuzey Kutup arasında meridyen üzerinde (90-B), A ve B noktaları arasında büyük daire yayı üzerinde SAB dir. Bu üçgenin açıları, Kuzey Kutup noktasında A noktasından ve B noktasından geçen meridyenler arasındaki  = B - A boylam farkı; A noktasında, bu noktadan geçen meridyenle A ve B noktalarını birleştiren büyük daire yayı arasındaki  açısı (bu açı SAB kenarının azimutudur) ve B noktasında, bu noktadan geçen meridyenle SAB kenarı arasında kalan  açısıdır. Bu açı SBA kenarının azimutunun 360 den farkına eşittir.


KK Kutup) noktalarının oluşturduğu üçgen bir küresel üçgendir. Bu üçgenin kenarları, küresel coğrafi enlemi

90-B



Greenwich

B

90-A

SAB

A

B

A

A

B

Ekvator

GK

Şekil : 5.2 – Yerküre üzerinde A , B ve KK noktalarının oluşturduğu küresel üçgen


  • Gök küre üzerinde Astronomik üçgen ve yerküre üzerinde iki noktanın ve kuzey kutup (veya güney kutup) noktasının oluşturduğu üçgen bir küresel üçgendir ve bu üçgenin çözümünde Küresel Trigonometri kuralları geçerlidir. Bu nedenle astronomik üçgen çözümlerine geçmeden önce küresel trigonometri ve küresel üçgen ile ilgili bazı tanım ve kavramların bilinmesi gerekmektedir. Bunlar kısaca aşağıda verilmektedir.


5 2 k resel gen ve tr gonometr k ba intilar
5.2- KÜRESEL ÜÇGEN VE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR üzerinde iki noktanın ve kuzey kutup (veya güney kutup) noktasının oluşturduğu üçgen bir

5.2.1- Temel Kavramlar

a) Bir küre yüzünün, bu kürenin merkezinden geçen bir düzlemle ara kesitine büyük daire denir

b) Bir küre yüzünde iki noktayı birleştiren en kısa yol, bu noktalardan geçen ve yarım daireden küçük olan kesimi olarak bir büyük daire yayıdır (Şekil 5.3). O halde bu büyük daire yayının merkez açısı c, her zaman c  180° dir.


Küre yüzünde büyük ve küçük daireler üzerinde iki noktanın ve kuzey kutup (veya güney kutup) noktasının oluşturduğu üçgen bir


c) Küre üzerinde iki nokta, bir küre çapının küreyi deldiği iki nokta ise, bu noktaları birleştiren en kısa yol yarım dairedir ve sonsuz sayıdadır. Bu yarım dairelerden ikisinin oluşturduğu şekle “küre dilimi” ya da “ikigen” denir. Küre dilimlerini oluşturan düzlemlerin arasındaki açı a ise, kürenin tüm alanı 4r2 olduğuna göre, bir ikigenin alanı (Şekil 5.4)

(5.1)

eşitliği ile verilmiştir.

Burada r = kürenin yarıçapı,

= (Ro derece) dir


d) Kürenin bir büyük dairesine dik olan küre çapının küreyi deldiği noktalar, o büyük dairenin kutuplarıdır.

( Şekil: 5.5).


Küre yüzünde aynı büyük daire üstünde olmayan A, B, C gibi üç noktayı birbirleri ile en kısa yoldan birleştiren büyük daire yaylarının oluşturduğu kapalı şekle “EULER küresel üçgeni” denir.


Bu üç noktayı birleştiren ve merkez açısı 180° den küçük olan büyük daire yayları küresel üçgenin kenarlarıdır.

Küresel üçgenin kenarlarını içine alan düzlemler arasındaki açılar, küresel üçgenin açılarıdır.

Üçgenin A, B ve C noktalarında iç ve dış açı olmak üzere böyle iki açı vardır. Üçgenin kenarları yarım daire yayından (kenarlara karşılık merkez açıları 180° den) büyük olamayacağına göre, bir küresel üçgenin iç açıları da 180°den büyük olamaz.

