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离 散 数 学

离 散 数 学. 第二章 命题逻辑等值演算. 2.1 等值式. 定义 2.1 设 A,B 是两个命题公式，若 A ， B 构成的等价式 A B 为重言式，则称 A 与 B 等值，记为 AB 。. 例 2.1 判断下面两个公式是否等值：  (pq), pq. 例 2.2 判断下面各组公式是否等值： （ 1 ） p (qr) 与 (pq)r （ 2 ） ( pq)r 与 (pq)r.

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  1. 离 散 数 学

  2. 第二章 命题逻辑等值演算 2.1等值式 定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。

  3. 例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r

  4. 置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B）是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式，若BA，则（B）  （A）。 例2.3 用等值演算法验证等值式 (pq)r(pr)(qr) 例2.4证明 (pq)r 与 p(qr)不等值

  5. 例2.5 用等值演算法判断下列公式的类型 (1)(pq)pq (2)(p(pq))r (3)P(((pq)p)q) 例2.6 在一次研讨会的中间休息时间，3名与会者根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行判断： 甲说王教授不是苏州人，是上海人。 乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。

  6. 2.2析取范式与合取范式 定义2.2 命题变项及其否定统称作文字，仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式 定理2.1 （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。 （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。

  7. . 定义2.3（1）由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。 （2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。 （3）析取范式与合取范式统称为范式。

  8. 定理2.2 （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式是矛盾式。 （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式是重言式。

  9. 定理2.3（范式存在定理）任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式定理2.3（范式存在定理）任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式 例2.7求下面公式的析取范式与合取范式 (pq)r

  10. 定义2.3 在含有n个命题变项的简单合取式中，若每个命题变项和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且第i 个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i 位上，称这样的简单合取式为极小项

  11. 定理2.4设mi与Mi是命题变项p1,p2…pn形成的极小和极大项，则定理2.4设mi与Mi是命题变项p1,p2…pn形成的极小和极大项，则 mi Mi ,  Mi  mi 定理2.5任何命题公式都存在与之等值的主析取范式与主合取范式，且是唯一的。

  12. 例2.8求例2.7中公式的主析取范式与主合取范式 例2.9求命题公式pq的主析取范式与主合取范式

  13. 例2.10用公式的主析取范式判断公式的类型 （1）（ pq ） q （2） p（ p q） （3）（ p  q ） r

  14. 例2.11判断下面公式是否等值： （1）p与(pq)(pq) （2） (pq)r与(pq)r

  15. 例2.12 某科研所要从3名科研骨干A，B，C中挑选1-2人出国进修。由于工作需要，选派时要满足以下条件： （1）若A去，则C同去。 （2）若B取，则C不能去。 （3）若C不去，则A或B可以去 问应如何选派？

  16. 例2.13由公式的主析取范式求主合取范式 （1）Am1m2 (A中含命题变项p,q) (2) Bm1m2m 3 (B中含命题变项p,q,r)

  17. 2.3联结词的完备集 定义2.6称F：{ 0，1}n{0，1}为n元真值函数。 定义2.7设S是一个联结词集合，如果任何n元真值函数都可由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集。

  18. 定理2.6 S={，，}是联结词完备集。 推论 以下联结词集都是完备的。 （1）S1={，，，} （2）S2= {，，，，} （3）S3={，} （4）S4={，，} （5）S5={，}

  19. 定义2.8 pq(pq) pq  (pq) 定理2.7{ },{}都是联结词完备集

  20. 第三章命题逻辑的推理理论 • 3.1推理的形式结构

  21. 定义3.1设A1，A2…An,B都是命题公式，若对于A1，A2…An,B中命题变项的任一组赋值，或者A1A2…An为假，或者A1A2…An为真时，B为真，则称由前提A1，A2…An推出B的推理有效或是正确的，并称B是有效的结论。定义3.1设A1，A2…An,B都是命题公式，若对于A1，A2…An,B中命题变项的任一组赋值，或者A1A2…An为假，或者A1A2…An为真时，B为真，则称由前提A1，A2…An推出B的推理有效或是正确的，并称B是有效的结论。

  22. 例3.1判断下列推理是否正确： (1) {p,pq}ᅡq (2) {p,q p} ᅡq 定理3.1 命题公式A1，A2，…An推B的推理正确当且仅当A1A2…AnB 为重言式。

  23. 例3.2判断下列推理是否正确： （1）若a能被4整除，则a能被2整除。a能被4整除，所以a能被2整除。 （2）若a能被4整除，则a能被2整除。a能被2整除，所以a能被4整除。 （3）下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影，所以去游泳了。 （4）若气温超过30。C，则王小燕必去游泳。若她去游泳，她就不去看电影了，所以王小燕没去看电影，下午 气温超过了30。C。

  24. 3.2自然推理系统 定义3.2 一个形式系统I由下面四个部分组成： （1）非空的字母表集，记作A（I）。 （2）A（I）中符号构成的公式集，记作E（I）。 （3） E（I）中一些特殊的公式组成的公理集，记作AX（I）。 （4）推理规则集，记作R（I）。

  25. 定义3.3自然推理系统P定义如下： 1。字母表 （1）命题变项符号：p，q，r，…pi,qi,ri … （2）联结词符号：，，，，。 （3）号与逗号（），。 2。合式公式。

