الفصل الدراسي الثاني 2012 – 2011 نسخة تجريبية

1. هيئة التعليم EDUCATION INSTITUTE الرياضيات الصف الحادي عشر التأسيسي الفصل الدراسي الثاني 2012 – 2011 نسخة تجريبية

3. هيئة التعليم EDUCATION INSTITUTE الرياضيات الصف الحادي عشر التأسيسي الفصل الدراسي الثاني 2012 – 2011 نسخة تجريبية

5. INDEX الفهرست

7. الوحدة السادسة : الهندسة و القياسات 2 تطبيقات على نظرية فيثاغورس

8. الفهرس

9. معادلة الدائرة 6.1 الوحدة السادسة Equation of the Circle • الأهداف: • Objectives: • أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: • يكون معادلة الدائرة بمعلومية احداثيات مركزها وطول نصف قطرها. • يستخدم نظرية فيثاغورث في حساب المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي • المعايير: • Standards: • 6.6 • المصطلحات: • Vocabulary : • Equation معادلة • Circle دائرة • Origin نقطة الأصل أولاً: معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل: معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( 0 , 0 ) ونصف قطرها r هي: The equation of the circle with center at (0,0) and radius r is x2 + y2 = r2 r o أوجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( 0 , 0 ) ونصف قطرها 4 سم. الحل :Solution : Find the equation of a circle with center (0,0) radius r = 4 cm x 2+ y 2 = r 2 x 2+ y 2 = 16 مثال 1: ثانياً: معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( ,  ) : معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( , )ونصف قطرها r هي: The equation of the circle with center at ( ,  ) and radius r is ( x - ) 2+ ( y - ) 2= r 2 ( ,  ) o

10. Unit 6 الوحدة السادسة أوجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة Mونصف قطرها r في كل مما يلي: Find the equation of a circle with center Mand radius r: Find the equation of a circle with center (3 , -2) and radius 7 cm ( x -  )2 + ( y -  )2 = r2 ( x - 3)2 + ( y + 2)2 = 72 أوجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( 3 , -2) ونصف قطرها 7 سم. الحل :Solution : ( x - 3 )2 + ( y + 2 )2 = 49 1) M ( 0 , 0 ) and r = 10 cm 2) M ( 2 , 3 ) and r = 8cm مثال 2: 3) M ( -5 , -1 ) and r = 6cm 4) M ( -4 , 7 ) and r = cm تدريب 1: 5) M ( 0 , -3 ) and r = 2.3 cm 6) M ( 1 , 0 ) and r = 9cm

11. Unit 6 الوحدة السادسة المسافة بين نقطتين The distance between two points تعلمت من خلال دراستك السابقة كيفية إيجاد طول المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي باستخدام القانون التالي: The distances between two points A(x1 , y1) and B( x2 , y2) denote by the rule AB = أوجد المسافة بين النقطتين التاليتين: Find the distance between the two points: الحل::Solution AB = = = = 10 units A = ( -4 , 3 ) , B = (2 , -5 ) مثال 1: تدريب 1: أوجد المسافة بين كل نقطتين مما يلي: Find the distance between each two points: 1) 2) A = ( 6 , -1 ) , B = ( 8 , 9 ) A = ( 4 , 3) , B = (7 , -2 )

12. Unit 6 الوحدة السادسة الآن سنتعلم طريقة أخرى لكيفية إيجاد طول المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي وذلك باستخدام نظرية فيثاغورس Pythagoras’ Theorem)) وهذه الطريقة يتم استخدامها كما هو مبين في المثال التالي: باستخدام نظرية فيثاغورس أوجد المسافة بين النقطتين المبينتين في الشكل التالي: Using Pythagoras’ Theorem find the distance between the showing two points: الحل::Solution بإكمال المثلث القائم الزاوية والذي وتره هو المسافة بين النقطتين كما هو بالشكل التالي: ومن خلال مقارنة الإحداثيات الأفقية والرأسية للنقطتين نجد أن البعد الأفقي (x) هو 15 وحدة ، والبعد الرأسي (y) هو 10 وحدات. ثم باستخدام نظرية فيثاغورث نحسب المسافة كما يلي: D = = 18 units مثال 2:

13. Unit 6 الوحدة السادسة بطريقتين مختلفتين أوجد المسافة بين النقطتين التاليتين: By two different methods find the distance between the following two points: A = ( 5, -4 ) , B = ( -1 , -10 ) A = ( -3 , 6 ) , B = ( 2 , 7) A = ( 5 , 2 ) , B = (-1 , -6 ) 1) أوجد معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل ( 0 , 0 ) وتمر بالنقطة ( -3 , 4 ). Find the equation of the circle with center ( 0 , 0 ) and passes through ( -3 , 4 ) 2) أوجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( 3 , -5 ) وتمر بالنقطة ( -2 , 7). Find the equation of the circle with center ( 3 , -5 ) and passes through ( -2 , 7 ) (3أوجد مركز ونصف قطر كل دائرة مما يلي: التمارين الداعمة تدريب 2: أوجد المسافة بين كل نقطتين مما يليباستخدام نظرية فيثاغورس: Using Pythagoras’ Theorem find the distance between each two points: 1) 2) Find the center and radius of the circle in each of the following a) X 2+ Y 2 = 4 b) ( X - 5 ) 2+ ( Y + 2 ) 2 = 36 c) (X – 4 ) 2+ Y 2 = 9 التمارين الإضافية

14. 6.2. الوحدة السادسة تقاطع مستقيم مع دائرة Intersection of Line and Circle • الأهداف: • Objectives: • أن يكون الطالب قادرا̋ علىأن: • يعين جبرياً نقاط تقاطع مستقيم مع دائرة باستخدام طريقة التعويض. • المعايير: • Standards: • 6.7 • المصطلحات: • Vocabulary : • Intersection • تقاطع • Substitution • تعويض • Algebraically • جبرياً في هذا الدرس سنتعلم كيفية إيجاد نقاط تقاطع خط مستقيم مع دائرة إذا علم معادلة كل منهما ، وذلك جبرياً عن طريق التعويض بمعادلة المستقيم في معادلة الدائرة وحل المعادلة الناتجة من هذا التعويض وتجري خطوات هذه الطريقة كما يتبين من الأمثلة التالية: حل المعادلتين الآتيتين جبرياً: الحل:Solution: نقوم بالتعويض بمعادلة المستقيم في معادلة الدائرة ثم نحل المعادلة الناتجة كما يلي: وبالتعويض في معادلة المستقيم بقيمتي x كل على حدة نجد أن: ; وبذلك تكون نقطتا تقاطع المستقيم و الدائرة هما: ( (4 , 3),(-4 , -3 Solve this system of equations algebraically:x2+ y2 = 25 (Equation of a circle center (0,0), radius 5)4y= 3x(linear equation) Substitute from the linear equation into the quadratic equation and solve. =25 = 25 16 + 9 = 400 25 = 400 = 16 Then مثال 1:

15. Unit 6 الوحدة السادسة Find the intersection points of the following Line and Circle algebraically:x2+ y2 = 49 2y= 5x x2 + y2 = 26 (Equation of a circle)x - y = 6 (linear equation) أوجد جبرياً نقاط تقاطع المستقيم والدائرة التاليين (إن وجدت): مثال 2: أوجد (إن وجدت) نقاط تقاطع المستقيم والدائرة جبرياً: Find the intersection points of the following Line and Circle algebraically: الحل:Solution: أيضاً نقوم بالتعويض بمعادلة المستقيم في معادلة الدائرة ثم نحل المعادلة الناتجة كما يلي: ثم بالتعويض في معادلة المستقيم بقيمتي x كل على حدة نجد أن: ; وبذلك تكون نقطتا تقاطع المستقيم و الدائرة هما: ((5 , -1),(1 , -5 تدريب 1:

