Leyes de probabilidad
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LEYES DE PROBABILIDAD. Las relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad). Axioma: Es una verdad evidente que no requiere demostración.

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LEYES DE PROBABILIDAD

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Presentation Transcript


Leyes de probabilidad

LEYES DEPROBABILIDAD


Leyes de probabilidad1

Las relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad).

Axioma: Es una verdad evidente que no requiere demostración.

Teorema: Es una verdad que requiere ser demostrada.

Leyes de probabilidad:


Axioma 1

Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal queA  S, entonces se cumple que

0  P(A) 1

esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible.

P(A)

___________________________________

  • -2 -1 0 1 2

Axioma 1:


Axioma 2

La probabilidad del espacio muestral S es un evento seguro y es uno:

P(S) = 1

Ejemplo.-

Experimento.- Se lanza un dado.

Si A = S, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces:

Axioma 2:


Teorema 1

Si  es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de  es igual a cero:

Ejemplos:

  • Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto.

  • Que aparezca un siete al lanzar un dado.

  • Que una persona viva 250 años.

  • En estos casos los eventos son vacíos.

Teorema 1:


Axioma 3

Sea S un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que: A S, B S y A  B = , es decir, dos eventos mutuamente excluyentes, entonces

P(A  B) = P(A) + P(B)

Axioma 3:


Ejemplo

Experimento:“Se lanzan dos monedas”.

Espacio muestral: S = { ss, aa, sa, as}, N(S) = 4

Sean los eventos:

A: “Caen dos soles exactamente”.

B: “Cae un sol exactamente”.

Los elementos de A y B son: A = { ss}, B = {sa, as}.

Se puede ver que para A  B =  (vacío, no hay elementos en común), por lo que los eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, por tanto

P(A  B) = P(A) + P(B)

Ejemplo:


Continuaci n del ejemplo

Continuación del ejemplo:


Axioma 4

Sean A1, A2, A3, A4, ..., An; eventos mutuamente excluyentes:

P(A1  A2  A3  A4, ...  An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)

Este axioma dice que la probabilidad de varios eventos mutuamente excluyentes (que no tienen elementos en común), es igual a la suma de sus probabilidades.

Axioma 4:


Continuaci n

Continuación:

Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria:


Ejemplo1

Ejemplo:

Experimento:“Se lanza un dado”.

Sean los eventos:

A: “Que al lanzar un dado salga el 2 o el 4”.

B: “Que al lanzar un dado salga un número mayor a 4”.

C: “Que salga el 1 o 3”.

Los elementos de A, B y C son

A = {2, 4}, N(A) = 2

B = {5, 6}, N(B) = 2

C = {1, 3} , N(C) = 2


Continuaci n1

Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que:

A  B = {}, A  C = { }, B  C = { }

Por axioma 4:

P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)

Continuación:


Teorema2 ley aditiva de la probabilidad

Sean A y B dos eventos no excluyentes, A  B , entonces:

P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

Teorema2: Ley aditiva de la probabilidad.


Diferencia

Sean A y B dos eventos:

A - B = { x | x  A y x  B }

DIFERENCIA:


Ejemplo2

Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”.

S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }

N(S) = 12

Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”.

Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”.

A = { 2s, 3s }, N(A) = 2

B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3

A  B = { 2s } N(A  B ) = 1

Ejemplo:


Teorema 3

Sea A un evento cualquiera y S un espacio muestral, tal que A  S, si Ac es el complemento del evento A, entonces la probabilidad de Ac es igual a 1 menos la probabilidad de A, es decir

P(Ac) = 1 – P(A)

Teorema 3:


Ejemplo3

Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”.

S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }

N(S) = 12

Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”.

Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”.

A = { 2s, 3s },N(A) = 2

B = { 2s, 4s, 6s }N(B) = 3

Ac = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }

Bc= { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }

Ejemplo:


Probabilidad condicional

Probabilidad condicional:

Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral S, con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E ha sucedido o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, se define como:


Eventos independientes

Eventos independientes

Se dice que los eventos A y E son independientes si se cumplen:

Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.


Probabilidad condicional1

Probabilidad condicional:

Ley Multiplicativa de la Probabilidad.

Ya que (A  E) = (E  A) y despejamos a P(A  E), se tiene que la probabilidad de la intersección es:


Probabilidad condicional2

Probabilidad condicional:

Si A y B son independientes:


Ejemplo4

Experimento:“Lanzar un dado”.

Evento A: “Que al lanzar el dado caiga 3”.

Evento E: “Que al lanzar un dado salga un impar”.

Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.

S = {1,2,3,4,5,6}

A = {3},E = { 1,3,5},(AE) = {3},P(A) = 1/6

Ejemplo:


Leyes de probabilidad

Otra forma de calcular las probabilidades de la intersección y las probabilidades condicionales, de dos eventos A y B, tal que:

A  AC = S

B  BC = S

es elaborando primero la tabla de número de elementos de los eventos y después la tabla de sus probabilidades.