Bu durumda Euler üçgeni, kenarları yarım daire yayından küçük ve iç açıları 180° den küçük olan küresel üçgendir. Bundan böyle, küresel üçgen denince Euler üçgeni kastedilmiş olacaktır. (Şekil : 5.6).


Bir küresel üçgenin kenarları, her kenarın merkez açısı büyüklüğü ile, açı cinsinden ifade edilir.

Bir kenar açı derecesi cinsinden verilmiş olup uzunluk biriminde ifade edilmek istenirse,

ve (5.2) den (5.3)

eşitliği ile bulunur.

Üçgen kenarı uzunluk biriminden verilmişse, (5.3) den

(5.4)

ile açı derecesi cinsinden elde edilir.

Açı, grad cinsinden ifade ediliyorsa,

(5.5)

olur. Burada (Ro grad) dır. (5.6)


f) Bir küresel üçgenin A, B ve C noktalarından geçen küre çaplarının uzantılarının küreyi deldiği noktalarla ikinci bir A', B', C' üçgeni meydana gelir. Bu üçgene A, B, C üçgeninin “taban üçgeni” denir ve bu iki üçgenin küre simetrili açı ve kenarları birbirlerine eşittir. Böylece alanları da birbirlerine eşit olacaktır (Şekil : 5.7).


Bir küresel üçgenin alanı: (Şekil : 5.7 den), küre çaplarının uzantılarının küreyi deldiği noktalarla ikinci bir A', B', C' üçgeni meydana gelir. Bu üçgene A, B, C üçgeninin “

ABC üçgeninin alanı F

ve (5.2) ile

(5.7) elde edilir.

Küresel Fazlalık (Ekses) adını alır.

Böylece (5.8) ve olur.


  • Bu açıklamalara göre bir EULER üçgeninde: küre çaplarının uzantılarının küreyi deldiği noktalarla ikinci bir A', B', C' üçgeni meydana gelir. Bu üçgene A, B, C üçgeninin “

  • Üçgen açıları, , ,  180 ve 3x180 = 540 ile

  • ++ 540 olur.

  • O halde (8) den 0  < 540- 180

  • 0  < 360 olacaktır.

  •  = 0 olursa, açıların toplamı ++ = 180 olur. Böylece

  • 180< ++ 540 olur. (5.10)

  •  = 360 için yarım küre alanıdır. O halde küresel üçgen alanı en çok yarım küre alanı, bu halde kenarların toplamı da en çok 360 olur.

  • Yani a, b, c  180 (e maddesine bakınız)

  • ve 0 < a+b+c  360 dir. (5.11)



  • Bir üç yüzlünün iç yüzlerine M merkezinde dik olan küre yarıçaplarının küre yüzündeki uçları küresel üçgeni oluştururlar. Bu üçgene A,B,C üçgeninin “kutupsal” ya da “bütünler” üçgeni denir.

  • ABC küresel üçgeni ile bunun bütünleri olan (ABC) küresel üçgeni elemanları arasında şu bağıntılar vardır:


5.2.2- Küresel Üçgen Teoremleri küre yarıçaplarının küre yüzündeki uçları küresel üçgeni oluştururlar. Bu üçgene A,B,C üçgeninin “

  • Bir küresel üçgenin üçü kenar ve üçü de açı olmak üzere altı elemanı vardır. Küresel trigonometri bu elemanlar arasındaki bağıntıları inceler. Küresel trigonometride dört temel teorem vardır. Küresel üçgenlerin çözümü için gerekli eşitlikler bu dört temel teoremden yaralanılarak çıkarılırlar. Bu teoremler ispatsız olarak aşağıda kısaca verilecektir. Bunlara ilişkin ayrıntılı bilgiler Küresel Trigonometri kitaplarında mevcuttur.