16. Unit 6 الوحدة السادسة (x - 9)2 + (y - 6)2 = 25 y = -2 x + 14 (x - 9)2 + ( - 2 x + 14 - 6)2 = 25 x 2 – 18x + 81 + ( - 2 x + 8 )2 = 25 x 2 – 18x + 81 + 4 x 2 – 32x + 64 – 25 = 0 5 x2 - 50 x + 120 = 0 x2 - 10 x + 24 = 0 ( x – 4 ) ( x – 6 ) = 0 x = 4 or x = 6 Then y = 6 or y = 2 The intersection points are (6,2) ; (4,6) مثال 2: أوجد (إن وجدت) نقاط تقاطع المستقيم والدائرة الآتيين جبرياً: Find the intersection points of the following Line and Circle algebraically: الحل:Solution: بالتعويض بمعادلة المستقيم في معادلة الدائرة ثم حل المعادلة الناتجة كما يلي: ثم بالتعويض في معادلة المستقيم بقيمتي x كل على حدة نجد أن: وبذلك تكون نقطتا تقاطع المستقيم و الدائرة هما:

17. Unit 6 الوحدة السادسة x 2+ y 2 + 4x + 2y - 4 = 0 x – y + 2 = 0 ثم بالتعويض في معادلة الدائرة وتبسيطها كما يلي وبالقسمة على (2) مثال3: أوجد (إن وجدت) نقاط تقاطع المستقيم والدائرة الآتيين جبرياً: Find the intersection points of the following Line and Circle algebraically: الحل:Solution: بتعديل معادلة المستقيم لتكون على الصورة: وهذه المعادلة التربيعية لايمكن حلها بالتحليل فنلجأ للقانون العام لحلها كما يلي: X = = Then x = , x = ثم بالتعويض في معادلة المستقيم بقيمتي x كل على حدة نجد أن: y = - 0.4 + 2 = 1.6 , y = - 4.6 + 2 = - 2.6 وبذلك تكون نقطتا تقاطع المستقيم والدائرة هما:(-4.6 , - 2.6 ) , (-0.4 , 1.6)

18. Unit 6 الوحدة السادسة أوجد جبرياً نقاط تقاطع الدائرة والمستقيم في كل مما يأتي: 1) and x + y = 7 2) 3)andy = 5 x 4) ( X + 2)2+ (Y - 1)2 = 25 and x + y = -2 5) (X - 4)2+ Y2= 4 and 3y + 2x = 6 Find the points of intersection of The circle and line of each of the following: x 2+ y 2 = 25 x2 + y2 = 17 and y= –x – 3 (x - 3)2+ (y – 4)2 = 4 (1احسب نقاط تقاطع الدائرة والمستقيم في كل مما يأتي جبرياً: 1) and y = - x + 1 2) and 3) and y = 5x التمارين الداعمة Calculate the points of intersection between The circle and line of: x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 x2 + y2 − 2x − 3 = 0 3x + y − 5= 0 التمارين الإضافية x2 + y2 − 2x - 4y − 60 = 0 2) عددان صحيحان يزيد أحدهما عن ثلاثة أمثال الآخر بمقدار (2)، فإذا كان مجموع مربعيهما يساوي 68،فما العددان ؟

19. Unit 6 الوحدة السادسة تنتشر في دولة قطر العديد من الدوارات التي تنظم حركة السيارات بين الطرق التي تتقاطع عند كل منها. وهذه بعض المعلومات عن التصميم الهندسي للدوار: * يتم تصميم الدوار في الحالات التي تتوافر فيها مساحة الأرض اللازمة للدوار ويفضل أن تكون الأفرع المتقاطعة أربعة أو أكثر.* يعتبر الدوار أفضل من الإشارات المرورية حتى حجم مروري معين وخاصة إذا كانت أحجام المرور في الأفرع متساوية ويجب الأخذ في الاعتبار أن يزيد القطر الإجمالي الخارجي للدوار عن عرض أكبر طريق متقاطع (مثلاً طريق عرض 60 م متقاطع مع طريق عرض 40 م لا يقل القطر الخارجي للدوار عن 60 م). فإذا افترضنا أن مركز أحد الدوارات الدائرية يقع في المستوى الإحداثي عند النقطة ( 2 , 3 ) وطول قطر هذا الدوار 26 م ، يقطعه طريق مستقيم معادلته 5y = x . فأوجد نقاط تقاطع هذا الطريق مع الدوار ( المستقيم مع الدائرة). المشروع التكامل الشكل التالي يبين الحالات الثلاث للعلاقة بين الدائرة والمستقيم. ادرس كل حالة على حدة موضحاً النقاط التالية لكل منها: 1) مثال عددي على كل حالة. 2) كيفية تمييز كل حالة من الحل الجبري لمعادلتي الدائرة والمستقيم. 3) اسم المستقيم بالنسبة للدائرة في كل حالة.

21. الوحدة السابعة: الإحصاء 1 & 2 الإحصاءStatistics

23. 7.1Statistics الإحصاء المجتمع الإحصائي والعينات الإحصائية • الأهداف: • Objectives: • أن يكون الطالب قادرا̋ علىأن: • يعرف كيفيةاختيار • عينة احصائية جيدة. • يميّز بين العينة • المتحيزة والعينة • غير المتحيزة. • . • المعايير: Standards: • 8.1+ 8.2 • المصطلحات: • Vocabulary : • Representative samples • عينات ممثلة • Unbiased sample • عينة غير متحيزة • Biased sample • عينة متحيزة المجتمع الإحصائيStatistical population المجتمع الإحصائي هو عبارة عن جميع المفردات موضع الدراسة والتي نرغب في معرفة حقائق عنها سواء كانت على شكل إنسان أو حيوان أو جماد أو درجات امتحان أو منازل أو مزارع أو سفن … الخ. وقد يتكون المجتمع من: (1عدد محدود (Finite)من المفردات مثل عدد أفراد مدينة ما أوعدد المنازل بها. (2عدد غير محدود (Infinite) مثل عدد الأسماك في الخليج العربي أوعدد النجوم. وإذا تم جمع البيانات لجميع مفردات المجتمع فتسمى هذه العملية بالحصر الشامل. وفى بعض الحالات لا نتمكن من حصر كل المفردات للمجتمع مثل مجتمعات الأسماك أو النباتات، أو أن تؤدي عملية الحصول على البيانات لمفردات المجتمع إلى إتلافها أو هلاكها، مثال ذلك فحص دم المريض كله يؤدي إلى وفاة الشخص، وكذلك فحص جميع أعواد الثقاب يؤدي إلى إتلاف هذا المنتج بالكامل وهكذا..... وبالتالى لا يمكن جمع البيانات من كل المفردات، أو قد تحتاج عملية جمع البيانات إلى وقت طويل أو جهد كبير أو تكاليف باهظة. وفى مثل هذا الحالات السابقة يتم جمع من البيانات عن جزء فقط من مفردات المجتمع يسمى العينة sample العينة الإحصائيةStatistical sample وهي جزء من مفردات المجتمع يتم اختيارها بحيث تكون ممثلة للمجتمع ككل. وأسلوب أخذ العيناتشائع الاستعمال عند إجراء الدراسات والبحوث الإحصائية لأن تكاليفه أقل، وبواسطته يمكن الحصول على نتائج سريعة، مقارنة بأسلوب الحصر الشامل الذي يتم فيه جمع البيانات من كل مفردات المجتمع. وتمثل العينة على سبيل المثال جزء من سكان مدينة معينة أو جزء من درجات الطلاب لأحد المقررات الدراسية وهكذا. ويوجد علم خاص بطرق أخذ العينات يسمى المعاينة الإحصائية statistical sampling  . ومن العينة الإحصائية يتم الوصول إلى نتائج يمكن تعميمها على المجتمع الإحصائي محل الدراسة ككل. ومن المهم أن يتم اختيار عينات تمثل المجتمع الإحصائي تمثيلاً صحيحاً (Representative samples ) ففى حالة احتمال عدم تمثيل العينة تمثيلا حقيقيا، فإن الاستدلال الإحصائي يمكن الباحث من قياس الخطأ الناتج عن ذلك. وهنا يجب التمييز بين نوعين من العينات هما: 1) عينةغير متحيزة Unbiased sample وهي التي تمثل المجتمع الإحصائي تمثيلاً صحيحياً وتعطي نتائج جيدة. 2) عينةمتحيزة biased sample وهي التي لاتمثل المجتمع الإحصائي تمثيلاً صحيحياً وتعطي نتائج مضللة.