Leyes de probabilidad

Se tienen los eventos A y B y sus complementos Ac, Bc


Leyes de probabilidad

Tabla de número de elementos de A, B y sus complementos Ac, Bc


Leyes de probabilidad

Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus intersecciones


Probabilidades condicionales

P(A/B) = P(A  B)/P(B)

P(B/A) = P(A  B)/P(A)

P(A/Bc) = P(A  Bc)/P(Bc)

P(B/Ac) = P(Ac B)/P(Ac)

P(Ac/B) = P(Ac B)/P(B)

P(Bc/A) = P(A  Bc)/P(A)

Probabilidades condicionaLES:


Ejemplo5

En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un economista estudia la situación de empleo, elige al azar una persona desempleada. Si la población total es de 8000 personas,

¿ Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea ?:

a).- Mujer.

b).- Hombre.

c).- Mujer dado que está empleado.

d).- Desempleado dado que es hombre.

e).- Empleado dado que es mujer.

Ejemplo:


Soluci n

Sean los eventos:

M: “Que sea Mujer”.

H: “Que sea Hombre”.

D: “Que sea Desempleado”.

E: “Que sea Empleado”

Tabla de elementos de los eventos M, H, D, E Y S.

Solución:


Tabla de probabilidades

Tabla de probabilidades:


Continuaci n2

P(M) = 0.50

P(H) = 0.50

P(E) = 0.875

P(D) = 0.125

P(M/E) = P(ME)/P(E) = 0.40/0.875 = 0.4571

P(D/H) = P(DH)/P(H) = 0.025/0.5 = 0.05

P(E/M) = P(ME)/P(M) = 0.40/0.5 = 0.8

P(M/D) = P(MD)/P(D) = 0.10/0.125 = 0.8

P(H/D) = P(HD)/P(D) = 0.025/0.125 = 0.2

Continuación:


Continuaci n3

Eventos dependientes e independientes

En el ejemplo anterior se tiene que:

P(M) = 0.50

P(H) = 0.50

P(E) = 0.875

P(D) = 0.125

P(ME) = 0.40P(M) P(E) = 0.4375

P(DH) = 0.025P(D) P(H) = 0.0625

P(MD) = 0.10P(M) P(D) = 0.0625

P(EH) = 0.475P(E) P(H) = 0.4375

Continuación:


Continuaci n4

Por tanto los eventos M y E ,

D y H,

M y D,

E y H

son dependientes.

Continuación:


Ley multiplicativa

Ley multiplicativa:

INDEPENDENCIA DE n EVENTOS


Probabilidad total

A2

A5

A3

A1

A4

A6

An

Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos (mutuamente excluyentes), que forman una partición de S. Esto es Ai Aj =  para toda i y toda j, y además

S = A1  A2 A3An

Probabilidad total:


Leyes de probabilidad

A2

A5

A3

A1

A4

A6

An

Y sea E otro evento tal que E S y E Ai

E

E


Leyes de probabilidad

Entonces:

E = S  E = (A1 A2 A3An)  E

= (A1 E)  (A2 E)  (A3 E)  (AnE)

Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos, se tiene que:

P(E) = P(A1E) + P(A2E) +P(A3E) ++P(AnE)

Ya que (Ai E) es ajeno a (Aj  E) para i ≠ j


Leyes de probabilidad

Como (Ai E) = (E Ai) entonces

P(Ai E) = P(E  Ai) = P(E/Ai) P(Ai)

Entonces la probabilidad completa de E es:

P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) + P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)


Ejemplo6

En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos.

Ejemplo:

Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso?


Soluci n1

Sea

D el evento: “Que sea un artículo defectuoso”.

P(M1) = 0.50 P(D/M1) = 0.03

P(M2) = 0.30 P(D/M2) = 0.04

P(M3) = 0.20 P(D/M3) = 0.05

P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) + P(D/M3) P(M3)

= 0.03(0.50) + 0.04(0.30) + 0.05(0.20) = 0.037

Solución:


Teorema de bayes

Supóngase que A1, A2, A3,...,An esuna partición de un espacio muestral S. En cada caso P(Ai) ≠ 0. La partición es tal que A1, A2, A3,...,An, son eventos mutuamente excluyentes. Sea E cualquier evento, entonces para cualquier Ai,

Teorema de bayes:


Continuaci n5

Continuación:


Ejemplo7

En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos.

Ejemplo:

Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso?


Soluci n2

Sea

D: “Que el artículo sea defectuoso”.

ND: “Que el artículo no sea defectuoso”.

M1: “Que haya sido producido por la máquina 1”.

M2: “Que haya sido producido por la máquina 2”.

M3: “Que haya sido producido por la máquina 3”.

P(M1) = .50 P(D/M1) = .03

P(M2) = .30 P(D/M2) = .04

P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

Solución:


Continuaci n6

Por teorema de Bayes se tiene:

La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya producido en la M1 es del 40.54%

Continuación:


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