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Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion …

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Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion … - PowerPoint PPT Presentation


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Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion …. Avertissement.

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PowerPoint Slideshow about ' Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion …' - varian


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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
avertissement
Avertissement

On n’a pas toujours pu déterminer de façon certaine si les proportions observées dans les œuvres architecturales et les ouvrages d’art révélaient une intention plus ou moins consciente de l\'artiste, ou si ce n’était qu\'une grille de lecture placée a posteriori sur une œuvre ( Il faut dans ce domaine rester modeste et ne pas vouloir à tout prix faire apparaître le nombre d\'or partout )

slide5
Ces limites étant posées, on peut néanmoins présenter quelques exemples d\'oeuvres où le nombre d\'or semble jouer un rôle important…
un petit test
Un petit test :

Regardez simplement chacun des rectangles de la diapositive suivante et retenez celui que vous jugez le plus harmonieux

slide11

Les rectangles d\'or sont respectivement les nos 3 et 4 !

Il paraît(*)que ces rectangles sont le plus souvent choisis...

Leurs proportions donnent une belle impression d\'harmonie .

(*)

D’après une étude du Philosophe allemand

Gustav Feshner en 1876

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longueur

Le rapport-------------

largeur

vaut à peu près1,62

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On désigne généralement le nombre d’or par la lettre grecqueφen hommage au sculpteur grecPhidias ( 490 à 430 avant J.C. ) qui décora leParthénonà Athènes.
slide14
La«Section dorée»est une appellation qui remonte à 1830 .

Elle était appelée par les Grecs

«partage d’un segment en moyenne et extrême raison»

principe
Principe :

Dans un ensemble composé de 2 parties, le tout est à la plus grande comme celle-ci est à la plus petite .

Ce principe est sensé réaliser en architecture , en peinture, en sculpture…, les proportions les plus équilibrées , les plus harmonieuses …

m partage le segment a b selon ce principe si2

a

m

b

m partage le segment [ a , b ]selon ce principe si

Le tout

La plus grande

La plus grande

m partage le segment a b selon ce principe si3

a

m

b

m partage le segment [ a , b ]selon ce principe si

Le tout

La plus grande

La plus petite

La plus grande

slide21

φ =

a

m

b

La plus grande

Le tout

La plus grande

La plus petite

slide22

φ =

a

m

b

La plus grande

Le tout

La plus grande

La plus petite

or

slide23

φ =

a

m

b

On a donc …

slide24

φ =

a

m

b

slide25

φ =

a

m

b

φ

φ

φ

slide27

Une simple équation du 2eme degré…

φ = 1 +

φ

φ2 - φ - 1 = 0

l quation 2 1 0 poss de deux solutions car3
L’équation φ2 - φ - 1 = 0possède deux solutions car

φ1 =

φ2 =

Seule la 1ère solution correspond à un point m

une construction simple

a

1

b

c

2

Une construction simple

Théorème

de Pythagore

slide35

a

1

c

b

2

slide37

a

1

c

b

2

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a

1

c

b

2

variante
Variante…

A nouveau

Pythagore …

rectangles d or
Rectangles d’Or

Considérons un rectangle d’Or

b

a

rectangles d or1
Rectangles d’Or

Inscrivons-y le plus grand carré possible

b

a

rectangles d or2
Rectangles d’Or

Carré

b

b

a - b

a

slide50

b

b

a - b

a

Le nouveau rectangle obtenu est donc un rectangle d’Or

Carré

slide75

La spirale des rectangles d\'or

est une « fausse » spirale parce qu\'elle est constituée d\'arcs de cercles au lieu d\'avoir une variation continue du rayon.

Cependant les raccordements des arcs sont parfaits car les centres des arcs sont à chaque fois situés sur la même droite et il y a une unique tangente à chaque point de raccordement .

slide76

Elle tend rapidement vers un centre Z .

