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第二章 自动控制系统的数学模型 PowerPoint PPT Presentation


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教师: 王晓甜 [email protected] 第二章 自动控制系统的数学模型. 系统的 数学 模型. 什么是数学模型? 数学模型 :描述系统内部各 物理量 之间因果关系 的 数学表达式 。 物理量 : 高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流 。 数学表达式 : 代数方程、 微分方程 数学模型的特点 1) 相似性:不同性质的系统,具有相同的数学模型。抽象的变量和系统 2) 简化性和准确性:忽略次要因素,简化之,但不能太简单,结果合理 3) 动态模型:变量各阶导数之间关系的微分方程。 性能分析

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第二章 自动控制系统的数学模型

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教师:王晓甜

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第二章 自动控制系统的数学模型


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系统的数学模型

  • 什么是数学模型?

    • 数学模型:描述系统内部各物理量之间因果关系的数学表达式。

    • 物理量:高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流 。

    • 数学表达式:代数方程、微分方程

  • 数学模型的特点

    1) 相似性:不同性质的系统,具有相同的数学模型。抽象的变量和系统

    2) 简化性和准确性:忽略次要因素,简化之,但不能太简单,结果合理

    3) 动态模型:变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析

    4) 静态模型:静态条件下,各变量之间的代数方程。放大倍数

  • 数学模型的类型

    1)微分方程:时域 其它模型的基础 直观 求解繁琐

  • 2)传递函数:复频域 微分方程拉氏变换后的结果

  • 3)频率特性:频域 分析方法不同,各有所长

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控制系统数学模型的类型

时域模型

微分方程

频域模型

频率特性

复(S)域模型

传递函数

方框图=原理图

+数学模型

系统的数学模型

  • 为什么要建立数学模型?

  • 要对自动控制系统进行定量(精确)地分析和设计,首先要建立系统的数学模型。

  • 马克思说:定性到定量的飞跃,才能变成一门科学。

  • 静态数学模型:系统变量之间与时间无关的静态关系

  • 动态数学模型:系统变量对时间的变化率,反映系统的动态特性

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Contents

Contents

1

线性系统的时域数学模型

2

系统传递函数

3

系统物理结构图

4

信号流图

5

线性定常系统数学模型的MATLAB实现

Logo


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2.1 线性系统的时域模型

对于单输入、单输出(SISO)线性定常系数的时域模型

是一组输入和输出对时间函数:

r(t): 系统的输入信号

c(t): 系统的输出信号

微分方程

动态方程

运动方程

对时间的n,m阶导数

由系统的结构参数决定的系数

微分方程用于确定被控量与输出量或扰动量之间的数学关系

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2.1 线性系统的时域模型

2.1.4 数学模型的建立方法

1) 分析法:根据系统各部分的运动机理,按有关定理列方程,合在一起。

频率特性法,最小二乘法 (曲线拟合),神经元网络法,模糊模型法

2) 实验法:黑箱问题。施加某种测试信号,记录输出,用系统辨识的方法,得到数学模型。

黑箱法、辨识法、灰箱法

建模原则:选择合适的分析方法-确定相应的数学模型-简化

输入(充分激励)

输出(测量结果)

黑匣子

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2.1 线性系统的时域模型

◆分析法-根据系统运动规律(定律、经验公式)和结构参数,推导系统输入输出之间数学关系。

列写微分方程式的一般步骤

1) 分析系统运动的因果关系,确定系统的输入量、输出量及内部中间变量,搞清各变量之间的关系。

2) 忽略一些次要因素,合理简化。

  • 3) 根据相关基本定律,列出各部分的原始方程式。

  • 4) 联立上述方程,消去中间变量,得到只包含输入输出的方程式。

    5) 将方程式化成标准形。

    与输出有关的放在左边,与输入有关的放在右边,导数项按降阶排列,系数化为有物理意义的形式。

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2.1 线性系统的时域模型

对于单输入、单输出(SISO)线性定常系统,

采用下列微分方程来描述:

