ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΗΜΕΙΩΝ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ7ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΗΜΕΙΩΝ

2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ • Τα γραμμικά στοιχεία μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε δύο ομάδες: • Τα φυσικά και • Τα ιδεατά στοιχεία • Την ανάλυση χώρου απασχολούν και οι δύο ομάδες των γραμμικών στοιχείων. • Η ανάλυση χώρου αφορά κυρίως: • Τους επιμέρους συνδέσμους και τις ροές που δημιουργούν ένα δίκτυο και • Τα κέντρα ή τους κόμβους που διασυνδέονται με τους συνδέσμους αυτούς.

3. ΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΩΣ ΓΡΑΦΗΜΑ • Η βασική διαδικασία απλοποίησης των δικτύων είναι η μετατροπή τους σε γραφήματα και η εφαρμογή της θεωρίας των γραφημάτων (graph theory). • Στην απεικόνιση ενός δικτύου με τη μορφή γραφήματος το ενδιαφέρον εστιάζεται στα τοπολογικά χαρακτηριστικά του συστήματος και όχι στα διάφορα άλλα χαρακτηριστικά του. • Ένα τμήμα του γραφήματος ενός δικτύου μπορεί να περιέχει ενδιάμεσα σημεία, γνωστής θέσης, μεταξύ των κόμβων της αρχής και του τέλους του και ονομάζονται κορυφές.

4. ΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΩΣ ΓΡΑΦΗΜΑ • Η τοπολογία ενός γραφήματος δικτύου του εκφράζεται ως εξής: • Κάθε τμήμα έχει έναν κόμβο αρχής και έναν κόμβο τέλους. • Κάθε τμήμα μπορεί να περιέχει καμιά, μία ή περισσότερες κορυφές. • Κάθε διασταύρωση δύο γραμμικών τμημάτων αποτελεί έναν κόμβο, δημιουργώντας ένα σχεδιαστικό γράφημα. • Δύο γραμμικά τμήματα συνδέονται άμεσα, αν μοιράζονται έναν κοινό κόμβο. • Δύο γραμμικά τμήματα που δεν συνδέονται άμεσα, μπορούν να συνδεθούν έμμεσα μέσω άλλων τμημάτων που, όμως, είναι άμεσα συνδεδεμένα.

5. ΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑ • Ως συνδετικότητα ενός δικτύου ορίζεται ο βαθμός σύνδεσης μεταξύ των κόμβων. • Η έννοια της συνδετικότητας έχει αξία ως εργαλείο χωρικής ανάλυσης, όταν ένα δίκτυο: • Το συγκρίνουμε με άλλα δίκτυα. • Η ανάπτυξή του εξετάζεται διαχρονικά. • Ο βαθμός συνδετικότητας ενός συγκοινωνιακού δικτύου είναι ενδεικτικός της πολυπλοκότητας του χωρικού συστήματος που εξυπηρετείται από το συγκεκριμένο δίκτυο.

6. ΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑ • Το δίκτυο Α δεν είναι πλήρως συνδεδεμένο. • Τα δίκτυα Β και Γ θεωρούνται συνδεδεμένα γραφήματα.

7. ΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Για την αξιολόγηση της δομής ενός δικτύου και κυρίως για τη σύγκριση της πολυπλοκότητας της δομής δύο ή περισσοτέρων δικτύων, χρησιμοποιούνται οι παρακάτω δείκτες: • Ο Δείκτης Γάμμα • Ο Δείκτης Άλφα • Ο Διάμετρος Δικτύου

8. ΔΕΙΚΤΗΣ ΓΑΜΜΑ Ο δείκτης Γάμμαείναι απλώςο λόγος του αριθμού των συνδέσμων που υπάρχουν σε ένα δίκτυο σ προς το μέγιστο δυνατό αριθμό συνδέσμων σmax που μπορούν να υπάρξουν στο δίκτυο αυτό: Ο μέγιστος αριθμός συνδέσμων σε ένα σχεδιαστικό δίκτυο είναι πάντοτε ίσος με 3(κ-2).