24. أراد سعيد عمل استطلاع رأي حول الرياضة المفضلة لدى عينة من سكان مدينته. فوقف بالقرب من بركة السباحة في أحد النوادي الرياضية ، وسأل عدداً من المتجهين لهذه البركة عن رياضتهم المفضلة. هل العينة التي اختارها سعيد متحيزة أم غير متحيزة (Biased or unbiased)؟ وكيف لسعيد أن يحسن من استطلاعه ليعطي نتائج جيدة؟ الحل: بالطبع العينة التي اختارها سعيد متحيزة Biased وذلك لسببين: أولاً: المكان الذي اختاره سعيد يعطي نتائج متحيزة لرياضة السباحة. ثانياً: اختار سعيد مكاناً واحداً فقط وهذا لا يعطي نتائج جيدة. ولكي يحسن سعيد من استطلاعه عليه معالجة النقطتين السابقتين: 1) يجب عليه الوقوف في مكان عام يمر منه الكثير من الناس على اختلاف اهتماماتهم. 2) يجب عليه الوقوف في عدة أماكن مختلفة ولا يكتفي في بمكان واحد. إدعت مقالة في إحدى الصحف بأن % 87 من الموظفين يذهبون متأخرين عن دوامهم يومياً. ولكن المقالة لم تقل كيف عرف الصحافي أن % 87 من الموظفين يذهبون متأخرين عن دوامهم كل يوم. يعتقد بعض الطلاب أن النسبة المئوية لعدد الموظفين الذين يذهبون متأخرين عن دوامهم كل يوم هي أقل بكثير من % 87 ، فقرروا القيام بدراسة مسحية عن هذا الموضوع واستخدموا الطرق التالية: أ) خطط جابر لسؤال 10 أشخاص عما إذا كانوا يذهبون متأخرين عن دوامهم كل يوم. أعطِ سببين يبينان أن أسلوب جابر قد لا يعطي بيانات جيدة. ب) قررت عائشة الذهاب الى إحدى الشركات في صباح يوم الأربعاء. وتقف هناك أمام الشركة وتسجل عدد الموظفين الذين يدخلون الشركة وعدد الموظفين منهم الذين يأتون متأخرين. أعطً سببين مختلفين يبينان أن أسلوب عائشة قد لا يعطي بيانات جيدة. مثال 1: تدريب 1: تدريب 2: أراد يوسف أن يستقصي ما إذا كان عدد الطلاب الذين ينوون دراسة الطب في مرحلة الجامعة أكثر من الذين ينوون دراسة الهندسة. وهو ينوي سؤال جميع طلاب صفه ما إذا كانوا ينوون دراسة الطب أو الهندسة. ناقش الطرائق التي يمكن ليوسف أن يحسّن بها مسحه الإستطلاعي.

25. الإحصاء 7.2 Statistics الاستبياناتQuestionnaires • الأهداف: • Objectives: • أن يكون الطالب قادرا̋ علىأن: • يحدد شروط عملالاستبيان الجيد. • يعطي أمثلة لأسئلة تصلح لتصميم استبياناً جيداً. • المعايير: • Standards: • 8.2 • المصطلحات: • Vocabulary : • Questionnaire استبيان • Primary Data • بيانات أولية • Secondary data • بيانات ثانوية تعريفالاستبيان:Definition of questionnaire يمكننا تعريف الاستبيان بأنه أداة لجمع البيانات المتعلقة بموضوع بحث محدد عن طريق استمارة يجري تعبئتها من قبل مجموعة من الأفراد. أنواع الاستبيان: Types of questionnaire يمكن تقسيم الاستبيان إلى ثلاثة أنواع : 1- الاستبيان المقيد : حيث توجه للشخص أسئلة مغلقة تتطلب الإجابة بنعم أو لا أو يقترح لصاحب الاستبيان بدائل محددة للاستجابات. مثال: هل لديك اليوم واجب منزلي؟ ( نعم / لا ) 2- الاستبيان المفتوح : في هذه الحالة توجه للشخص أسئلة مفتوحة ويترك له حرية الإجابة بالتعبير الحر التلقائي من رأيه و موقفه وبألفاظه هو نفسه. مثال: ما رأيك في الواجبات المنزلية التي تعطيها المدرسة للطالب ؟3- الاستبيان المزدوج أو( المقيد المفتوح ): في هذه الحالة توجه للشخص أسئلة محددة ومغلقة ثم تحدد بدائل الاستجابات وعليه اختيار أحداها و يبرر اختياره. مثال: هل تعتقد أن الواجب المنزلي يساعد في رفع مستوى الطالب؟ (نعم / لا) إذا كانت الإجابة بنعم فكم برأيك عدد الواجبات المناسب أسبوعياً؟ ..... مواصفات الاستبيان الجيد :1-اللغة المفهومة والأسلوب الواضح الذي لا يتحمل التفسيرات المتعددة.2- يجب ألا تكون الأسئلة: مركبة – منفية - طويلة – شخصية - محرجة.3-إعطاء عدد كافي من الخيارات المطروحة مما يمكن المبحوثين من التعبير عن آرائهم المختلفة تعبيراً دقيقاً.4-الترابط بين أسئلة الاستبيان وكذلك الترابط بينها وبين موضوع البحث ومشكلته 5-تزويد المبحوثين بمجموعة من التعليمات والتوضيحات المطلوبة في الإجابة وبيان الغرض من الاستبيان ومجالات استخدام المعلومات التي سيحصل عليها الباحث. وإليك بعض الأمثلة لأسئلة التي يمكن استخدامها في الاستبيان: 1- تساعد الدراسة الجامعية على تحقيق مستقبل أفضل .1) لاأوافق بشدة 2)لا أوافق 3)لا أدرى 4)أوافق 5)أوافق بشدة 2- ماهي رياضتك المفضلة؟ 3- كم عدد الطلاب في صفك؟

