Nombre d or rectangles d or divine proportion
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Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion … PowerPoint PPT Presentation


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Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion …. Avertissement.

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Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion …

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Nombre d’ORRectangles d’OrDivine proportion …


Avertissement

On n’a pas toujours pu déterminer de façon certaine si les proportions observées dans les œuvres architecturales et les ouvrages d’art révélaient une intention plus ou moins consciente de l'artiste, ou si ce n’était qu'une grille de lecture placée a posteriori sur une œuvre ( Il faut dans ce domaine rester modeste et ne pas vouloir à tout prix faire apparaître le nombre d'or partout )


Ces limites étant posées, on peut néanmoins présenter quelques exemples d'oeuvres où le nombre d'or semble jouer un rôle important…


Partons donc à la découverte du Nombre d’Or…


Un petit test :

Regardez simplement chacun des rectangles de la diapositive suivante et retenez celui que vous jugez le plus harmonieux


4

1

5

6

3

2

Retenez bien le n° choisi…


5

1

3

4

2

6

Refaisons le même test …


Les rectangles d'or sont respectivement les nos ….


Les rectangles d'or sont respectivement les nos 3 et 4 !

Il paraît(*)que ces rectangles sont le plus souvent choisis...

Leurs proportions donnent une belle impression d'harmonie .

(*)

D’après une étude du Philosophe allemand

Gustav Feshner en 1876


longueur

Le rapport-------------

largeur

vaut à peu près1,62


On désigne généralement le nombre d’or par la lettre grecqueφen hommage au sculpteur grecPhidias ( 490 à 430 avant J.C. ) qui décora leParthénonà Athènes.


La«Section dorée»est une appellation qui remonte à 1830 .

Elle était appelée par les Grecs

«partage d’un segment en moyenne et extrême raison»


Principe :

Dans un ensemble composé de 2 parties, le tout est à la plus grande comme celle-ci est à la plus petite .

Ce principe est sensé réaliser en architecture , en peinture, en sculpture…, les proportions les plus équilibrées , les plus harmonieuses …


a

m

b

m partage le segment [ a , b ]selon ce principe si


a

m

b

m partage le segment [ a , b ]selon ce principe si

Le tout


a

m

b

m partage le segment [ a , b ]selon ce principe si

Le tout

La plus grande

La plus grande


a

m

b

m partage le segment [ a , b ]selon ce principe si

Le tout

La plus grande

La plus petite

La plus grande


Un peu de math…


φ =

a

m

b

La plus grande

Le tout

La plus grande

La plus petite


φ =

a

m

b

La plus grande

Le tout

La plus grande

La plus petite

or


φ =

a

m

b

On a donc …


φ =

a

m

b


φ =

a

m

b

φ

φ

φ


Réduisons au même dénominateur…

φ = 1 +

φ


Une simple équation du 2eme degré…

φ = 1 +

φ

φ2 - φ - 1 = 0


L’équation φ2 - φ - 1 = 0possède deux solutions car


L’équation φ2 - φ - 1 = 0possède deux solutions car


L’équation φ2 - φ - 1 = 0possède deux solutions car

φ1 =

φ2 =


L’équation φ2 - φ - 1 = 0possède deux solutions car

φ1 =

φ2 =

Seule la 1ère solution correspond à un point m


Constructions du Nombre d’Or


a

1

b

c

2

Une construction simple

Théorème

de Pythagore


a

1

b

c

2

Traçons la parallèle à [ab] par le milieu de [ bc] …


a

1

c

b

2


a

1

c

b

2

prenons notre compas…


a

1

c

b

2


a

1

c

b

2


a

1

c

b

2

Et voilà le Nombre d’OR !


c

Et voilà le Nombre d’OR !

a

1

b

2


Variante…

A nouveau

Pythagore …


+


Rectangles d’Or

Considérons un rectangle d’Or

b

a


Rectangles d’Or

Inscrivons-y le plus grand carré possible

b

a


Rectangles d’Or

Carré

b

b

a - b

a


Examinons le rapport des dimensions du rectangle obtenu

Carré

b

b

a - b

a


b

b

a - b

a

Le nouveau rectangle obtenu est donc un rectangle d’Or

Carré


En inscrivant successivement le plus grand carré aux rectangles obtenus …


On obtient une succession de rectangles d’Or …

Rectangle d’or

Carré


On obtient une succession de rectangles d’Or …

Rectangle d’or

Carré


On obtient une succession de rectangles d’Or …

Rectangle d’or

Carré


On obtient une succession de rectangles d’Or …

Carré

Rectangle d’or


On obtient une succession de rectangles d’Or …

Rectangle d’or


On obtient une succession de rectangles d’Or …


On obtient une succession de rectangles d’Or …


Spirale des rectangles d’Or


La spirale des rectangles d'or

est une « fausse » spirale parce qu'elle est constituée d'arcs de cercles au lieu d'avoir une variation continue du rayon.