1- Sinüs Teoremi: küre yarıçaplarının küre yüzündeki uçları küresel üçgeni oluştururlar. Bu üçgene A,B,C üçgeninin “

  • Küresel üçgenin kenarları büyük daire yaylarından oluşmaktadır ve değerleri bu yayı gören merkez açı ile ifade edilir. Buna göre kenarları sırası ile a, b, c ve açıları , ,  olan bir küresel üçgende bu elemanlar arasında

    bağıntısı vardır. Bu bağıntı küresel üçgende sinüs teoremi olarak adlandırılır. M sabit değeri küresel üçgenin modülü olarak adlandırılır.


2- Kosinüs Teoremi: küre yarıçaplarının küre yüzündeki uçları küresel üçgeni oluştururlar. Bu üçgene A,B,C üçgeninin “

  • a) Kenar Kosinüs Teoremi

  • b) Açı Kosinüs Teoremi


3- Sinüs-Kosinüs Teoremi: küre yarıçaplarının küre yüzündeki uçları küresel üçgeni oluştururlar. Bu üçgene A,B,C üçgeninin “

  • Kenarlarından başlanarak küresel üçgenin elemanları saat ibresi yönünde numaralanırsa yukarıdaki eşitlik uygulanarak

    gibi üç eşitlik elde edilir.

  • Yine kenarlardan başlanarak bu defa saat ibresinin ters yönünde numaralanırsa yukarıdaki eşitlik uygulanarak

    gibi üç eşitlik daha elde edilir.



4- Dört Parça (ya da Kotanjant) Teoremi: önce saat ibresi yönünde, sonra da saat ibresinin ters yönünde numaralanacak olursa yine yukarıdaki eşitlik uygulanarak

  • Bir küresel üçgenin elemanları kenardan başlanarak saat ibresi yönünde numaralanırsa yukarıdaki eşitlikle 3 eşitlik ve saat ibresinin ters yönünde numaralanırsa 3 eşitlik daha olmak üzere

    gibi toplam 6 eşitlik elde edilir.

  • Bu dört temel teoremden yararlanılarak birçok bilim adamı tarafından küresel üçgenlerin çözümünü kolaylaştıran daha değişik eşitlikler türetilmiştir. Bu eşitlikler genellikle eşitliği türeten bilim adamının ismi ile adlandırılırlar. Örneğin Neper eşitlikleri, Delambre-Mollweide formülleri gibi. Bu eşitliklerle ilgili ayrıntılı bilgi küresel trigonometri kitaplarında bulunabilir.


5.2.3- Küresel üçgenin özellikleri önce saat ibresi yönünde, sonra da saat ibresinin ters yönünde numaralanacak olursa yine yukarıdaki eşitlik uygulanarak

  • Bir küresel üçgenin açı ve kenarlarının 180 den büyük olamayacağı gibi bazı özellikleri daha önce söylendi. Elemanlar arasında bunlara benzer daha bazı özellikler vardır ki, üçgen çözümlerinde büyük önem taşırlar. Bunlar sıra ile :

    a) Bir küresel üçgende iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyüktür. Yani,

    b + c > a, a + c > b, a + b > c

    b) Bir küresel üçgende üç kenarın toplamı 360 den küçüktür. Yani,

    a + b + c < 360

    c) Bir küresel üçgenin iki açısının toplamı üçüncü açının 180 ile toplamından küçük, 180 den farkından büyüktür. Yani,

    180-  <  +  < 180+ 


d) Bir küresel üçgende eşit kenar karşısında eşit açı, eşit açı karşısında eşit kenar bulunur. Yani,

a = b ise  = 

 =  ise a = b

e) Bir küresel üçgende büyük kenar karşısında büyük açı bulunur. Yani,

a > b ise  > 

f) Bir küresel üçgende iki kenarın toplamı 180 den büyük ya da küçükse, bu kenarlar karşısındaki kenarlar da aynı özelliği taşırlar. Yani,

a + b  180 ise  +  180

a + b  180 ise  +  180

g) denirse, açıların  dan farkları -90 ile +90

arasındadır. Yani,

 =  -  ,  =  -  ,  =  - 

olmak üzere

-90 <  < +90 , -90 <  < +90 , -90 <  < +90

dır.