式中,r(t)和c(t)分别是系统的输入信号和输出信号;c(n)(t)为c(t)对时间t的n阶导数;ai(i=1,2,…,n)和bj(j=0,1, …,m)是由系统的结构参数决定的系数。

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2.1 线性系统的时域模型

  • EG1. RL电路和RC电路的时域模型

输入变量:电压

输出输出:电流

输入变量:电压

输出输出:电压

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2.1 线性系统的时域模型

  • EG1.电阻-电感-电容串联系统。R-L-C串联电路,试列出以ur(t)为输入量,uc(t)为输出量的网络微分方程式。

解:(1)确定输入量为ur(t),输出量为uc(t),中间变量为i(t)。

(2)网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。

(3)由KVL写原始方程:

(4)列写中间变量i与输出变量uc的关系式:

(5)将上式代入原始方程,消去中间变量得

二阶线性常系数微分方程

二阶线性定常系统

(6)整理成标准形,则方程化为

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2.1 线性系统的时域模型

  • EG2.图2表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。其中k是弹簧系数, m是运动部件质量,μ是阻尼器的阻尼系数;外力f(t)是系统的输入量,位移y(t)是系统的输出量。试确定系统的微分方程。

解根据牛顿运动定律, 运动部件在外力作用下克服弹簧拉力

ky(t)、阻尼器的阻力 , 将产生加速度力

所以系统的运动方程为

图2 机械阻尼器

比较表达式EG1和EG2可以发现, 两个不同的物理系统具有相同形式的运动方程, 即具有相同的数学模型。

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2.1 线性系统的时域模型

  • EG3 电气系统:图3是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电路,电压ui(t)和uo(t)分别表示输入量和输出量, 试确定这个电路的微分方程式。

理想运算放大器

  • 正反相输入端电位相同

  • 输入端电流为零

图 2-4 电容负反馈电路

根据基尔霍夫电流定律有

一阶系统

整理后得

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2.1 线性系统的时域模型

  • 在工程实际中,大多数系统是非线性的。

  • 比如, 弹簧的刚度与其形变有关系, 因此弹簧系数k实际上是其位移的函数, 而并非常数; 电阻、电容和电感等参数值与周围的环境(温度、 湿度、压力等)及流经它们的电流有关, 也并非常值;电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程。

  • 非线性系统的分析一般比线性系统复杂。

  • 但是当控制系统在围绕平衡点附近的小范围内动作时,通常采用泰勒级数展开的方法,可将非线性系统线性化为平衡点附近的线性系统, 从而使问题简化。

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2.2 线性系统的传递函数

  • 2.2.1 拉普拉斯变换

1. 拉氏变换的定义

若将实变量t的函数f(t)乘上指数函数e-st(其中s=σ+jω是一个复数), 并且在[0,+∞]上对t积分, 就可以得到一个新的函数F(s),称F(s)为f(t)的拉氏变换,并用符号L[f(t)]表示。

拉氏变换将原来的实变量函数f(t)转化为复变量函数F(s)。

将F(s)称作f(t)的象函数, 将f(t)称作F(s)的原函数。

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2.2 线性系统的传递函数

L变换重要定理

(1)线性性质

(2)微分定理

(3)积分定理

(4)实位移定理

(5)复位移定理

(6)初值定理

(7)终值定理

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2.2 传递函数

1 拉氏变换的定义

2 常见函数L变换

(1)单位脉冲

(2)单位阶跃

(3)单位斜坡

(4)单位加速度

(5)指数函数

(6)正弦函数

(7)余弦函数

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r(t)

c(t)

微分方程式

求解微分方程式

求解代数方程

时域解c(t)

R(s)

C(s)

L-1

L

s的代数方程

s域解C(s)

2.2 传递函数

  • 线性常系数微分方程的求解

用微分方程求解,需确定积分常数,阶次高时麻烦;当参数或结构变化时,需重新列方程求解,不利于分析系统参数变化对性能的影响。

  • 用拉氏变换求解微分方程的一般步骤:

    • 1)对微分方程两边进行拉氏变换。

    • 2)求解代数方程,得到微分方程在s 域的解。

    • 3)求s 域解的拉氏反变换,即得微分方程的解。

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2.2 传递函数

用拉氏变换方法解微分方程

系统微分方程

L变换

L-1变换

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2.2 传递函数

  • 3) 积分定理

  • 4) 初值定理

  • 5) 终值定理

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2.2 传递函数

  • 2.2.2传递函数的定义

线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

拉氏变换

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2.2 传递函数

(1)特征方程: G(s) 的分母多项式

(2)阶数: 特征方程中,s的最高阶次为传递函数的阶数

(3)极点: 使特征方程(分母多项式)为零的根

(4)零点: 分子多项式的根

  • 传递函数体现了系统如何把输入量转化为输出量,它只和系统本身的结构与参数特性有关,与输入量的变化无关

  • 传递函数与微分方程一一对应,两者可以互相推导

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2.2 传递函数

  • EG4.试确定EG1中的RLC无源网络系统的传递函数

解由EG1可知, RLC无源网络系统的微分方程为

在零初始条件下,对上述方程中各项求拉氏变换,

并令Uo(s)=L[uo(t)],Ui(s)=L[ui(t)],可得复频域的代数方程

(LCs2+RCs+1)Uc(s)=Ur(s)

二阶系统

所以系统的传递函数为

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2.2 传递函数

  • EG5.试确定EG3中的RLC无源网络系统的传递函数

解:由例2-4可知, 运算放大器电路系统的微分方程为

在零初始条件下, 对上述方程中各项求拉氏变换, 得

一阶系统

所以, 系统的传递函数为

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2.2 传递函数

传递函数的性质

(a)传递函数是一种数学模型,与系统的微分方程相对应。

(b)传递函数是系统本身的一种属性,与输入量的大小和性质无关。

(c)传递函数只适用于线性定常系统,因为拉氏变换是一种线性变换。

(d)传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系,对中间变量不反应。

(e)传递函数是在零初始条件下定义的,因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。(零状态解)

(f)传递函数一般为复变量s 的有理分式,它的分母多项式是系统的特征多项式,且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次,即n  m。并且所有的系数均为实数。

(g)传递函数与脉冲响应一一对应,是拉氏变换与反变换的关系。

(h)传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。 物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。研究某一种传递函数所得到的结论, 可以适用于具有这种传递函数的各种系统

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2.2 传递函数

常见传递函数的形式:

(1) 多项式形式

(2) 零极点形式

(3)时间常数形式

式(2)的特点是每个一次因子项中s的系数为1。

M(s)=0和N(s)=0的根zi(i=1,2,…,m)和pj(j=1,2,…,n)分别称为传递函数的零点和极点,k称为传递函数的增益或根轨迹增益。

式(2.24)的特点是各个因式的常数项均为1,τi(i=1,2,…,m)和Tj(j=1,2,…,n)为系统中各环节的时间常数, K为系统的放大倍数。

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j

j1

p1

p3

z1

3

2

1

0

p2

2.2 传递函数

(2) 零极点形式

对任意系统,传递函数一旦确定,零、极点和也就唯一确定,反之亦然

因此传递函数可用零极点和传递系数等价表示。

零极点既可以是实数,也可以是复数,表示在复平面上,形成的图称传递函数的零、极点分布图。反映系统的动态性能。因此对系统的研究,可变成对系统传函的零、极点的研究了,这就是根轨迹法(chaper4)。

EG,试画出下面传递函数的零极点图。

零点: s=2

极点: s=-3, s=-1+j, s = -1-j

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2.2 传递函数

  • 2.2.3 典型环节的传递函数

自动控制系统可以用传递函数来描述,任一复杂的传递函数G(s),都可表示为:

任何复杂的系统均可看成是若干称为典型环节的基本因子的乘积,一般认为典型环节有6种,这些典型环节,对应典型电路。这样划分对系统分析和研究带来很大的方便。

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t

0

2.2 传递函数

  • 2.2.3 典型环节的传递函数

1.比例环节(放大器,齿轮,电阻)

(杠杆,齿轮系,电位器,变压器等)

运动方程式 c(t) = Kr(t)