26. Unit 7 Statistics الإحصاء لايجب أن يتضمن الاستبيان الأسئلة التالية : اذكر السبب 1) كم يبلغ دخلك الشهري؟ ( سؤال شخصي ) 2) ما رأيك في الحياة؟ (سؤال مفتوح غير محدد) 3) ألا توافق على أن حرارة الطقس هذا العام أقل من العام الماضي؟ (سؤال منفي متحيز) 4) إذا ذهبت إلى أحد المجمعات التجارية و لم تجد مكاناً توقف فيه سيارتك فهل تظل تدور في المكان حتى تجد مكاناً أم تذهب إلى مجمع آخر؟ (سؤال طويل ومركب من عدة إجابات ولايعطي حرية الإجابة) المشروع التكامل صف بعض الأخطاء التي توجد في كل من العينات التالية: 1) اختارت شركة القطارات عشوائياً عدد من ركاب القطار الصباحي لسؤالهم عن زحام المواصلات في المدينة 2) وقف حسن أمام أحد مطاعم الأكلات النباتية لسؤال زبائنه عن حبهم للأطعمة النباتية. 3) أجرت إحدى الصحف عن طريق الهاتف استبياناً لعدد قرائها واختارت الاتصال بين الساعة 1م والساعة 4م 4) عن طريق البريد الإلكتروني سألت شركة لخدمات الإنترنت مشتركيها هل يخططون لشراء جهاز كمبيوتر جديد خلال السنتين القادمتين. من خلال اختيارعينة عشوائيةمن طلاب مدرستك أجري استبياناً عن أي لغة يفضلها الطالب لدراسة الرياضيات اللغة الإنجليزية أم العربية واستخلص النتائج من هذا الاستبيان موضحاً مبررات كل رأي – استعن بالبرامج الكمبيوترية Excel أو Access لتسجيل وتمثيل النتائج. سجل نتائج الاستبيان على مستوى مدرستك. قارنه باستبيانات مماثلة أجريت في مدارس أخرى . سجل رايك الشخصى وبين خلاصة البحث. 1- العلوم الطبيعية: صمم استبيانا لدراسة العلاقة بينمدى تأثر عدد مرتادي مطاعم الأكلات السريعة بعد معرفة أضرار هذه الوجبات على صحة الإنسان. 2- تكنولوجيا المعلومات + الرياضة: صمم استبيانا في مدرستك عن العلاقة بين عدد الساعات التي يقضيها الفرد أمام الكمبيوتر وبين لياقته البدنية. 3- جميع المواد: صمم استبيانا لزملائك بالصف عن أفضل ثلاث مواد دراسية لدى كل طالب مرتبة تنازلياً. مثال 1: تدريب 1:

27. الإحصاء 7.3 Statistics مدرجات التكرار النسبي وتوزيعات التكرار التراكمي • الأهداف: • Objectives: • أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: • يحسب كثافة التكرار • لفئات جدول تكراري. • يرسم مدرج كثافة التكرار. • ينشئ جدول التكرار النسبي لتوزيع تكراري. • يكوّن جدول التكرار التراكمي. • يرسم منحنى التكرار التراكمي • المعايير: • Standards: • 8.4 • المصطلحات: • Vocabulary : • Frequency density • كثافةالتكرار • Relative frequency • التكرار النسبي • Cumulative frequency • التكرار التراكمي • أولاً: مدرج كثافة التكرار :Frequency density Histogram • تحسب كثافة التكرار بقسمة كل تكرار على عرض الفئة المناظرة له. • بيانات التوزيع التكراري المجاور تمثل أطوال • مجموعة من الأفراد. • 1) احسب كثافة التكرار لكل فئة من الفئات. • 2) ارسم مدرج كثافة التكرار لهذا التوزيع. • الحل: • 1) نحسب كثافة التكرار • لكل فئة من الفئات • كما بالجدول المجاور • 2) نرسم مدرج كثافة التكرار • كما هو مبين حيث يتم تمثيل • الفئات على المحور الأفقي • ويتم اختيار مقياس مناسب • لكثافة التكرار وتمثيلها على • المحور الراسي. مثال 1:

28. الإحصاء Unit 7 Statistics ثانياً: مدرجالتكرار النسبي :RelativeFrequencyHistogram يحسب التكرار النسبي لبيانات تكرارية بقسمة كل تكرار على مجموع التكرارات ، ويمكن كتابة التكرار النسبي على صورة كسر اعتيادي أو عشري أو على صورة نسبة مئوية ، يكون مجموع التكرارات النسبية لبيانات أي جدول يساوي واحد صحيح أو 100 % أنشئ جدول التكرار النسبي لبيانات التوزيع التكراري المجاور. عبر عن التكرار النسبي لكل قيمة بأكثر من صورة. Construct the relative frequency table for the shown table Express the results with more than one form. الحل: حيث أن مجموع التكرارات = 20 فإن التكرار النسبي لكل قيمة بالجدول ينتج من قسمة كل قيمة على 20 ويمكن كتابة الناتج على صورة كسر عشري أو نسبة مئوية كما هو مبين بالجدول المجاور. تدريب (1) مثال 1: المدرج التكراري الموضح يبين أطوال مجموعة من أشجار الكرز الأسود في إحدى الغابات: 1) كوّن الجدول التكراري لهذه البيانات. 1) Construct the frequency table. 2) أنشئ جدول التكرار النسبي لها. 2) Construct the relative frequency table.

29. الإحصاء Unit 7 Statistics جدول التكرار التراكمي Cumulative Frequency Table • يسمى الجدول الذي تتجمع فيه التكرارات على التوالي من أحد طرفيه إلى طرفه الآخر وصولاً إلى التكرار الكلي بـ ( الجدول التراكمي أو المتجمعCumulative Frequency Table) ويكون على شكلين : • في بداية برنامج علاجي للمرضى تمتسجيل أوزانالمشاركين • في البرنامج وجاءت النتائج كما هو مبين بالجدول المجاور: • 1) كوّن جدول التكرار التراكميCumulative Frequency Table • 2) ارسم منحنى التكرار التراكمي.Cumulative Frequency graph • 3) من الرسم: أ – قدّر قيمة الوسيط (median) لهذه الأوزان. • ب- عدد الأشخاص الذين تقل أوزانهم عن 83 كج. • جـ - عدد الأشخاص الذين تزيد أوزانهم عن 102 كج. • الإجابة : • أ-نوجد رتبة الوسيط بقسمة (مجموع التكرارات +1) على 2أي:30.5 = • ومن الرسم نوجد الوزن المناظر لهذه الرتبة نجد أن الوسيط هو 92 كم تقريبا. • ب – من الرسم أيضاً نجد أن عدد الأشخاص الذين يقل أوزانهم عن 83 كم هو 9 أشخاص. • حـ - وعدد الأشخاص الذين تزيد أوزانهم عن 102 كم هو 4 أشخاص )60 – 56 = 4 ). 2) منحنى التكرار التراكمي 1) جدول التكراري التراكمي مثال 1:

30. الإحصاء Unit 7 Statistics • 1) فيما يلي جدول تكراري يبين درجات 30 طالباً في اختبار للرياضيات. • The following frequency table shows the marks of 30 students in math test. • أ )أكملالجدول لإيجاد التكرار التراكميCumulative Frequency • ب)ارسم منحنى التكرار التراكمي. Cumulative Frequency graph • ج)من الرسمأوجد القيمة التقريبية لكل من: • 1- الوسيط (median) لهذه الدرجات. • 2-كم طالباً حصل على درجة أقل من الدرجة 77. • 3- كم طالباً حصل على درجة أعلى من الدرجة 93. • 2) المدرج التكراري التالي يوضح نتائج استبيان أجري على 300 شخص تم سؤالهم عن الزمن الذي • يستغرقه كل واحد منهم في الوصول من مدينة الدوحة إلى مدينة الخور. • The following frequency histogram shows the results of a survey of 300 people who were asked howlong it took them to get from Doha City to Al-Khor City. • أ) كوّن جدول التكرار التراكمي • Cumulative Frequency Table • ب) ارسم منحنى التكرار التراكمي. • Cumulative Frequency graph • ج) من المنحنى قدّر لهذه البيانات قيمة كل من: • 1- الوسيط (median). • 2-الربيّع الأولQ1 First quartile • 3- الربيّع الثالثQ3Third quartile • 4- المدى الربيعي IQR Interquartile التمارين الإضافية

31. Unit 7 Statistics الإحصاء • 1- في استيبان لمعرفةالزمن الي يقضيه طلاب إحدى المدارسيومياًلإنجاز الواجبات المنزلية كانتت النتائج: • أ)كوّن جدول التكرار التراكميCumulative Frequency Table • ب)ارسم منحنى التكرار التراكميCumulative Frequency histogram • ج)من المنحنى قدّر لهذه البيانات قيمة كل من: • 1- الوسيط (median). • 2-الربيّع الأولQ1 First quartile • 3- الربيّع الثالثQ3Third quartile • 4- المدى الربيعي IQR Interquartile المشروع التكامل 15 70 20 < x≤40 60 < x≤80 Time (min) 0 < x≤ 20 40 < x≤60 80< x≤100 10 55 Number of students 40 التمارين الداعمة • 1) أحضر مقياساً للطول ( بالمتر و السم ). • 2) قم بقياس أطوال زملائك طلاب صفك. • 3) سجل نتائجك في جدول مقسماً الأطوال إلى فئات مناسبة. • 4)ارسم منحنى التكرار التراكمي • Cumulative Frequency histogram • د) من المنحنى قدّر لهذه البيانات قيمة كل من: • الوسيط (median) ، الربيّع الأولQ1 First quartile • الربيّع الثالث Q3Third quartile ،المدى الربيعي IQR • العلوم الطبيعية: • لمدة 25 يوماً تساقط الجليد على سفح أحد الجبال و قيست طبقة الجليد يومياً لأقرب سنتيمتر فجاءت النتائج كالتالي: • 242, 228, 217, 209, 253, 239, 266, 242, 251, 240, 223, 219, 246, 260, 258, 225, 234, 230, 249, 245, 254, 243, 235, 231, 257. • كون جدول التكرار التراكمي لهذه القياسات ، ومن ثم ارسم منحنى التكرار التراكمي ومن الرسم استنتج الوسيط والمدى الربيعي لهذه البيانات.

32. 7.4 Statistics الإحصاء المخططات الإحصائية Statistical Diagrams • الأهداف: • Objectives: • أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: • يرسم مخطط الساق والورقة لبيانات احصائية. • يستخدم مخطط العلبة والشعرتين • لتمثيل بيانات • احصائية. • المعايير: • Standards: • 8.5 • المصطلحات: • Vocabulary : • Stem-and-leaf diagram • مخطط الساق و الورقة • Box-and-whiskerplot • مخطط العلبة والشعرتين • المدى Range • Minimum value • القيمة الصغرى • Maximum value • القيمة العظمى • median الوسيط • The lower quartile • الربيّع الأدنى • The upper quartile. • الربيّع الأعلى Stem-and-leaf Diagrams (Box Plots)أولاً: مخطط الساق و الورقة هي طريقة احصائية لتنظيم البيانات نقوم فيها بتجزئة العدد إلى رقم الآحاد كقسم أول وباقي الأرقام كقسم ثاني، ففي حالة العدد الصحيح فالعدد 13 مثلاً نجعل رقم الآحاد 3 (ورقة) على يمين خط عمودي (الساق) والعدد الخاص بالعشرات على يسار الخط العمودي بالصورة 3│1. وعليه تمثل الأعداد 21، 13، 19 بالصورة 3 9 2│1 إذا كانت لدينا البيانات التالية: 41, 46, 47, 49, 54, 63, 64, 66, 68, 68, 72, 72, 75, 76, 81, 84, 88 نظم هذه البيانات باستخدام مخطط الساق والورقة.Stem and leaf diagram احسب المدى (range)لهذه البيانات. أوجد الوسيط. (Median) الحل: 1)يتمتنظيم البيانات كما في المخطط المبين. 2)المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة Range = max value – min value 47 = 41 – 88 = 3) ترتيب الوسيط (median) هو = 9 إذن الوسيط (median) = 68 key: 6|3=6 مثال 1: تدريب 1: البيانات تمثل درجات الحرارة المسجلة في الدوحة خلال شهر يوليو. 39 ، 35 ، 27 ، 31 ، 25 ، 46 ، 24 ، 31 ، 28، 42 ، 37 27 ، 24 ، 33 ، 35 ، 36 ، 29 ، 47 ، 50 ، 43 ، 32 25 ، 36 ، 38 ، 49 ، 23 ، 46 ، 28 ، 38 ، 34 ، 91 استخدام مخطط الساق والورقة (Stem and leaf diagram) لتنظيم هذه البيانات. احسبمدى (range)هذه الدرجات. أوجد درجة الحرارة التي تمثل الوسيط(Median).

33. الإحصاء Unit 7 Statistics ثانياً: مخطط العلبة و الشعرتين: هي طريقة مناسبة لتمثيل البيانات الإحصائية بشكل يمثل من خلال تحديد الخمس قيم التالية للبيانات: القيمة الصغرى.The minimum value. (Min) القيمة العظمى.The maximum value. (Max) الربيّع الأدنى.The lower quartile. ( Q1) الوسيط (الربيّع الثاني). The median ( Q2) الربيّع الأعلى.The upper quartile. ( Q3) Box-and-whisker plots (Box Plots) في رحلة لصيد الأسماك تمكن ناصر من صيد 13 سمكة وقام بقياس أطوالها فكانت كالتالي: 12 , 13 , 5 , 8 , 9 , 20 , 16 , 14 , 14 , 6 , 9 , 12 , 12 أوجد القيم الخمس اللازمة لرسم مخطط العلبة والشعرتين Box-and-whisker Plotثم ارسم المخطط. الحل : أولا: بعد ترتيب الأطوال تصاعديا تكون القيمة الصغرىMin= 5والقيمة العظمىMax = 20 ثانياً: ترتيب الوسيط 7= فيكون الوسيط هو القيمة السابعة median = 12 ثالثاً: ترتيب الربيّع الأدنى 3.5= أي هو متوسط القيمتين الثالثة والرابعة: Q1= 8.5 رابعاً: ترتيب الربيّع الأعلى 10.5= 3() أي متوسط القيمتين العاشرة والحادية عشرة: Q3= 14 خامساً: نحدد أماكن القيم الخمس وبالتالي نرسم المخطط المطلوب كما يلي: مثال 1: تدريب 1: البيانات التالية تمثل درجات 14 طالباً في أحد الاختبارات: 85, 100, 97, 84, 73, 89, 73, 65, 50, 83, 79, 92, 78, 10 أنشئ مخطط العلبة والشعرتين الذي يمثل هذه الدرجات. Create a box and whisker plot to represent this data.