5.2.4- Küresel üçgen halleri açı, eşit açı karşısında eşit kenar bulunur. Yani,

  • Bir küresel üçgenin a, b, c kenarları ve , ,  açıları olmak üzere altı elemanı vardır. Bu elemanlardan herhangi üçü biliniyorsa, diğer üç elemanı bunlara bağlı olarak bulunabilir. Verilen elemanlara göre altı durum vardır. Bunlar aşağıdaki gibi sıralanabilir.

    Verilen elemanlar:

    1) Üç kenar a, b, c (K.K.K) (Kenar, Kenar, Kenar)

    2) Üç açı , ,  (A.A.A) (Açı, Açı, Açı)

    Bu üçgenin kutupsalının üç kenarı biliniyor demektir. Yeni bir durum sayılmaz.

    3) Iki kenar ve aralarındaki açı, örneğin a, , b (K.A.K) (Kenar; Açı, Kenar)

    4) Bir kenar ve bu kenara komşu açılar, örneğin , c,  (A.K.A) (Açı, Kenar, Açı)

    Bu üçgenin kutupsalının üç kenarı biliniyor demektir. Yeni bir durum sayılmaz.

    5) Iki kenar ve bu kenarlardan birisi karşısındaki açı, örneğin a, b,  veya , a, b (K.K.A)=(A.K.K)

    6) Iki açı ve bu açılardan birisi karşısındaki kenar. Örneğin , , a veya b, , , (A.A.K)=(K.A.A)


Saat dairesi = açı, eşit açı karşısında eşit kenar bulunur. Yani,

Deklinasyon

Dairesi

Saat dairesi =

Deklinasyon

Dairesi

KGK

KGK

90-

90-

t

t

a

a

Z

Z

90-

90-

Gök

meridyeni

Gök

meridyeni

a

a

z

z

q

q

S

S

Düşey

daire

Düşey

daire

h

h

Gök Ekvatoru

Gök Ekvatoru

Gök Ufku

Gök Ufku

N

N

GGK

GGK

5.3 - ASTRONOMİK ÜÇGEN ÇÖZÜMLERİ

Gök cismi (güneş) meridyenin batısında iken oluşan astronomik üçgen Şekil 5.10 a’ da, ve güneş meridyenin doğusunda iken oluşan astronomik üçgen Şekil 5.10 b’ de görülmektedir.

  • Yıldız (Güneş) batıda

Yıldız (Güneş) doğuda


  • Şekil : 5.10 - Yıldız meridyenin batısında ve doğusunda iken oluşan astronomik üçgenler

  • Güneşin meridyenin doğusunda ve batısında olduğu zamanlarda oluşan ve yukarıda gök küre üzerinde gösterilen astronomik üçgenler basit olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir (Şekil 5.11 a-b).


KGK doğusunda iken oluşan astronomik üçgenler

KGK

t

t

t

90-

90-

90-

90-

q

q

S

S

a

Düşey Daire

Düşey Daire

a

z = 90-h

z = 90-h

Z

Z

a

Saat Dairesi

Saat Dairesi

Meridyen

Meridyen

a) Yıldız (Güneş) batıda b) Yıldız (Güneş) doğuda

Şekil : 5.11 - Yıldız meridyenin batısında ve doğusunda iken oluşan astronomik üçgenler


  • Elemanları yukarda tanımlanan ve Şekil 5.10 ve 5.11’de gösterilen astronomik üçgen de bir küresel üçgen olduğu için yukarıda ayrıntılı olarak anlatılan altı durum ve bunların çözümü için verilen eşitlikler astronomik üçgen için de geçerlidir.

  • Astronomik üçgen için de altı üçgen hali vardır. Astronomik üçgenin verilen veya ölçülen elemanları yukarıda ayrıntılı olarak açıklanan hallerden hangisine uyuyorsa verilen eşitlikler kullanılarak çözüm yapılır. Astronomik üçgenin verilen elemanlarına göre bu altı hal ve çözümleri özet olarak aşağıda gösterilmiştir.