Cependant les raccordements des arcs sont parfaits car les centres des arcs sont à chaque fois situés sur la même droite et il y a une unique tangente à chaque point de raccordement .


Elle tend rapidement vers un centre Z .

Le segment de droite qui joint le centre Z à un point de la courbe croît en progression géométrique. La longueur du rayon vecteur est multipliée par le nombre d'or chaque fois que sa direction tourne d'un quart de tour.


Cette spirale se rencontre beaucoup dans la nature


Nautile


Nautile


Nautile


Nautile


Nautile


Nautile


Nautile


Nautile


Nautile


Nautile


Nautile


Nautile

modèle mathématique


Quelques repères Historiques…


Il y a 10 000 ans

Premiers signes de la connaissance par l’homme

( Temple d’ANDROS découvert sous la mer des Bahamas )


a

h

2800 Avant J C : Pyramide de Kheops

Selon la légende , les prêtres égyptiens disaient que « le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires »


Encore un peu de math…

h

H

D’après Herodote

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h


h

H

a

H² = a.h

h² - a² = a.h

En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore…


h

H

a

H² = a.h

h² - a² = a.h

Divisons les deux membres par ah :


h

H

a

H² = a.h

h² - a² = a.h

Divisons les deux membres par ah :


h

H

a

H² = a.h

h² - a² = a.h

Divisons les deux membres par ah :

Posons


h

H

a

On retrouve l’équation qui nous a permis de trouver le nombre d’Or

Posons


a

h

donc la proportion entre la hauteur

( h) d'une face triangulaire et la moitié (a) du côté

de la base est

égale au nombre d’or

φ


Pythagore (-580;-500)


Pythagore(-580;-500)

mathématicien et philosophe grec était passionné par l'harmonie et  les proportions. Son traité sur la musique est célèbre. On lui doit la découverte de l'irrationalité de certains nombres : et que l'on trouve dans le nombre d'or et le pentagone régulier


Les Pythagoriciens voyaient dans les nombres les principes de toute chose

Le  pentagramme était le symbole des pythagoriciens. 


Pentagones et décagones réguliers


Pentagone régulier

C5

72°


Pentagone régulier

C5

72°


Pentagone régulier

C5

72°


Pentagone régulier

C5

72°


Pentagone régulier

C5

72°


Pentagone étoilé ( Pentagramme )

E5

C5


Pentagone étoilé ( Pentagramme )

E5

C5


Pentagone étoilé ( Pentagramme )

E5

C5


Pentagone étoilé ( Pentagramme )

E5

C5


Pentagone étoilé ( Pentagramme )

E5

C5


d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier


a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier


d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier


d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier


d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier


d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier


d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier


d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier


d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier


d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier


d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

j


d

Construisons la bissectrice aj de oâb

a

36°

C10

36°

36°

r

72°

c

b

o

j


d

a

36°

C10

36°

36°

r

72°

72°

c

b

o

j


d

a

36°

C10

36°

36°

r

72°

72°

c

b

o

j


d

S

 aob

ajb

a

36°

C10

36°

36°

r

72°

72°

c

b

o

j


d

S

 aob

ajb

a

36°

C10

36°

36°

r

72°

72°

c

b

o

j

oa

ab

aj

jb


d

oa

ab

aj

jb

a

36°

r

C10

36°

36°

r

72°

72°

c

b

o

j


d

Le nombre d’Or est donc présent dans le décagone régulier

a

R

C10

c

b

o


E5

C5

On montre aussi par les triangles semblables que


447-432 av.JC

Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d’Or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d’Athéna Parténos .


Le Parthénon s’inscrit dans un rectangle doré


A

G

B

E

F

D

C

=


Sur la toiture , on a aussi

=


b

Statue d’Aphrodite

entre autre …

n

a


Le théatre d’Epidaure ( IVème siècle av.J-C )


les rapports et sont


Retenons bien les nombres 21 , 34 et 55 …

On y reviendra dans quelques instants !


IIIèmesiècle av. J-C.