34. الإحصاء Unit 7 Statistics 1- البيانات التالية تمثل درجات أحد الطلاب في اختبارات الرياضيات: 73, 42, 67, 78, 99, 84, 91, 82, 86, 94 أ) ارسم مخطط الساق و الورقة (Stem-and-Leaf Diagram) لهذه البيانات. ب) ما هو الوسيط (median) لهذه الدرجات. 2- الدرجات التالية تمثل درجات 20 طالباً في اختبار نهايته العظمى 50. أ) ارسم مخطط الساق و الورقة (Stem-and-Leaf Diagram) لهذه البيانات. ب) كم تبلغ النسبة المئوية لعدد الطلاب الحاصلين على 40 درجة أو أكثر؟ حـ) كم تبلغ النسبة المئوية لعدد الطلاب الحاصلين على أقل من 30 درجة؟ 3- القيم التالية تمثل أطوال عدد من لاعبي كرة السلة لفريقين في دوري كرة السلة: أ) أكمل مخطط الساق والورقة لهذا التوزيع. ب) أوجد المدى لكل من الفريقين . ج) أوجد الوسيط لكل من الفريقين . د) أوجد النسبة المئوية لعدد اللاعبين الذين تعدى طولهمالمترين. الفريق A 177, 203, 188, 181, 204, 178, 195, 190, 178, 180 الفريق B 179, 201, 187, 189, 205, 202, 196, 194, 180, 188 التمارين الإضافية

35. الإحصاء Unit 7 Statistics 3- أنشئ مخطط « العلبة و الشعرتين للبيانات المعطاة. Construct a box–and–whisker plot for the given data. 56, 32, 54, 34, 23, 67, 23, 45, 12, 32, 34, 24, 36, 47, 19, 43 المشروع التكامل (4عقدت مدرستان إحداهما للبنين والأخرى للبنات نفس الإمتحان في الرياضيات. درجات البناتكانت كما يلي: 97, 98, 57, 45, 63, 75, 87, 34, 56, 28, 67, 89, 45, 61, 53, 49, 81, 32, 23, 45, 47, 72, 34, 54, 23, 100, 76, 47 أما درجات البنين فكانت كما يلي: 67, 87, 83, 92, 34, 31, 23, 25, 29, 39, 89, 91, 54, 47, 41, 50, 77, 18, 89, 100, 26, 62, 39, 14, 90 أ) ارسم مخططات“ الساق والورقة“ متعاقبة ((stem-and-leaf, back-to-back لبيان هذه الدرجات. ب) قارن أداء البنين والبنات، مع شرح الطرائق التي اتبعتها ونواتجها. ج) استخدم هذه البيانات لرسم مخطط تكراري تراكمي لعلامات البنين. ماهو الوسيط (median)لهذه الدرجات. ما هو المدى الربيّعي (Interquartile IQR ) لتوزيع الدرجات؟ د) ارسم مخطط ’ العلبة والشعرتين ‘ (box-and-whisker plots) لتمثيل درجات البنات. ارسم مدرج تكرار نسبي لهذه البيانات. 1) أحضر ميزاناً لقياس الأوزان ( متوفر بالمدارس ). 2) قم بوزن زملائك طلاب صفك. 3) سجل نتائجك في جدول مقسماً الأوزان إلى فئات مناسبة. 4 (أنشئ مخطط الساق و الورقة (Stem-and-Leaf Diagram) لهذه البيانات. 5) أوجد الوسيط (median) لهذه الأوزان. 6) أوجد المدى (The Range) لهذه الأوزان. 7) سجل ملاحظاتك على أوزان زملاءك واستنتج ما قد يمثل علاقة بينها وهل هي في المستوى الطبيعى ؟ 8) ابعث بنصائحك لبعض زملائك. • الكيمياء: • احضر قائمة تحوي العدد الذري لكل من العناصر الكيميائية التي تدرسها هذا العام. • أوجد القيم الخمس اللازمة لرسم مخطط العلبة والشعرتين Box-and-whisker Plot • ثم ارسم المخطط. • العلوم الاجتماعية: • حدد درجات الحرارة المحتملة خلال أحد أشهر السنة في الدوحة ثم ارسم مخطط العلبة والشعرتين لهذه الدرجات.

36. الإحصاء 7.5 Statistics مقاييس النزعة المركزية Measures of Central Tendency • الأهداف: • Objectives: • أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: • يحسب الوسط والوسيط والمنوال لبيانات احصائية • مفردة. • يحسب الوسط والوسيط والمنوال لبيانات احصائية • تكرارية. • المعايير: • Standards: • 8.3 • 8.6 • 9.1 • المصطلحات: • Vocabulary : • Mean • الوسط الحسابي • Median • الوسيط • Mode • المنوال مقاييس النزعة المركزية هي مقاييس عددية تستخدم لقياس موضع تركز أو تجمع البيانات. إذ أن بيانات أي ظاهرة تنزع في الغالب إلى التركز والتجمع حول قيم معينة . هذه القيم هي ما يسمى بمقاييس النزعة المركزية . ومقاييس النزعة المركزية تستخدم لتلخيص البيانات عددياً إذ أنها تعتبر قيم نموذجية أو مثالية للبيانات. كما أن هذه المقاييس تستخدم لوصف مجموعة البيانات وكذلك لمقارنة مجموعات البيانات المختلفة. ومن أهم هذه المقاييس : الوسط الحسابي (Mean)، والوسيط (Median)، والمنوال (Mode). أولاً: حساب الوسط الحسابي: Calculating the mean يعتبر الوسط الحسابي من أهم وأفضل مقاييس النزعة المركزية ومن أكثرها شيوعاً واستخداماً في التحليل الإحصائي وذلك لما يتمتع به من خصائص وصفات إحصائية جيدة. ولإيجاد الوسط الحسابي للبيانات فيجب أن نفرقبين البيانات المنفصلة أو المفردة (discrete data) والبيانات المتصلة أو ذات المجموعات (continuous data)(الممثلة في جدول تكراري). 1) حساب الوسط الحسابيلبيانات مفردة: Calculating the meanfor discrete data يحسب الوسط الحسابي (Mean) لعدة بيانات منفصلة أو مفردة بقسمة مجموع هذه البيانات على عددها. The mean of a numeric variable is calculated by dividing the sum of the values of all observations in a data set by the number of observations in the set. Mean = فإذا كان عدد البيانات nوكانت القيم أو المشاهدات هي فإن الوسط الحسابي (Mean) ويرمز له بالرمز هو

37. Mean = sum of all the data values ÷ number of data البيانات التالية عبارة عن أوزان مجموعة من الأشخاص (بالكيلوجرام) The following data show the weights of a group of people (Kg) 25, 30, 40, 45, 35, 55, 50 أوجد الوسط الحسابي لهذه الأوزان.Find the mean for this weights. الحل: الوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عددها Then: احسب الوسط الحسابي للبيانات التالية:Find the mean of the following data: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29 الحل: The sum of these numbers is330 مجموع هذه الأعداد هو There are fifteen numberوعدد هذه الأعداد هو 15 The mean: إذن الوسط الحسابي هو: مثال 1: مثال 2: تدريب 1: البيانات تمثل أطوال مجموعة من الطلاب (بالسنتيمتر). The following data show the heights of a group of students (cm) 39 ، 35 ، 31 ، 31 ، 28، 42 ، 37 أوجد الوسط الحسابي لهذه الأطوال.Find the mean for this heights.