  • 1.Hal : gösterilen astronomik üçgen de bir küresel üçgen olduğu için yukarıda ayrıntılı olarak anlatılan altı durum ve bunların çözümü için verilen eşitlikler astronomik üçgen için de geçerlidir.

    Verilenler: , t, 

    Arananlar: z, a

  • Çözüm:

    eşitliğinden z zenit uzaklığı,

    veya

    eşitliğinden a azimutu hesaplanır.


  • 2.Hal : gösterilen astronomik üçgen de bir küresel üçgen olduğu için yukarıda ayrıntılı olarak anlatılan altı durum ve bunların çözümü için verilen eşitlikler astronomik üçgen için de geçerlidir.

    Verilenler: z, t, 

    Arananlar: , a

  • Çözüm:

    eşitliğinden M hesaplanır,

    eşitliğinden (1-M) ve 1 = (1-M) + M) ile 1 bulunur.

    eşitliğinden (M - 2) ve 2 = M - (M - 2) ile 2 bulunur.

    eşitliğinden a azimutu hesaplanır.


  • 3.Hal : gösterilen astronomik üçgen de bir küresel üçgen olduğu için yukarıda ayrıntılı olarak anlatılan altı durum ve bunların çözümü için verilen eşitlikler astronomik üçgen için de geçerlidir.

    Verilenler: , , z

    Arananlar: a, t

  • Çözüm:

    eşitliğinden t saat açısı,

    eşitliğinden a azimutu hesaplanır.


  • 4.Hal : gösterilen astronomik üçgen de bir küresel üçgen olduğu için yukarıda ayrıntılı olarak anlatılan altı durum ve bunların çözümü için verilen eşitlikler astronomik üçgen için de geçerlidir.

    Verilenler: , z, a

    Arananlar: t

  • Çözüm:

    eşitliğinden t saat açısı hesaplanır.


  • 5.Hal : gösterilen astronomik üçgen de bir küresel üçgen olduğu için yukarıda ayrıntılı olarak anlatılan altı durum ve bunların çözümü için verilen eşitlikler astronomik üçgen için de geçerlidir.

    Verilenler: , z, a

    Arananlar: , t

  • Çözüm:

    eşitliğinden N,

    eşitliğinden M hesaplanır,

    eşitliğinden ( -M) ve  = ( -M) + M) ile  bulunur.

    eşitliğinden t saat açısı hesaplanır.


  • 6.Hal : gösterilen astronomik üçgen de bir küresel üçgen olduğu için yukarıda ayrıntılı olarak anlatılan altı durum ve bunların çözümü için verilen eşitlikler astronomik üçgen için de geçerlidir.

    Verilenler: a, , 

    Arananlar: t, z

  • Çözüm:

    eşitliğinden M hesaplanır,

    eşitliğinden (z -M) ve z = (z -M) + M) ile z bulunur.

    eşitliğinden t saat açısı hesaplanır (güney yıldızları için).


GÜNEŞİN DOĞUŞ VE BATIŞI gösterilen astronomik üçgen de bir küresel üçgen olduğu için yukarıda ayrıntılı olarak anlatılan altı durum ve bunların çözümü için verilen eşitlikler astronomik üçgen için de geçerlidir.

  • Güneşin doğuşu ve batışında zenit uzaklığının 90, birinci düşey daireden geçişinde azimutunun 90 veya 270, yıldızların elongasyonda oldukları anda paralaktik açılarının 90 veya 270 olması nedeniyle oluşan astronomik üçgenler küresel dik üçgendir. Bu durumlarda oluşan astronomik üçgenlerin çözümü için gerekli eşitlikler Neper kuralı ile kolaylıkla çıkarılabilir.

    Bölüm (4.6- Görünebilirlik, Doğuş ve Batış) da, güneşin (yıldızın) doğuş-batıştaki azimutunu hesaplamak için

    veya

    ve saat açısı için ise

    eşitlikleri verilmiştir.