传递函数 G(s) = K

单位阶跃响应 C(s) = G(s) R(s) = K/s

c(t) = K1(t)

可见,当输入量r(t)=1(t)时,

输出量c(t)成比例变化。

K

c(t)

r(t)

1

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j

0

2.2 传递函数

2.惯性环节(低通滤波器)

系统有储能元件,对于突变形式的输入不能立即复现,输出总落后于输入

运动方程

传递函数

1/T

特点: 含一个储能元件, 对突变的输入, 其输出不能立即复现, 输出无振荡。

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c(t)

0

t

2.2 传递函数

2.惯性环节(低通滤波器)

单位阶跃响应:

1.0

0.982

0.95

0.865

0.632

输入为单位阶跃函数

4T

2T

3T

T

阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。

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r(t)

t

0

c(t)

t

0

2.2 传递函数

  • 3.积分环节(蓄水池,积分器)

  • 输出量与输入量的积分成正比例, 当输入消失, 输出具有记忆功能。

1

运动方程

传递函数

单位阶跃响应:

当输入阶跃函数时,该环节的输出随时间直线增长,增长速度由1/T决定。当输入突然除去,积分停止,输出维持不变,故有

记忆功能。

1

T

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c(t)

t

0

r(t)

t

0

2.2 传递函数

  • 4.微分环节(RC电路)

运动方程

1

G(s)=Ts

传递函数

c(t) = T(t)

单位阶跃响应:

由于阶跃信号在时刻t =0有一跃变,其他时刻均不变化,所以微分环节对阶跃输入的响应只在t =0时刻产生一个响应脉冲。

T

实际中没有纯粹的微分环节,

它总是与其他环节并存的。

实际中可实现的微分环节都具有一定的惯性

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2.2 传递函数

5.二阶振荡环节(RLC,机械阻尼)

系统中含有两种储能元件,

因能量相互转换而使输出带有振荡性质

式中ζ为振荡环节的阻尼比,T为时间常数,ωn为系统的自然振荡角频率(无阻尼自振角频率), 并且有

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c(t)

j

t

0

jd

p1

n

0

ξn

p2

2.2 传递函数

5.二阶振荡环节(RLC,机械阻尼)

振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点:

单位阶跃响应:

1

式中,β=cos-1ξ。响应曲线

是按指数衰减振荡的,故称振

荡环节。


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c(t)

r(t)

t

0

t

0

2.2 传递函数

1

6.时间延迟环节(管道流水,商业运输)

1

式中τ为该环节的延迟时间。 

特点: 输出量能准确复现输入量,

但要延迟一固定的时间间隔τ。 

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2.3 系统的动态结构图

  • 下图为讨论过的直流电动机转速控制系统,用方框图可描述其结构和作用原理,但却不能定量分析,有了传递函数的概念后,就可迎刃而解。

转速控制系统由三个环节(元件)构成,把各元件的传递函数代入相应的方框中,并标明两端对应的变量,就得到了系统的动态结构图。

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2.3 系统的动态结构图

2.3.1 结构图的定义及基本组成

定义: 由具有一定函数关系的环节组成的,并标明信号流向的系统的方框图,称为系统的结构图。

结构图的组成

(1)结构图的每一元件用标有传递函数的方框表示, 方框外面带箭头的线段表示信号传递方向。箭头处标有代表信号物理量的符号字母

(2) 把系统中所有元件依次连接线连接起来就构成系统动态结构框图 

相加点

分支点

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2.3 系统的动态结构图

三种常见的局部结构

1.串联环节

2.并联环节

3.反馈环节

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2.3 系统的动态结构图

反馈环节的闭环传递函数

输入:R(s)

输出:C(s)

中间变量:

E(s), B(s)

C(s)= G(s)*E(s)

E(s)= R(s)-B(s)

B(s)= H(s)*C(s)

消除中间变量B(s)和E(s)

C(s)= G(s)*E(s)

C(s)= G(s)*(R(s)-B(s))

闭环

传递函数

C(s)= G(s)*[R(s)-H(s)*C(s)]