38. The following table lists the number of people killed in traffic accidents over a 10 year period. During this time period, what was the average number of people killed per year? How many people died each day on average in traffic accidents during this time period? الجدول التالي يبين عدد الأشخاص الذين قتلوا في الحوادث المرورية لأكثر من 10 سنوات , خلال هذه الفترة ، ماهو متوسط عدد الأشخاص الذين ماتول خلال عام؟ وكم عدد الأشخاص الذين ماتوا في اليوم الواحد في الحوادث المرورية خلال هذه الفترة؟ الحل: باستخدام الصيغة الخاصة بالبيانات المنفصلة أو المفردة يكون ما يلي: Using the formula to calculate the mean for discrete variables, you can see that: مثال 3: تدريب 2: الجدول التالي يبين درجات أحد الطلاب في اختبارات عدد من المواد الدراسية: The following table showing the marks of a student in some subjects: أوجد الوسط الحسابي لهذه الأطوال.Find the mean for this heights.

39. 2) حساب الوسط الحسابيلبيانات ممثلة في جداول تكرارية: Calculating the meanfor frequency table data: تمثل الجداول التكرارية قائمة بعدد المشاهدات التي تقع في أي مجموعة بيانات معطاة. وهذه الجداول التكرارية نوعان إما جداول بسيطة أو جداول ذات مجموعات. فعلى سبيل المثال ، إذا أردت وضع الأعمار الفعلية لبعض الأشخاص في جدول تكراري فيمكنك استخدام الجدول التكراري البسيط (بدون فئات) ويمكنك كذلك استخدام الجدول التكراري ذي الفئات بتقسيم الأعمار إلى فئات عمرية مناسبة. A frequency table lists the number of observations that lie in any given data set. It can be used with grouped or ungrouped variables. For example, to provide a frequency table of the age of people in a data set, you can produce a table using the exact age (ungrouped), or you can group the ages (grouped). أ) حساب الوسط الحسابي لجدول تكراري بسيط: The mean of an ungrouped data: ويتم ذلك بضرب كل درجة بالتكرار المناظر لها ثم جمع نواتج عمليات الضرب وقسمتها على مجموع التكرارات أي باستخدام الصيغة التالية: وسنناقش هذه الطريقة من خلال المثال التالي. الجدول المقابل يبين عدد الأهداف التي سُجلت في عدد من المباريات في لعبة كرة القدم. The showing table shown the number of goals scored in some football matches احسب الوسط الحسابي لعدد الأهداف في هذه المباريات. Calculate the mean of this numbers of goals. مثال 4:

40. الحل: نقوم بإضافة عمود ثالث للجدول لكتابة حواصل ضرب كل عدد في التكرار المناظر له ثم جمعها كما هو مبين بالجدول المجاور وبالتالي ايجاد الوسط الحسابي باستخدام الصيغة السابق ذكرها كما يلي: الجدول التالي يبين عدد أيام غياب عدد من الموظفين في إحدى الشركات The following table shows the number of absent’ days against to the number of employees in a company. أوجد الوسط الحسابي لعدد أيام الغياب.Find the mean for this absent’ days. الدرجات المبينة هي درجات 100 طالب في أحد الاختبارات: أوجد الوسط الحسابي لهذه الدرجات.Find the mean for this marks. تدريب 3: تدريب 4: The marks obtained by 100 students in a test were as follows

41. ب) حساب الوسط الحسابي لجدول تكراري ذي فئات: The mean of a grouped data: نتبع نفس الطريقة السابقة المستخدمة مع البيانات ذات التكرار البسيط مع استبدال الدرجات بمراكز الفئات أي أن xf ستكون حاصل ضرب مركز الفئة في التكرار المناظر لهذه الفئة. The calculation is the same as that used in the previous example, except that the xf is now the product of the midpoint of the interval multiplied by the frequency of the same interval. وسنوضح هذه الطريقة من خلال المثال التالي. الجدول المبين يعرض أطوال مجموعة مكونة من 50 طالباً اختيرت عشوائياً من طلاب الصف الحادي عشر. ماهو الوسط الحسابي لأطوال هذه المجموعة من الطلاب؟ الحل: نضيف للجدول عمود يلي عمود الفئات نحدد فيه مركز كل فئة من الفئات ثم نضيف عموداً آخر يلي عمود التكرار نكتب فيه حاصل ضرب مركز كل فئة في التكرار المناظر لها أي xf وبالتالي إيجاد مجموعها. The showing table shows the heights of 50 randomly selected from Grade 11 students. What is the mean height of the students? مثال 5: Determine the midpoint of each class intervalfor a variable, add a column after first column to write the midpoints of sets, and another column after the frequency column to write the product of the midpoint of the interval multiplied by the frequency of the same interval, and find the sum of (xf).

42. وتتضح خطوات الحل من خلال الجدول التالي: To illustrate the solution steps look at the following table: وباستخدام مجموع العمودين الأخيرين من الجدول يمكن ايجاد الوسط الحسابي كما يلي: لأقرب سنتيمتر، تم تسجيل أطوال نوع من النبات لمدة 6 أشهر بعد زراعته. احسب الوسط الحسابي لهذه الأطوال. Calculate the mean of this heights. The heights to the nearest centimeter of a type of plant were recorded 6 months after planting. تدريب 5:

43. ثانياً: حساب الوسيط: Calculating the median الوسيط هو أحد مقاييس النزعة المركز ية المشهور ة. ويعرف الوسيط لمجموعة من البيانات على أنه تلك القيمة التي تتوسط البيانات عند ترتيبها تصاعدياً (أو تنازلياً ) أي أنه تلك القيمة التي تقسم البيانات بعد ترتيبها إلى جزأين متساويين فتكون البيانات في الجزء الأول تقل عن أو تساوى الوسيط والبيانات في الجزء الثاني تزيد عن أو تساوى الوسيط . أي أن 50% من البيانات تساوي أو تقل عن الوسيط و 50% من البيانات تساوي أو تزيد عن الوسيط . 1) حساب الوسيط لعدة بيانات مفردة: Calculating the median for discrete data إذا كان عدد بيانات العينة هو n وكان قيم العينة هي فإن الوسيط (Median) له حالتان لإيجاده هما: أولاً: إذا كان حجم العينة nعدداً فردياً فإن: الوسيط = القيمة التي في منتصف البيانات بعد ترتيبها وهي القيمة ذات الترتيب * For an odd number of values: The median is the middle observation in the ordered list. The median is the ()thitem, where n is the number of values على سبيل المثال: For example: لحساب الوسيط لمجموعة المشاهدات التالية:To calculate the median for the following set of observations: 3 , 5 , 2 , 12 , 9 , 8 , 7 نبدأ بترتيب القيم كما يلي: Start by sorting the values: 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 9 , 12 فيكون الوسيط (median) هو 7 ( القيمة التي في منتصف القائمة المرتبة للقيم ) Then, the median is 7 (the middle observation in the ordered list) ثانياً: إذا كان حجم العينة nعدداً زوجياً فإن: الوسيط = متوسط القيمتين اللتين في منتصف البيانات بعد ترتيبها وهما القيمتان المرتبتان ذاتا الترتيب و + 1