  • Güneşin gösterilen astronomik üçgen de bir küresel üçgen olduğu için yukarıda ayrıntılı olarak anlatılan altı durum ve bunların çözümü için verilen eşitlikler astronomik üçgen için de geçerlidir. deklinasyonundaki günlük değişim ihmal edilecek olursa güneşin doğuş ve batışında oluşan astronomik üçgenlerin meridyene göre simetrik oldukları varsayılabilir. Buna göre güneşin doğuş ve batışındaki azimutları ve saat açıları aşağıdaki gibi hesaplanır.

  • Doğuştaki azimut yukarıdaki eşitlikle bulunun değere eşittir. Yani aDoğuş = aD,Bdir.

  • Batıştaki azimut ise eşitlikle bulunan aD,B değerinin 360 dereceden farkına eşittir, yani

    aBatış = 360- aD,Bdir.

  • Doğuştaki saat açısı yukarıdaki eşitlikle bulunun tD,B değerinin 360 dereceden farkına eşittir, yani

    tDoğuş = 360- tD,Bdir.

  • Batıştaki saat açısı ise yukarıdaki eşitlikle bulunan tD,B değerine eşittir, yani tBatış = tD,Bdir.


Yeryüzü üzerindeki bir gözlem yerinde gündüz ve gece sürelerini hesaplamak için yukarıda verilen saat açısı eşitliği kullanılır. Hesaplan saat açısı tD,B açı birimindedir. Hesaplar derece biriminde yapılmış ise bu değer 15’e bölünerek zamana dönüştürülür ve iki katı alınırsa gözlem yeri için gündüz süresi bulunur. Bunun 24 saaten farkı alınarak gece süresi hesaplanır.

Gündüz süresi = 2 tD,B /15 saat

ve

Gece süresi = 24 - Gündüz süresi dir.


Saat dairesi = sürelerini hesaplamak için yukarıda verilen saat açısı eşitliği kullanılır. Hesaplan saat açısı

Deklinasyon

Dairesi

KGK

90-

t

a

Z

90-

Gök

meridyeni

Z=90

q

Düşey

daire

S

Gök Ekvatoru

Gök Ufku

N

GGK

Saat dairesi =

Deklinasyon

Dairesi

KGK

90-

t'

a

Z

90-

Gök

meridyeni

Z=90

q

Düşey

daire

S

Gök Ekvatoru

Gök Ufku

N

GGK

Şekil 5.12 - Güneşin doğuşu Şekil 5.13 - Güneşin batışı


Şekil 5.14 - Güneşin doğuşu ve batışı (Gök kürenin zenitten görünüşü)

Saat dairesi =

Deklinasyon

Dairesi

Gök Ufku

Gök

meridyeni

KGK

t

t'

90-

90-

90-

Düsey

daire

a

a

Z=90

Z=90

Z

S

Dogus

S

Batis

Günesin günlük yörüngesi

Gök Ekvatoru



  • example problems1.Thelatitudeandlongitude of Sheffieldare 53°23´12´´ N and 1°28´07´´ W, respectively. Thelatitudeandlongitude of Sydney are 33°55´24´´ S and 151°17´03´´ E, respectively.What is thedifference in thelatitude of thetwocities in decimaldegrees?Difference in latitude = 53°23´12´´ - ( - 33°55´24´´) = 87°18´36´´Difference in latitude = 87° + (18/60)° + (36/3600)° = 87.3100°What is thedifference in thelongitude of thetwocities in decimaldegrees?Difference in longitude = 1°28´07´´ - ( - 151°17´03´´) = 152°45´10´´Difference in longitude = 152° + (45/60)° + (10/3600)° = 152.7528°What is thedifference in longitude in hours, minutesandseconds of time?Difference in longitude = 24 x 152.7528 / 360 = 10.18352hDifference in longitude = 10h (0.18352 x 60)m = 10h11.0112mDifference in longitude = 10h11m (0.0112 x 60)s = 10h11m00.67s


What aretheco-latitudes of Sheffieldand Sydney?Latitude of northpole = 90° Nco-latitude of Sheffield = 90° - 53°23´12´´ = 36°36´48´´Latitude of southpole = 90° Sco-latitude of Sydney = 90° - 33°55´24´´ = 56°4´36´´

2.Giventhatthemeanradius of theEarth is 6370 km, convertthenautical mileandtheknotintomilesandmph.