Le segment de droite qui joint le centre Z à un point de la courbe croît en progression géométrique. La longueur du rayon vecteur est multipliée par le nombre d\'or chaque fois que sa direction tourne d\'un quart de tour.

slide89

Nautile

modèle mathématique

il y a 10 000 ans
Il y a 10 000 ans

Premiers signes de la connaissance par l’homme

( Temple d’ANDROS découvert sous la mer des Bahamas )

2800 avant j c pyramide de kheops

a

h

2800 Avant J C : Pyramide de Kheops

Selon la légende , les prêtres égyptiens disaient que « le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires »

encore un peu de math
Encore un peu de math…

h

H

D’après Herodote

a

H² = a.h

slide94

h

H

a

H² = a.h

slide95

h

H

a

H² = a.h

slide96

h

H

a

H² = a.h

slide97

h

H

a

H² = a.h

slide98

h

H

a

H² = a.h

slide99

h

H

a

H² = a.h

slide100

h

H

a

H² = a.h

slide101

h

H

a

H² = a.h

slide102

h

H

a

H² = a.h

slide103

h

H

a

H² = a.h

slide104

h

H

a

H² = a.h

slide105

h

H

a

H² = a.h

slide106

h

H

a

H² = a.h

slide107

h

H

a

H² = a.h

slide108

h

H

a

H² = a.h

slide109

h

H

a

H² = a.h

slide110

h

H

a

H² = a.h

slide111

h

H

a

H² = a.h

slide112

h

H

a

H² = a.h

h² - a² = a.h

En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore…

slide113

h

H

a

H² = a.h

h² - a² = a.h

Divisons les deux membres par ah :

slide114

h

H

a

H² = a.h

h² - a² = a.h

Divisons les deux membres par ah :

slide115

h

H

a

H² = a.h

h² - a² = a.h

Divisons les deux membres par ah :

Posons

slide116

h

H

a

On retrouve l’équation qui nous a permis de trouver le nombre d’Or

Posons

slide117

a

h

donc la proportion entre la hauteur

( h) d\'une face triangulaire et la moitié (a) du côté

de la base est

égale au nombre d’or

φ

slide119

Pythagore(-580;-500)

mathématicien et philosophe grec était passionné par l\'harmonie et  les proportions. Son traité sur la musique est célèbre. On lui doit la découverte de l\'irrationalité de certains nombres : et que l\'on trouve dans le nombre d\'or et le pentagone régulier

slide120
Les Pythagoriciens voyaient dans les nombres les principes de toute chose

Le  pentagramme était le symbole des pythagoriciens. 

slide132

d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier

slide133

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier

slide134

d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier

slide135

d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier

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d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier

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d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier

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d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier

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d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier

slide140

d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier

slide141

d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

Décagone régulier

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d

a

72°

C10

36°

r

72°

c

b

o

j

slide144

d

a

36°

C10

36°

36°

r

72°

72°

c

b

o

j

slide145

d

a

36°

C10

36°

36°

r

72°

72°

c

b

o

j

slide146

d

S

 aob

ajb

a

36°

C10

36°

36°

r

72°

72°

c

b

o

j

slide147

d

S

 aob

ajb

a

36°

C10

36°

36°

r

72°

72°

c

b

o

j

oa

ab

aj

jb

slide148

d

oa

ab

aj

jb

a

36°

r

C10

36°

36°

r

72°

72°

c

b

o

j

slide149

d

Le nombre d’Or est donc présent dans le décagone régulier

a

R

C10

c

b

o

slide150

E5

C5

On montre aussi par les triangles semblables que

447 432 av jc
447-432 av.JC

Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d’Or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d’Athéna Parténos .

slide153

A

G

B

E

F

D

C

=

slide155

b

Statue d’Aphrodite

entre autre …

n

a

retenons bien les nombres 21 34 et 55
Retenons bien les nombres 21 , 34 et 55 …

On y reviendra dans quelques instants !

iii me si cle av j c
IIIèmesiècle av. J-C.