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2.3 系统的动态结构图

反馈环节的一些传递函数概念

输入:R(s)

输出:C(s)

中间变量:

E(s), B(s)

C(s)= G(s)*E(s)

E(s)= R(s)-B(s)

B(s)= H(s)*C(s)

A

定义1:

开环传递函数:反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比

也就是系统从A点断开,以E(s)为输入,以B(s)为输出的传递函数

前向传递函数:输出量C(s)和偏差信号E(s)之比

定义2:

也就是前向通路的传递函数

定义3:

单位反馈系统:反馈传递函数为1

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2.3 系统的动态结构图

实际的系统经常会受到外界扰动的干扰, 通常扰动作用下的闭环系统的结构图可由下图表示。这个系统存在两个输入量, 即参考输入量R(s)和扰动量N(s)。

根据线性系统满足叠加性原理的性质,可以先对每一个输入量单独地进行处理, 然后将每个输入量单独作用时相应的输出量进行叠加,就可得到系统的总输出量。

研究输入量R(s)对系统的影响时,可以假设参考输入信号N(s)=0, 将系统简化为如下:

研究扰动量N(s)对系统的影响时,可以假设参考输入信号R(s)=0, 将系统简化为如下:

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2.3 系统的动态结构图

讨论R(s)时

讨论N(s)时

根据线性系统的叠加原理可知, 参考输入量R(s)和扰动量N(s)同时作用于系统时,系统的响应(总输出)C(s)为:

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2.3 系统的动态结构图

2.7.2 结构图的绘制步骤

  • (1) 列写每个元件的原始方程(保留所有变量,便于分析),要考虑相互间负载效应。

  • (2) 设初始条件为零,对这些方程进行拉氏变换,得到传递函数,然后分别以一个方框的形式将因果关系表示出来,而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。

  • (3) 将这些方框单元按信号流向连接起来,就组成完整的结构图。

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R

u1

u2

C

1

Cs

U2(s)

I(s)

1

R

U1(s)

I(s)

UR(s)

UR(s)

U2(s)

+

2.3 系统的动态结构图

EG6. 画出下图所示RC网络的结构图。

解:

(1) 列写

各元件

的原始

方程式

(2)

拉式

变换

i

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2.3 系统的动态结构图

EG7. 在图2-8(a)中,电压Ur(t)、Uc(t)分别为输入量和输出量, 绘制系统的结构图。

将电路分解为回路I和回路II。回路I的变量为i1和u1;回路II的变量为i2和uc。按照下述步骤一步一步的写方程。

列写系统的微分方程组, 并求出其对应的拉氏变换方程组。

(1) 从输出量开始写, 以系统输出量作为第一个方程左边的量。

(2) 每个方程左边只有一个量。从第二个方程开始, 每个方程左边的量是前面方程右边的中间变量。列写方程时尽量用已出现过的量。

(3) 输入量至少要在一个方程的右边出现; 除输入量外, 在方程右边出现过的中间变量一定要在某个方程的左边出现。

(4) 按照上述整理后拉氏变换方程组的顺序, 从输出端开始绘制系统的结构图。

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2.3 系统的动态结构图

(1)从微分方程推导各变量的传递函数,

从输出量开始写, 以系统输出量作为

第一个方程左边的量

(2) 每个方程左边只有一个量。从第二个方程开始, 每个方程左边的量是前面方程右边的中间变量。列写方程时尽量用已出现过的量。

(3) 输入量至少要在一个方程的右边出现; 除输入量外, 在方程右边出现过的中间变量一定要在某个方程的左边出现。

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2.3 系统的动态结构图

[email protected]


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2.3 系统的动态结构图

2.3.4 结构图的简化和变换规则

利用结构图分析和设计系统时,常常要对结构图进行简化和变换。对结构图进行简化和变换的基本原则是等效原则, 即对结构图任何部分进行变换时, 变换前后该部分的输入量、 输出量及其相互之间的数学关系应保持不变。 变换规则