  26. 3。推理规则 （1）前提引入规则 （2）结论引入规则 （3）置换规则 （4）假言推理规则 （5）附加规则

  27. （6）化简规则 （7）拒取式规则 （8）假言三段论规则 （9）析取三段论规则 （10）构造性二难推理规则

  28. （10）破坏性二难 （11）合取引入规则 例3.3 在自然推理系统中构造下面推理的证明 （1）前提：pq,qr,ps,s 结论：r(pq)

  29. 例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明 若数a是实数，则它不是有理数就是无理数，若a不能表成分数，则它不是有理数。a是实数且它不能表成分数，所以a是无理数。

  30. 例3.5 在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影，小赵不去看电影或小张去看电影，小王去看电影，所以当小赵 去看电影时小李也去。

  31. 例3.6 在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张守第一垒且小李向B队投球，则A队将取胜。或者A队未取胜，或者A队成为联赛第一名。 A队没有成为联赛第一名。小张守第一垒，因此小李没向B队投球。

  32. 第四章 一阶逻辑基本概念 4.1一阶逻辑命题符号化 1。个体词 指研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体 2。谓词 用来刻划个体词性质及个体词之间相互关系的词

  33. 例4.1将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论它们的真值：例4.1将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论它们的真值： （1）只有2是素数，4才是素数。 （2）如果5大于4，则4大于6。 例4.2 在个体域分别为(a),(b)条件时，将下列命题符号化 (1) 凡人都呼吸。 (2)有的人用左手写字。

  34. 量词：表示个体常项或变项之间数量关系的词 1。全称量词 2。存在量词 （a）个体域D1为人类集合 （b）个体域D2为全总个体域

  35. 例4.3 在个体域限制为(a),(b)条件时，将下列命题符号化 （1）对于任意的x,均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在x，使得x+5=3 其中:(a)个体域D1=N（N为自然数集合） (b)个体域D2 =R(R为实数集合）

  36. 例4.4将下列命题符号化，并讨论它们的真值. (1)所有的人都长着黑头发。 (2)有的人登上过月球。 (3)没有人登上过木星。 (4)在美国留学的学生未必是亚洲人。 。

  37. 例4.5将下列命题符号化 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。 （4）不存在跑得同样快的二只兔子

  38. 4.2一阶逻辑公式及解释 定义4.1一阶语言的字母表定义如下 （1）个体常项：a,b,c, …,ai,bi,ci…, i1 （2）个体变项：x,y,z, …,xi,yi,zi, …, i1 （3）函数符号：f, g, h, …fi,gi,hi …, i1 （4）谓词符号：F，G，H，…,Fi，Gi，Hi…，i1

  39. （5）量词符号：， （6）联结词符号： ，，，， （7）括号和逗号，（，）， 定义4.2 P的项定义如下 （1）个体常项和个体变项是项。 （2）若（x1,x2,…,xn)是任意n元函数，t1,t2, ,…,tn是任意的n个项，则(t1,t2,…,tn)是项

  40. （3）所有的项都是有限次使用规则（1）、（2）得到。（3）所有的项都是有限次使用规则（1）、（2）得到。 定义4.3 设R（ x1,x2,…,xn)是P的任意n元谓词， t1,t2, ,…,tn是任意的n个项，则称R（ t1 ,t2 ,…,tn）是P的原子公式。

  41. 定义4.4 P的合式公式定义如下 （1）原子公式是合式公式。 （2）若A是合式公式，则A是合式公式。 （3）若A、B是合式公式AB、AB、AB、AB是合式公式。 （4）若A是合式公式，则xA、xA也是合式公式。 （5）只有有限次使用（1）~（4）构成的符号串才是合式公式。 的。

  42. 定义4.5在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词辖域。在xA和xA的辖域中， x的所有出现都称为約束出现，A中不是約束出现的其它变项均称为自由出现

  43. 例4.6指出下列公式中的指导变元，各量词的辖域，自由出现和約束出现的个体变项：例4.6指出下列公式中的指导变元，各量词的辖域，自由出现和約束出现的个体变项： （1）x(F(x,y) G(x,z)) （2）  x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z))

  44. 定义4.6 设A是任意的公式，若A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式简称闭式。 例4.7 将下列两个公式中的变项指定为常项使其成为命题 （1）x(F(x)  G(x)) （2）xy(F(x)F(y)G(x,y)H(f(x,y),g(x,y))

  45. 定义4.7P的解释I由下面4部分组成： (a)非空个体域DI (b)DI中一些特定元素的集合 (c ) DI中一些特定函数的集合 (d ) DI中特定谓词的集合

  46. 例4.8给定解释I如下 • 个体域D=N • a=0 • f(x,y)=x+y,g(x,y)=x•y • F(x,y)为x=y • 在I下，下列哪些公式为真？哪些公式为假？哪些公式真值不能确定？

  47. （1）F(f(x,y),g(x,y)) （2）F(f(x,a),y)F(g(x,y),z) （3）F(g(x,y),g(y,z)) （4） xF(g(x,y),z) （5） xF(g(x,a),x)F(x,y) （6）  xF(g(x,a),x)

  48. （7） xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)) （8） xyzF(f(x,y),z) （9） xF(f(x,x),g(x,x))

  49. 定理4.1 封闭的公式在任何解释下都变成命题。 定义4.8 设A为一公式，若A在任何解释下均为真，则称A为永真式。若A在任何解释下均为假则称A为矛盾式。若至少存在一个解释使A为真则称A是可满足式。

  50. 定义4.9 设A。是含命题变项p1、p2、 …、pn的命题公式，A1、A2、…An是n个谓词公式,用Ai (1in)处处代替A。中的Pi，所得公式A称为A。的代换实例。

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