Premières traces écrites :

Dans ses « Eléments », Euclide explique le partage d’un segment en

« extrême et moyenne

raison »

slide160
« Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand,

comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit »

(Euclide , Eléments, livre IV , 3eme définition )

slide161
Léonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci, est à l\'origine du premier modèle mathématique de la croissance des populations.
slide163
L\'unité de base est un couple de lapins, il considère qu\'un couple de jeunes lapins met une saison à devenir adulte, attend une deuxième saison de gestation, puis met au monde un couple de jeunes lapins à chaque saison suivante
slide172
Lorsque l\'on compte le nombre de couples de lapins à chaque saison, cela donne... la suite de Fibonacci1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610............pour laquelle on a
  • 5 + 8 = 13
  • 8 + 13 = 21
  • 13 + 21 = 34
  • 21 + 34 = 55
  • Etc…

un = un-1 + un-2

et revoici le nombre d or
Et revoici le Nombre d’Or …

on remarque que le rapport entre un nombre de la suite et son précédent s\'approche de plus en plus du nombre d\'or:

1 61803398
Φ ~1,61803398…
  • 21/13 ~ 1,615
  • 34/21 ~ 1,619
  • 144/89 ~ 1,617
  • 610/377 ~ 1,618
fibonacci dans la nature
Fibonacci dans la nature…

La pomme de pin montre clairement les spirales de Fibonacci : 8 vertes dans un sens, 13 rouges dans l\'autre sens.

slide176

La fleur de tournesol forme deux séries de spirales tournant en sens contraire: 13 spirales partent de son centre dans une direction, 21 dans l\'autre

les b tisseurs de cath drales
Les bâtisseurs de cathédrales

Aux XIe et XIIe siècles,héritière des traditions anciennes, l’organisation ouvrière du compagnonnage où les savoirs se transmettaient oralement de maître à « compagnon », a fait des règles du nombre d’or le principe du savoir-faire des bâtisseurs

slide183

b

a

o

p

y

d

c

slide184

Le célèbre Taj Mahâl, immense monument funéraire construit en Inde par un architecte persan assisté de nombreux compagnons de nationalités différentes, a été construit également selon les proportions du nombre d’or

slide186

Les coupoles de plusieurs basiliques et mosquées célèbres furent proportionnées selon la Section d\'Or et elles reposent sur une base cubique, comme, par exemple, celles de la Basilique Sainte Sophie à Istanbul, de la Basilique Saint Pierre à Rome

les b tisseurs de cath drales1
Les bâtisseurs de cathédrales

Les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituée de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relatives au corps humain : lapaume, lapalme , l’empan, le pied et lacoudée

les b tisseurs de cath drales2

palme

empan

Paume

Coudée

Les bâtisseurs de cathédrales

Les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituée de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relatives au corps humain : lapaume, lapalme , l’empan, le pied et lacoudée

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empan

palme

Pied

Paume

Coudée

Lignes

cm

Les longueurs étaient données en « lignes » ( une ligne mesurant 2,247 mm )

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empan

palme

Pied

Paume

Coudée

Lignes

cm

On retrouve les termes de la suite de Fibonacci !!

fra luca pacioli un moine professeur de math matique crit
Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématique , écrit

« De divina proportionne »

fra luca pacioli un moine professeur de math matique crit1
Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématique , écrit

« De divina proportionne »

Léonard de Vinci (1452-1519) a dessiné les polyèdres pleins ou creux qui illustrent le traité de Luca Pacioli, son « maître de géométrie ».

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D

C

E

Dans ce tableau de Jicopo de Barbari, où Fra Luca Pacioli explique un théorème , on a

= 1,62

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icosaèdre

dodécaèdre

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Léonard de Vinci , philosophe humaniste de la renaissance, comme plusieurs autres peintres célèbres a utilisé la proportion d’Or dans ses toiles

Le visage de sa célèbre Joconde est inscrit dans un rectangle d’or

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L\'Homme est inscrit dans un cercle.Quand il lève les bras et a les jambes écartées, le centre du cercle correspond au nombril.S\'il se tient jambes serrées et bras à l\'horizontale, il s\'inscrit dans un carré.

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Le nombril divise la hauteur de l\'homme en deux segments qui sont dans le rapport d\'Or

Le rapport entre la distance comprise entre l\'extrémité de la main droite et l\'épaule gauche et celle comprise entre l\'épaule gauche et l\'extrémité de la main gauche correspond au Nombre d\'Or.