Circumference of theEarth = 2 x 6370 kmNumber of arcminutes in 360° = 360 x 60 = 21600´Length of arcsubtendedby 1´ = 2 x 6370 / 21600 = 1.85 kmTherefore, 1 nautical mile = 1.85 km = 1.85/1.61 miles = 1.15 milesand, 1 knot = 1.85 km/h = 1.15 mph.


  • 3. Howmuchlongerwill it taketoflyfromSheffieldtoPetropavlovsk in Russiaalongtheparallelcomparedtothegreatcircleroute? AssumethatSheffieldandPetropavlovskare at thesamelatitude (53°23´ N), thelongitude of SheffieldandPetropavlovskare 1°28´ W and 158°42´ E, respectively, andtheplane is flying at 500 knots.

    figure 8: a flightfromSheffieldtoPetropavlovsk in Russia


  • Let A and B in Figure 8representSheffieldandPetropavlovsk, sothattheparallelroute is denotedbytheredarcARBandthegreatcircleroute is denotedbytheyellowarcAYB. Ifthe

  • meridiansPACandPBDaredrawnfromthenorthpolePthroughAandBtotheequatorCD, trianglePAYB is a sphericaltriangle. Applyingthecosineformula, wemaythenwritecosAYB = cosAPcosBP + sin AP sin BPcosAPBAP = BP = 90° - 53°23´ = 36°37´ = 36.6167° APB = 1°28´ - (- 158°42´) = 160°10´ = 160.1667°. SubstitutingthesenumbersintothecosineformulagivescosAYB = (cos 36°.6167)2 + (sin 36°.6167)2 cos 160.1667° AYB = 71°.9663 = 71°58´ = 4318´. ThegreatcircledistancebetweenSheffieldandPetropavlovsk is therefore 4318 nauticalmilesandhence it willtake

    4318/500 = 8.636 h = 8h38m tocompletethejourneyviatheyellowarc in Figure 8.


  • The distancebetweenSheffieldandPetropavlovskalongtheparallel of latitude 53° 23´ N (a measurementoftenreferredto as thedeparture) can be calculated as follows:Thecircumference of theparallel at latitude 53°23´ N = 2 r,wherer = RcosAOC, AOC = 53°23´ = 53.3833° andR = radius of theEarth = 3443 nauticalmiles.TheredarcARB in Figure 8coversonly a fraction of thiscircumference, wherethefraction is givenbyAQB/360° andAQB is givenbythedifference in longitude of AandB. So,ARB = (160°.1667/360°) x 2 x 3443 x cos 53°.3833 = 5741 nauticalmiles.Hence it willtake 5741/500 = 11.482 h = 11h29m tocompletethejourneyviatheredarc in Figure 8andsothejourneybetweenSheffieldandPetropavlovsk is 2h51m quickeralongthegreatcircleroutethanalongtheparallel.


4: How far is it from İstanbul (4100N., 2900E.) to New York

(4042N., 7359W.), and how long does it take by airplane if

the speed of the plane is 800 km per hour?

The radius of the earth is 6370 km.


3: The declination of the Sun is  = - 23 26 16.19 on 21st December 2005. Examine rising and setting conditions of the sun.


6: In order to define the astronomic latitude of an observation station,

a star is observed at upper culmination (transit) north of the zenith and

the zenith distance (angle) is measured as 204214. And declination of the

star is given in the almanac as +612132.

Draw the figure of upper culmination north of the zenith and compute

the astronomic latitude of the observation station.


ad