1. 串联环节的简化

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2.3 系统的动态结构图

2. 并联环节的简化

3. 反馈回路的简化

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2.3 系统的动态结构图

4. 相加点和分支点的移动

1) 相加点前移

2) 相加点后移

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2.3 系统的动态结构图

3) 分支点前移

4) 分支点后移

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2.3 系统的动态结构图

5) 相邻相加点之间的移动

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2.3 系统的动态结构图

6) 相邻分支点之间的移动

从一个信号流线上无论分出多少条信号线, 它们都代表同一个信号。所以在一条信号流线上的各分支点之间可以随意改变位置, 不必作任何其他改动

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2.3 系统的动态结构图

例 2-8试简上一例题中的系统的结构图,并求系统的传递函数C(s)/R(s)。

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2.3 系统的动态结构图

例 2-9试简化下图系统的结构图,并求系统的传递函数C(s)/R(s)。

解 在上图中, 如果不移动相加点或分支点的位置就无法进行结构图的等效运算。采用以下步骤简化原图:

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2.3 系统的动态结构图

① 利用分支点后移规则,将G3(s)和G4(s)之间的分支点移到G4(s)方框的输出端(注意不宜前移); 


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2.3 系统的动态结构图

将G3(s)、G4(s)和H3(s)组成的内反馈回路简化(如图2-21(b)所示), 其等效传递函数为

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2.3 系统的动态结构图

③ 再将G2(s)、G34(s)、H2(s)和1/G4(s)组成的内反馈回路简化。

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2.4 信号流图

信号流图是除了信号结构图之外的另一种表达形式

信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法

变量在两段,系数在线上

扫描 P63

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2.4 信号流图

(4)通路:任一点到另一点的路径

(5)开通路:与任意节点相交不多于一次的通路

(7)闭通路:起点即是终点的回路(回环)

(8)前向通路:从源点到汇点的通路

(9)不接触回环:无任何交点的两个回环

信号流图中的术语

(1)源点:只有输出的支路节点

(2)汇点:只有输入支路的节点

(3)混合节点:既有输入,又有输出

增益:通路上各个支路增益之积

前向通道 12345, 1245, 125

回环: 232,2432,343,2532,24532,44,3453

不接触回环:232,44

2532,44


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2.4 信号流图

2. 信号流图的性质

(1) 信号流图适用于线性系统。 

(2) 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系,信号只能沿支路上的箭头指向传递。

(3) 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加, 并把相加后的信号送到所有的输出支路。

(4) 具有输入和输出支路的混合节点,通过增加一个具有单位增益的支路可以把它作为输出节点来处理。 

(5) 对于一个给定的系统, 信号流图不是唯一的。由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式, 因此可以画出不同的信号流程图。

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2.4 信号流图

1.方程组与流程图之间的转换

2.结构框图与流程图之间的转换

(1)已知流程图,画方程组

对于每个节点,流入其的箭头指向和变量

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2.4 信号流图

(2)已知方程组,画流程图

-e

a

b

c

d

-f

-g

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2.4 信号流图

(2)已知流程图,画结构框图

-e

a

b

c

d

-f

-g

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2.5 梅森公式

通过信号流图求系统传递函数的高效方法

用梅逊公式可以直接求信号流图从输入节点到输出节点的增益, 其表达式为

P ——系统总增益

(对于控制系统的结构图而言, 就是输入到输出的传递函数); k ——前向通道数目; 

Pk——第k条前向通道的增益;

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2.5 梅森公式

Δ——信号流图的特征式,它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益, 其分母总是Δ, 变化的只是其分子。它可以通过下面的表达式计算:

其中,∑L(1)——所有不同回路增益乘积之和; 

∑L(2)——所有任意两个互不接触回路增益乘积之和

∑L(3)——所有任意三个互不接触回路增益乘积之和;

∑L(m)——所有任意m个不接触回路增益乘积之和;

Δk——信号流图中除去与第k条前向通道Pk相接触的支路和节点后余下的信号流图的特征式, 称为Pk的余因式。

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2.5 梅森公式

  • 梅森(Mason)公式

系统总增益(总传递函数)