9. ΔΕΙΚΤΗΣ ΓΑΜΜΑ Στο σχήμα του βιβλίου:

10. ΔΕΙΚΤΗΣ ΑΛΦΑ • Οι Κυκλικοί Σύνδεσμοι(circuits) ορίζονται ως συγκεκριμένες διαδρομές στο δίκτυο όπου ο αρχικός κόμβος της αλληλουχίας των συνδέσμων συμπίπτει με τον τελικό κόμβο. • Σε ένα δεδομένο δίκτυο με σ συνδέσμους και κ κόμβους, ο αριθμός των συνδέσμων είναι: • σ =κ-1, όταν το δίκτυο είναι ελάχιστα συνδεδεμένο, • σ>κ-1,όταν υπάρχουν κυκλικοί σύνδεσμοι, • σ – κ +1 είναι ο αριθμός κυκλικών συνδέσμων και • 3(κ-2) είναι ο μέγιστος αριθμός συνδέσμων

11. ΔΕΙΚΤΗΣ ΑΛΦΑ Ο δείκτης Άλφα ορίζεται ως ο λόγος του αριθμού των κυκλικών συνδέσμων που υπάρχουν σε ένα δίκτυο προς το μέγιστο δυνατό αριθμό τους. Στο σχήμα του βιβλίου:

12. ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ • Ως διάμετρος ενός συνδεδεμένου δικτύου ορίζεται ο μέγιστος αριθμός συνδέσμων που απαιτείται για τη μετακίνηση από έναν κόμβο σε έναν άλλο, μέσω μιας ελάχιστης διαδρομής. • Ο υπολογισμός της διαμέτρου για τα δίκτυα του σχήματος του βιβλίου έχει ως εξής: • Δίκτυο Α: Δεν μπορεί να υπολογιστεί. • Δικτύου Β: Είναι 8 (η διαδρομή μεταξύ κόμβου 1 και 13 απαιτεί 8 συνδέσμους) • Δίκτυο Γ: Είναι 5 (η διαδρομή μεταξύ κόμβου 2 και 13 απαιτεί 5 συνδέσμους)

13. ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΔΙΚΤΥΩΝ • Τα ελάχιστα συνδεδεμένα • Τα μέγιστα συνδεδεμένα • Τα ενδιάμεσης συνδετικότητας.

14. ΣΤΑΔΙΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ Οι δείκτες πέρα από τη χρησιμότητά τους για τη σχετική αξιολόγηση της συνδετικότητας ενός δικτύου, μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για την αναγνώριση αλλαγών σε ένα δίκτυο διαχρονικά.

15. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΔΟΜΗΣ ΔΙΚΤΥΩΝ:ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑ • Στην αναγνώριση της χωρικής δομής μέσα από τη σχέση κόμβων-συνδέσμων του δικτύου θα μπορούσαν να εξεταστούν: • Οι σύνδεσμοι και οι ροές μεταξύ συγκεκριμένων κόμβων. • Οι κόμβοι σε σχέση με τις λειτουργίες τους και την προσιτότητά τους (accessibility) με το υπόλοιπο δίκτυο. • Στη δεύτερη περίπτωση το ενδιαφέρον εστιάζεται στη χωρική επικυριαρχία και τον ανταγωνισμό μεταξύ των κόμβων. Στην περίπτωση αυτή οι αλλαγές αντανακλώνται στις αλλαγές της προσιτότητας των κόμβων.

16. ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑ: ΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΩΣ ΠΙΝΑΚΑΣ • Κάθε δίκτυο ή η αφαιρετική μορφή του, που είναι το γράφημα, μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή ενός πίνακα. • Σε ένα τέτοιο πίνακα, παραδοσιακά, οι οριζόντιες σειρές ορίζονται ως το σύνολο των κόμβων αποστολής (ή αρχής) και οι κάθετες στήλες ως το σύνολο των κόμβων προορισμού (ή τέλους. • Κάθε φατνίο του πίνακα εκφράζει κάποια σχέση ανάμεσα στο αντίστοιχο ζεύγος των κόμβων. • Ανάλογα με το είδος της πληροφορίας που αποτυπώνεται σε κάθε φατνίο τους, οι πίνακες μπορούν να αντιπροσωπεύουν τη δομή ενός δικτύου ή τις ροές σε ένα δίκτυο.

17. ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑ: ΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΩΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

18. ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑ: ΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΩΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Πίνακας Συνδετικότητας C (αποτυπώνεται η παρουσία ή η απουσία σύνδεσης)

19. ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑ ΚΟΜΒΩΝ • Η πιο απλή μέτρηση της προσιτότητας μπορεί να εξαχθεί από τον πίνακα συνδετικότητας. • Το άθροισμα των επιμέρους σειρών δημιουργεί μια στήλη, που αντιπροσωπεύει το συνολικό αριθμό συνδέσεων από έναν συγκεκριμένο κόμβο προς όλους τους υπόλοιπους κόμβους του δικτύου και ορίζεται ως οβαθμός του κόμβου. • Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή για έναν συγκεκριμένο κόμβο τόσο μεγαλύτερη είναι και η προσιτότητά του προς τους υπόλοιπους κόμβους. • Ο βαθμός ενός κόμβου, όμως, έχει μεγάλους περιορισμούς ως έκφραση της προσιτότητας. • Απαιτείται μια έκφραση της προσιτότητας που να λαμβάνει υπόψη τις άμεσες και τις έμμεσες συνδέσεις των κόμβων ενός δικτύου.

20. ΕΜΜΕΣΗ ΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑ • Ο αριθμός των έμμεσων συνδέσεων ή των διαδρομών μεταξύ ζευγών κόμβων μπορεί να καθοριστεί μέσα από πολλαπλασιασμούς του πίνακα συνδετικότητας. • Γενικά, κατά τον πολλαπλασιασμό του C με τον εαυτό του, που δίνει τον πίνακα C2, καταγράφεται για κάθε φατνίο η τιμή: η οποία δηλώνει τη μοναδική έμμεση σύνδεση ή τη μοναδική διαδρομή με δύο συνδέσμους από τον κόμβο i στον κόμβο jμέσω του κόμβου κ. • Επομένως, στον πίνακα C2 τα μη μηδενικά στοιχεία του απεικονίζουν την ύπαρξη των μοναδικών έμμεσων συνδέσεων με δύο συνδέσμους. • Το άθροισμα των σειρών στον πίνακα C2 εκφράζει τον αριθμό των διαφορετικών διαδρομών με ακριβώς δύο συνδέσμους.

21. ΕΜΜΕΣΗ ΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Πίνακας Συνδετικότητας C2

22. ΕΜΜΕΣΗ ΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Πίνακας Συνδετικότητας C3 Πίνακας συνδετικότητας nβαθμού ορίζεται ο Cn όπου είναι η διαδρομή με nσυνδέσεις μεταξύ i και j, και n διαμέτρου του δικτύου.

23. ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑΣ «Τ»

24. ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑΣ «Τ» Ο πίνακας Τ αναφέρεται συνήθως ως η επιφάνεια προσιτότητας του δικτύου, διότι αξιολογεί την προσιτότητα τόσο των κόμβων όσο και του δικτύου: • Τα στοιχεία κάθε σειράς του πίνακα παρουσιάζουν την προσιτότητα ενός κόμβου προς τους άλλους κόμβους του δικτύου. • Το άθροισμα των σειρών του πίνακα δίνειένα διάνυσμα τιμών που τα στοιχεία του αντιπροσωπεύουν την προσιτότητα ενός κόμβου στο δίκτυο. • Το συνολικό άθροισμα των αθροισμάτων των σειρών εκφράζει το επίπεδο προσιτότητας ολόκληρου του δικτύου.

25. ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑΣ «Τ» • Συγκρίνοντας τα στοιχεία μιας σειράς του πίνακα Τ, μπορούμε να αξιολογήσουμε την προσιτότητα ενός κόμβου σε σχέση με τους άλλους κόμβους (όσο μεγαλύτερο είναι το άθροισμα αυτό τόσο μεγαλύτερη είναι η προσιτότητα των κόμβων). • Συγκρίνοντας το άθροισμα των αθροισμάτων των σειρών μεταξύ των πινάκων προσιτότητας διαφόρων δικτύων, αξιολογούμε το επίπεδο προσιτότητάς τους (όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του αθροίσματος αυτού, τόσο περισσότερες εναλλακτικές διαδρομές υπάρχουν στο σύστημα και τόσο καλύτερα συνδέονται οι κόμβοι του δικτύου). • Ο πίνακας προσιτότητας, όπως και όλοι οι πίνακες με εξαίρεση τον C, παρουσιάζει το πρόβλημα των πλεονασμών, αφού καταγράφουν διαδρομές που περνούν από έναν κόμβο περισσότερες από μιας φορές.

26. ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ Ένα βασικό πρόβλημα στον υπολογισμό της προσιτότητας ενός κόμβου μέσω του πίνακα προσιτότητας είναι ότι οι σύνδεσμοι μεταξύ κάθε ζεύγους κόμβων, ανεξάρτητα από το πόσο έμμεσοι είναι, θεωρούνται ότι όλοι έχουν την ίδια σπουδαιότητα. Ο Garrison πρότεινε τη χρήση ενός θετικού αριθμού στη διαδικασία πολλαπλασιασμού: T = αC + α2C2 + α3C3 + … + αnCn όπου: α = θετικός αριθμός που παίρνει τιμές μεταξύ 0 και 1 (0<α<1) και εκφράζει τη σπουδαιότητα των έμμεσων συνδέσμων

27. ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ Ο Shimbel πρότεινε η προσιτότητα να υπολογίζεται από τον πίνακα D, τα στοιχεία του οποίου δηλώνουν την τοπολογική απόσταση της συντομότερης διαδρομής για κάθε ζευγάρι κόμβων του δικτύου. Ο υπολογισμός του πίνακα D έχει ως εξής: • O πίνακας συνδετικότητας C υψώνεται στις διαδοχικές δυνάμεις 2, 3, … , n (όπου n=διάμετρος του δικτύου). • Σε κάθε βήμα ο πίνακας που προκύπτει, εξετάζεται για την ανεύρεση νέων μη μηδενικών στοιχείων. • Τα μη μηδενικά αυτά στοιχεία δημιουργούν τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα D με τιμή ίση με τη δύναμη που έχει υψωθεί ο πίνακας C. Η διαδικασία σταματά όταν δεν εμφανίζονται νέα μη μηδενικά στοιχεία, εκτός βέβαια από τα στοιχεία των διαγωνίων.

28. ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ

29. ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ

30. ΑΞΙΟΛΟΓΗΜΕΝΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Προσδιορίζοντας την προσιτότητα των κόμβων δικτύου με τον πίνακα της συντομότερης απόστασης, η απόσταση μετριέται τοπολογικά. Όλοιοι σύνδεσμοι θεωρούνται ότι έχουν ίση αξία. Όταν υπάρχουν επιπρόσθετες πληροφορίες, που ορίζουν την απόσταση με πιο ρεαλιστικό τρόπο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για τον προσδιορισμό της προσιτότητας των κόμβων ενός δικτύου. Στην περίπτωση αυτή το δίκτυο εκφράζεται μέσα από ένα γράφημα, που λόγω της βαρύτητας που αποδίδεται σε κάθε σύνδεσμο, ονομάζεται αξιολογημένο γράφημα. Το γράφημα με τη σειρά του αντιπροσωπεύεται από έναν πίνακα, όπου οι τιμές κάθε φατνίου εκφράζουν μετρήσεις της απόστασης (με οποιονδήποτε τρόπο κι αν ορίζεται) μεταξύ κάθε ζεύγους κόμβων.

31. ΑΞΙΟΛΟΓΗΜΕΝΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Γράφημα Αξιολογημένου Δικτύου

32. ΑΞΙΟΛΟΓΗΜΕΝΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Πίνακας Αξιολογημένου Δικτύου

33. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ • Η διαδικασία αυτή αποσκοπεί στην εύρεση της συντομότερης απόστασης, η οποία μετράται με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο μεταξύ των κόμβων ενός δικτύου. • Η διαδικασία είναι σχετικά απλή και αναφέρεται στην ύψωση του αξιολογημένου πίνακα διαδοχικά σε μεγαλύτερες δυνάμεις. • Η διαδικασία είναι παρόμοια με αυτήν της εύρεσης του πίνακα Dn, διαφέρει σε δύο σημεία: • Αντί του πολλαπλασιασμού των στοιχείων της σειράς με αντίστοιχα στοιχεία της στήλης, χρησιμοποιεί στοιχείο της σειράς με στοιχείο της στήλης προσθετικά • Αντί για την εύρεση του αθροίσματος των αποτελεσμάτων, το ενδιαφέρον εστιάζεται στην ελάχιστη τιμή που αποτελεί και την τιμή του φατνίου i, jτου νέου πίνακα.

34. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ Η τιμή του φατνίου i, j στο νέο πίνακα δεν είναι το άθροισμα των γινομένων των συνδέσμων από τον κόμβο αρχής i προς όλους τους ενδιάμεσους κόμβους κ, και από κάθε ενδιάμεσο κόμβο στον κόμβο προορισμού j: αλλά είναι η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος αυτών των διαδρομών δύο συνδέσμων από τον κόμβο αρχής i στον κόμβο κ και από εκεί στον κόμβο προορισμού j. Δηλαδή:

35. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ Προσιτότητα Αξιολογημένου Πίνακα

36. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΤΑΞΙΔΕΥΟΝΤΑ ΠΩΛΗΤΗ • Το πρόβλημα αυτό αναφέρεται στην εύρεση της βέλτιστης λύσης του προβλήματος που αντιμετωπίζει ένας «πωλητής», όταν πρέπει να μετακινηθεί από μια συγκεκριμένη αφετηρία σε μια σειρά από άλλα σημεία των οποίων η θέση είναι γνωστή. • Το πρόβλημα αφορά ένα δίκτυο, με συγκεκριμένο αριθμό κόμβων και συνδέσμων, καθώς και το κόστος μετακίνησης που μπορεί να μετρηθεί με διαφορετικούς τρόπους (χρόνος, απόσταση, χρήμα κ.λπ) μεταξύ κάθε ζεύγους κόμβων. • Ο αντικειμενικός στόχος είναι να βρεθεί ηδιαδρομή που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος μετακίνησης.

37. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΤΑΞΙΔΕΥΟΝΤΑ ΠΩΛΗΤΗ Η διαδικασία επίλυσης του προβλήματος του ταξιδεύοντα πωλητή ολοκληρώνεται μέσα από μια σειρά επαναλαμβανόμενων βημάτων που καθένα περιέχει τέσσερις συγκεκριμένες διαδικασίες: • Διαδικασία σειρών: είναι η αναγνώριση του ελάχιστου κόστους για κάθε σειρά και κατόπιν η αφαίρεση της ελάχιστης τιμής από την τιμή κάθε φατνίου της σειράς. • Διαδικασία στηλών: αποσκοπεί στην ύπαρξη τουλάχιστον ενός φατνίου με τιμή μηδέν σε κάθε στήλη και δημιουργείται ο πίνακας κόστους Γ. • Καθορισμός κριτικής: για κάθε φατνίο με τιμή μηδέν, η κριτική τιμή είναι το άθροισμα δύο τιμών που αναφέρονται στη σειρά και στη στήλη τους στον πίνακα Γ • Αναγνώριση συνδέσμου και αναθεώρηση του πίνακα κόστους: αφορά στην επιλογή του συνδέσμου με βάση την κριτική τιμή.

38. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΤΑΞΙΔΕΥΟΝΤΑ ΠΩΛΗΤΗ

39. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΤΑΞΙΔΕΥΟΝΤΑ ΠΩΛΗΤΗ Πίνακας Κόστους 1Α

40. ΒΗΜΑ 1 Πίνακας Κόστους 1Β και Τελικού Κόστους 1Γ Πίνακας Κριτικών Τιμών Πίνακας Κόστους 2Α

41. ΒΗΜΑ 2 Πίνακας Κόστους 2Β Πίνακας Τελικού Κόστους 2Γ Πίνακας Κριτικών Τιμών 2

42. ΒΗΜΑ 3 Πίνακας Κόστους 3Α Πίνακας Τελικού Κόστους 3Γ και Κριτικών Τιμών 3

43. ΒΗΜΑ 4 Πίνακας Κριτικών Τιμών 4 Πίνακας Κριτικών Τιμών 5 ΒΗΜΑ 5