Premières traces écrites :

Dans ses « Eléments », Euclide explique le partage d’un segment en

« extrême et moyenne

raison »


« Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand,

comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit »

(Euclide , Eléments, livre IV , 3eme définition )


Léonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci, est à l'origine du premier modèle mathématique de la croissance des populations.


Il étudia du point de vue numérique la reproduction des lapins.


L'unité de base est un couple de lapins, il considère qu'un couple de jeunes lapins met une saison à devenir adulte, attend une deuxième saison de gestation, puis met au monde un couple de jeunes lapins à chaque saison suivante


En supposant que les lapins ne meurent jamais …, on obtient donc le schéma suivant :


Lorsque l'on compte le nombre de couples de lapins à chaque saison, cela donne... la suite de Fibonacci1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610............pour laquelle on a

  • 5 + 8 = 13

  • 8 + 13 = 21

  • 13 + 21 = 34

  • 21 + 34 = 55

  • Etc…

un = un-1 + un-2


Et revoici le Nombre d’Or …

on remarque que le rapport entre un nombre de la suite et son précédent s'approche de plus en plus du nombre d'or:


Φ ~1,61803398…

  • 21/13 ~ 1,615

  • 34/21 ~ 1,619

  • 144/89 ~ 1,617

  • 610/377 ~ 1,618


Fibonacci dans la nature…

La pomme de pin montre clairement les spirales de Fibonacci : 8 vertes dans un sens, 13 rouges dans l'autre sens.


La fleur de tournesol forme deux séries de spirales tournant en sens contraire: 13 spirales partent de son centre dans une direction, 21 dans l'autre


Les bâtisseurs de cathédrales

Aux XIe et XIIe siècles,héritière des traditions anciennes, l’organisation ouvrière du compagnonnage où les savoirs se transmettaient oralement de maître à « compagnon », a fait des règles du nombre d’or le principe du savoir-faire des bâtisseurs


Notre-Dame de Paris


Notre-Dame de Paris


Cathédrale de Strasbourg


b

a

o

p

y

d

c


Le célèbre Taj Mahâl, immense monument funéraire construit en Inde par un architecte persan assisté de nombreux compagnons de nationalités différentes, a été construit également selon les proportions du nombre d’or


Les coupoles de plusieurs basiliques et mosquées célèbres furent proportionnées selon la Section d'Or et elles reposent sur une base cubique, comme, par exemple, celles de la Basilique Sainte Sophie à Istanbul, de la Basilique Saint Pierre à Rome


Les bâtisseurs de cathédrales

Les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituée de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relatives au corps humain : lapaume, lapalme , l’empan, le pied et lacoudée


palme

empan

Paume

Coudée

Les bâtisseurs de cathédrales

Les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituée de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relatives au corps humain : lapaume, lapalme , l’empan, le pied et lacoudée


empan

palme

Pied

Paume

Coudée

Lignes

cm

Les longueurs étaient données en « lignes » ( une ligne mesurant 2,247 mm )


empan

palme

Pied

Paume

Coudée

Lignes

cm

On retrouve les termes de la suite de Fibonacci !!


Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématique , écrit

« De divina proportionne »


Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématique , écrit

« De divina proportionne »

Léonard de Vinci (1452-1519) a dessiné les polyèdres pleins ou creux qui illustrent le traité de Luca Pacioli, son « maître de géométrie ».


D

C

E

Dans ce tableau de Jicopo de Barbari, où Fra Luca Pacioli explique un théorème , on a

= 1,62


icosaèdre

dodécaèdre


Pour Platon , le Dodécaèdre ne symbolise rien moins que l’Univers


Léonard de Vinci , philosophe humaniste de la renaissance, comme plusieurs autres peintres célèbres a utilisé la proportion d’Or dans ses toiles

Le visage de sa célèbre Joconde est inscrit dans un rectangle d’or


Le Saint Jérome de Leonard de Vinci est aussi parfaitement intégré dans un rectangle d’or


L’Annonciation ( Leonard de Vinci )

x

y

c

m

a

b


Leonardo de Vinci est aussi célèbre par ses observations du corps humain


L'Homme est inscrit dans un cercle.Quand il lève les bras et a les jambes écartées, le centre du cercle correspond au nombril.S'il se tient jambes serrées et bras à l'horizontale, il s'inscrit dans un carré.