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Dessin de Leonard de Vinci

( sans doute autoportrait ) certains des rectangles de la grille sont des rectangles d’Or

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L’homme parfait d’Aggripa Von Nettesheim ( 1553) (Médecin, philosophe et alchimiste allemand )

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Bien que les peintres aient souvent travaillé en se laissant guider par un sens inné de l’harmonie des volumes et des formes , la construction géométrique de la peinture dans certaines œuvres n’est pas le fruit d’une spéculation, mais bien une réalité.
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L\'étude de l’illustration desGrandes Chroniques de Francepeintes par Jean Fouquet a été l’occasion de vérifier l’existence d’un trou de compas dans une scène mettant en œuvre le pentagone régulier

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Souvent, le peintre, place l’élément, le personnage ou l’événement dans la section dorée du tableau pour que le regard du spectateur y soit naturellement attiré

Voici quelques autres exemples

slide209

La Naissance de Venus ( Boticelli )

La Naissance de Venus ( Boticelli )

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Le format du tableau correspond à un rectangle d’OrLe tableau s\'organise autour de la diagonale.Les visages de Marie et du personnage qui est à ses côtés s\'inscrivent également dans un Rectangle d\'or.

plus contemporains
Plus contemporains

Pablo Picasso

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h

i

g

f

e

a

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B

A

Le « Sacrement du Dernier Repas » de Salvator Dali (1904-1989) est peint à l’intérieur d’un rectangle d’or et des proportions dorées auraient été utilisées pour positionner les personnages

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B

A

une partie d’un gigantesque dodécaèdre symbolisant l’Univers surplombe la table

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Renaissance Italienne

Santa Maria Novella ( Florence )

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Un dessin de Francesco Giorgio Martini associe la forme du corps humain et le plan d\'une église

le rapport des dimensions est analogue à celui de San Spirito à Florence conçue par Brunelleschi (1377-1446)

slide226

Rectangle

Rectangle d’Or

San Spirito (Florence )

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Château de Thoiry

L’architecture de Philibert de L’Orme dans ce château est entièrement réglée par les nombres. Les proportions des ailes, fenêtres, cheminées… sont toujours basées sur la longueur du château selon des sous-multiples des entiers fondamentaux 1 , 2 , 3 et 5

ch teau de thoiry philibert de l orme
Château de Thoiry ( Philibert de L’Orme )

le nombre d’or y joue un grand rôle ; le vestibule a les proportions de la chambre funéraire de la pyramide de Cheops

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Rectangle « √2 »

Un plan de porte

Rectangle d’or

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Cette proportion fut étudiée à l\' époque moderne  puisque Le Corbusier, architecte français d’origine suisse (1887;1965) l\'a immortalisée dansLe Modulor.     
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Présenté en avril 1947 par le Corbusier, Le Modulor est un système de mesure basé sur les proportions du corps humain

faut il voir le nombre d or partout
Faut-il voir le nombre d’Or partout???

Collection "Pratique du dessin et de la peinture", Bordas, 1973.

Tiré du semestriel des "Amis de Hergé" n° 6du mois de décembre 1987

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Soufiane

Fatima

Bilal

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Chanthim

Laetitia

Youness

slide244

Ikram

Farah

slide245

Nadir

Rani

Suleyman

Ayoub

Imad

sources
Sources :

http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm

http://www.bib.ulb.ac.be/coursmath/rectangl.htm

http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Fibonacci.html

http://www.rtsq.qc.ca/aiguillart/projet/rech/artmath/no_or/intropas.htm

http://pedagogie.ac-aix-marseille.fr/etablis/lycees/craponne/or/partheno.htm

http://users.hol.gr/~helen/index.files/LE%20NOMBRE%20DOR%202.htm

http://www.ac-nice.fr/artsap/fichedocumen/nombredor.html

http://www.thoiry.tm.fr/thfhchno.htm

http://www.tintin.be/fr/doss_fr/regl1_fr.html

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