式中

前向通路数

第k条前向通路总增益

信号流图特征式,它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益,其分母总是 ,变化的只是其分子。

―所有不同回路增益乘积之和;

―所有任意两个互不接触回路增益乘积之和;

―所有任意m个不接触回路增益乘积之和。

为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值,称为第k条前向通路特征式的余因子。

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2.5 梅森公式

求如图所示信号流图的总增益

例2-10

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=

L

a

a

x

x

1

23

32

3

2

=

L

a

a

a

12

23

32

44

=

L

a

a

a

2

23

34

42

x

x

4

2

x

4

=

L

a

3

44

x

x

=

5

L

a

a

a

a

2

25

23

35

52

44

=

L

a

a

a

a

4

23

34

45

52

x

x

5

x

3

2

=

L

a

a

a

5

23

35

52

2.5 梅森公式

(

d

)

(

e

)

(

f

)

(

g

)

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2.5 梅森公式

利用Mason’s gain formula 求如图所示系统的闭环传递函数。

例2-11

解:前向通路有3个

图2-24 某系统的信号流图

=

1

6

4

5

P

G

G

G

G

2

1

6

4

5

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2.5 梅森公式

4个单独回路

互不接触

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2.5 梅森公式

总结

  • 从原理图画系统方块图的方法

  • 方块图的简化

    基本连接方式串联、并联和反馈的简化

    比较点、分支点的移动

  • 信号流图及Mason’s Gain Formula

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2 6 matlab

2.6 线性定常系统数学模型的MATLAB实现

例2-17若给定系统的传递函数为

试用MATLAB语句表示该传递函数。 

解 输入上述传递函数的MATLAB程序如下:

num=[12 24 12 20]; 

den=[2 4 6 2 2]; 

G=tf(num, den)

注意,如果给定的分子或分母多项式缺项, 则所缺项的系数用0补充,例如一个分子多项式为3s2+1,则相应的MATLAB输入为

 num=[3 0 1]; 

如果分子或分母多项式是多个因子的乘积,则可以调用MATLAB提供的多项式乘法处理函数conv( )。

运行结果显示

Transfer function: 

12 s^3 + 24 s^2 + 12 s + 20

2 s^4 + 4 s^3 + 6 s^2 + 2 s + 2

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2 6 matlab1

2.6 线性定常系统数学模型的MATLAB实现

例2-18已知系统的传递函数为

试用MATLAB实现此传递函数。

解 输入上述传递函数的MATLAB程序如下:

num = 4*conv([1 2], conv([1 6 6], [1 6 6])); 

den = conv([1 0], conv([1 1], conv([1 1], conv([1, 1], [1 3 2 5])))); 

G = tf(num, den)

程序中的conv( )表示两个多项式的乘法, 并且可以嵌套。 运行结果为:

Transfer function: 

4 s^5 + 56 s^4 + 288 s^3 + 672 s^2 + 720 s + 288



s^7 + 6 s^6 + 14 s^5 + 21 s^4 + 24 s^3 +17 s^2 + 5 s

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2 6 matlab2

2.6 线性定常系统数学模型的MATLAB实现

传递函数的特征根

例2-20 已知根求多项式

例2-19 求多项式的根

代码如下

P = poly(R)

结果为:

P =1.000 3.000 0.000 4.000

代码如下

P = [1, 3, 0, 4];

R = roots(P);

结果为:

R= -3.3553

0.1777 + 1.0773i

0.1777 - 1.0773i

例2-21 求多项式在s=-5时的值

代码如下

N = conv([3, 2, 1],[1, 4])

Value = polyval(n, -5)

结果为:

Value = -66

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小结

本章重点讨论了线性控制系统的四种数学模型, 即运动方程(时域模型)、传递函数(复域模型)、 结构图、 信号流图。主要研究内容包括: 

动态系统微分方程的建立; 

传递函数的定义和性质; 

系统结构图的绘制方法和简化, 以及如何从结构图求取系统的传递函数;

信号流图的概念和性质, 以及如何运用梅逊公式获取系统的传递函数;

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X twang@mail xidian edu cn

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王晓甜

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