Le nombril divise la hauteur de l'homme en deux segments qui sont dans le rapport d'Or

Le rapport entre la distance comprise entre l'extrémité de la main droite et l'épaule gauche et celle comprise entre l'épaule gauche et l'extrémité de la main gauche correspond au Nombre d'Or.


Dessin de Leonard de Vinci

( sans doute autoportrait ) certains des rectangles de la grille sont des rectangles d’Or


L’homme parfait d’Aggripa Von Nettesheim ( 1553) (Médecin, philosophe et alchimiste allemand )


Bien que les peintres aient souvent travaillé en se laissant guider par un sens inné de l’harmonie des volumes et des formes , la construction géométrique de la peinture dans certaines œuvres n’est pas le fruit d’une spéculation, mais bien une réalité.


L'étude de l’illustration desGrandes Chroniques de Francepeintes par Jean Fouquet a été l’occasion de vérifier l’existence d’un trou de compas dans une scène mettant en œuvre le pentagone régulier


Souvent, le peintre, place l’élément, le personnage ou l’événement dans la section dorée du tableau pour que le regard du spectateur y soit naturellement attiré

Voici quelques autres exemples


La Naissance de Venus ( Boticelli )


La Naissance de Venus ( Boticelli )

La Naissance de Venus ( Boticelli )


L’Adoration des Mages ( Velasquez )


Le format du tableau correspond à un rectangle d’OrLe tableau s'organise autour de la diagonale.Les visages de Marie et du personnage qui est à ses côtés s'inscrivent également dans un Rectangle d'or.


Plus contemporains

Pablo Picasso


La Parade ( Seurat )


h

i

g

f

e

a


B

A

Le « Sacrement du Dernier Repas » de Salvator Dali (1904-1989) est peint à l’intérieur d’un rectangle d’or et des proportions dorées auraient été utilisées pour positionner les personnages


B

A

une partie d’un gigantesque dodécaèdre symbolisant l’Univers surplombe la table


Autres exemples d’utilisation de la proportion d’Or en architecture…


Renaissance Italienne

Santa Maria Novella ( Florence )


Tempietto de Bramante ( Rome )


Villa Farnese ( Rome )


La Villa Farnese est bâtie suivant un plan pentagonal


Un dessin de Francesco Giorgio Martini associe la forme du corps humain et le plan d'une église

le rapport des dimensions est analogue à celui de San Spirito à Florence conçue par Brunelleschi (1377-1446)


Rectangle

Rectangle d’Or

San Spirito (Florence )


Château de Thoiry

L’architecture de Philibert de L’Orme dans ce château est entièrement réglée par les nombres. Les proportions des ailes, fenêtres, cheminées… sont toujours basées sur la longueur du château selon des sous-multiples des entiers fondamentaux 1 , 2 , 3 et 5


Château de Thoiry ( Philibert de L’Orme )

le nombre d’or y joue un grand rôle ; le vestibule a les proportions de la chambre funéraire de la pyramide de Cheops


Rectangle « √2 »

Un plan de porte

Rectangle d’or


Cette proportion fut étudiée à l' époque moderne  puisque Le Corbusier, architecte français d’origine suisse (1887;1965) l'a immortalisée dansLe Modulor.     


Présenté en avril 1947 par le Corbusier, Le Modulor est un système de mesure basé sur les proportions du corps humain


Dessin et photo de la maison d’Amèdée Ozenfant par Le Corbusier


Chapelle de Ronchamps ( Le Corbusier )


Faut-il voir le nombre d’Or partout???

Collection "Pratique du dessin et de la peinture", Bordas, 1973.

Tiré du semestriel des "Amis de Hergé" n° 6du mois de décembre 1987


Recherches réalisées par les élèves de 5LM-SA au cours de Math complémentaires de Mr Colin


Soufiane

Fatima

Bilal


Chanthim

Laetitia

Youness


Ikram

Farah


Nadir

Rani

Suleyman

Ayoub

Imad


Sources :

http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm

http://www.bib.ulb.ac.be/coursmath/rectangl.htm

http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Fibonacci.html

http://www.rtsq.qc.ca/aiguillart/projet/rech/artmath/no_or/intropas.htm

http://pedagogie.ac-aix-marseille.fr/etablis/lycees/craponne/or/partheno.htm

http://users.hol.gr/~helen/index.files/LE%20NOMBRE%20DOR%202.htm

http://www.ac-nice.fr/artsap/fichedocumen/nombredor.html

http://www.thoiry.tm.fr/thfhchno.htm

http://www.tintin.be/fr/doss_fr/regl1_fr.html


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