44. ** For an even number of values: the median is the arithmetic mean of the two middle observations in the ordered list. The median is the arithmetic mean of the ()th and (+1)thitem, where n is the number of values. فعلى سبيل المثال: For example لحساب الوسيط لمجموعة المشاهدات التالية:To calculate the median for the following set of observations: 9 , 6 , 13 , 1 , 10 , 4 نبدأ بترتيب القيم كما يلي: Start by sorting the values: 1 , 4 , 6 , 9 , 10 , 13 فيكون الوسيط (median) هو الوسط الحسابي للقيمتين 6 , 9 Then, the median is the arithmetic mean of the two values 6 , 9 أي أن الوسيط هو= = 7.5 1) احسب الوسيط لعدد المجلات المشتراه من أحد المحلات ل 7 من الزبائن. 2) خلال الفصل الدراسي الأول ، حصل أحمد في التطبيقات القصيرة في الرياضيات على الدرجات90, 92, 93, 88, 95, 88, 97, 87, 98 . ماهي درجة التطبيق الوسيط . 2) 3) سجلت أعمار 10 من طلاب الجامعة. أوجد الوسيط إذا كانت الأعمار المسجلة هي: 18, 24, 20, 35, 19, 23, 26, 23, 19, 20 3) 1) Find the median number of magazines purchased in a store by 7customers. 1, 7, 9 , 7 , 3, 6 , 4 تدريبات : During the first semester of the study year, Ahmed's math quiz scores were 90, 92, 93, 88, 95, 88, 97, 87, and 98. What was the median quiz score? The ages of 10 college students are listed below. Find the median. 18, 24, 20, 35, 19, 23, 26, 23, 19, 20

45. 2) حساب الوسيط لبيانات ممثلة في جداول تكرارية: Calculating the median for frequency table data: أ) حساب الوسيط لجدول تكراري بسيط: The median of an ungrouped data: في الجداول التكرارية البسيطة نوجد الوسيط بنفس طريقة حسابه بالنسبة للبيانات المفردة الأخذ في الاعتبار التكرار المناظر لكل مفرة في الجدول. و تتضح طريقة إيجاد الوسيط لجدول تكراري بسيط من خلال المثال التالي. البيانات التي في الجدول التالي تبين عدد الأشخاص الذين يجلسون على كل طاولة في أحد المطاعم. أوجد الوسيط لهذه البيانات. The data in the table below shows the number of people on each table at restaurant. Find the median of this data. الحلSolution العدد الكلي لقيم هذه المجموعة من البيانات هو مجموع التكرارات أي أن: The total number of data values is the number of tables in the restaurant. It is the sum of the frequencies, which is = 19.5فيكون وحيث أن الوسيط القيمة ذات الترتيب أي أن الوسيط هو متوسط القيمتين رقمي 19 و 20 في ترتيب القيم The median is the average of the 19th and 20th data values. مثال1:

46. وكما هو مبين على الجدول: البيانات من رقم 14 إلى 13 من قيم البيانات رقم 25 كلها القيمة 9 أقل من أو تساوي 8 13 data values of 8 or less The 14th to the 25th are all 9s فيكون الوسيط: أ) الجدول التالي يبين عدد ضربات الإرسال التي تم إحصاؤها لعدد من لاعبي كرة المضرب (التنس) في أول مجموعة لهم في إحدى المباريات. أوجد الوسيط لهذا العدد من الضربات. A) The table below shows the number of aces served by tennis players in their first set of a tournament. Find the median number of aces for these sets. ب) تصور أن فريق كرة السلة بمدرستك قد سجل هذا العدد من الضربات البعيدة المدى في 10 مباريات. فكم سيكون الوسيط؟ تدريب 1: B) Imagine that your school basketball team scores the following number of home runs in 10 games. what would the median be?

47. ب) حساب الوسيط لجدول تكراري ذي فئات: The median of a grouped data: يلزم لحساب الوسيط لمجموعة من البيانات مسجلة في جدول تكراري ذي فئات تحديد الحدود الفعلية لفئات ، كذلك إضافة عمود للجدول لجمع التكرارات بصورة متتالية ويسمى بالتكرار المتجمع (Cumulative Frequency ) والذي يتم من خلاله تحديد الفئة التي تحوي الوسيط وكذلك التكرارالمتجمع السابق لفئة الوسيط ومن ثم استخدام الصيغة التالية لحساب الوسيط: ترتيب الوسيط – التكرار المتجمع للفئة السابقة للفئة الوسيطية الوسيط = الحد الأدنى للفئة الوسيطية + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × طول الفئة تكرار الفئة الوسيطية حيث يرمز كل من: - الحد الأدنى الفعلي للفئة الوسيطية - ترتيب الوسيط - التكرار المتجمع السابق للفئة الوسيطية - تكرار الفئة الوسيطية - طول الفئة وسنتناول طريقة حساب الوسيط للجدول التكراري ذي المجموعات من خلال المثال التالي.

48. الجدول التكراري الآتي يبين بيانات أعمار 30 مريض من مراجعي المستشفى في أحد الأيام. احسب العمر الوسيط لهؤلاء المرضى. The table below shows the ages of 30 patients of a hospital at one day. Find the median age of these patients. الحل:solution نضيف للجدول عمود يلي عمود الفئات نحدد فيه الحدود الفعلية للفئات ( ونحصل عليها بطرح 0.5 من الحد الأدنى لكل فئة وجمع 0.5 على الحد الأعلى لكل فئة ) ثم نضيف كذلك عموداً آخر يلي عمود التكرار نوجد فيه التكرار المتجمع ( cf) وهوالذي ينتج من الجمع المتتالي للتكرارات كما هو مبين بالجدول التالي: ثم نتبع الخطوات التالية: مثال 2: 15

49. 1) نوجد ترتيب الوسيط بقسمة مجموع التكرارات على 2 أي:= 15 = 2) نحدد مكان الوسيط بين القيم في عمود التكرار المتجمع لإيجاد التكرار المتجمع السابق لفئة الوسيط أي أن: 3) تكرار الفئة الوسيطية هو: 4) وطول الفئة 5) الحد الأدنى الفعلي للفئة الوسيطية هو: وباستخدام الصيغة يكون الوسيط: قيست أطوال 50 طالباً في إحدى المدارس وسجلت النتائج في الجدول المقابل احسب الطول الوسيط لهذه البيانات. A) The table at left shows the heights of 50 students in a school. Calculate the median height of this data set. تدريب 2:

50. ثالثاً: حساب المنوال: Calculating the mode المنوال (Mode) لمجموعة من القيم هي القيمة التي تتكرر أكثر من غيرها ، أو هو القيمة الأكثر شيوعاً. وقد لا يكون للقيم منوال وأيضاً قد يوجد لها منوالان (Bimodal) أو ثلاثة (tri modal) أو متعددة المنوال (Multimodal). وفي حالة بيانات الجدول التكراري ذي الفئات تكون الفئة المنوالية هي الفئة المقابلة لأكبر تكرار. المنوال = القيمة الأكثر تكراراً بين مجموعة القيم. In a set of data, the mode is the most frequently observed data value. There may be no mode if no value appears more than any other. There may also be two modes (bimodal), three modes (tri modal), or four or more modes (multimodal). In the case of grouped frequency distributions, the modal class is the class with the largest frequency. Mode = the most frequently observed data value أوجدالمنوال لمجموعة القيم التالية: For the following data set, find the mode الحل: حيث أن أكثر قيمة تكررت بين القيم هي 0 لذلك يكون المنوال Mode = 0 1) حساب المنوال لعدة بيانات مفردة: Calculating the mode for discrete data المنوال لعدة بيانات مفردة هو ببساطة القيمة الأكثر تكراراً بين القيم ، والمنوال لا يلزم لتعيينه ترتيب القيم و لا يحتاج إلى إجراء أي عمليات حسابية. The modefor discrete data is simply the most observed value. To work out the mode, observations do not have to be placed in order, although for ease of calculation it is advisable to do so. مثال1 : 0, 0, 1, 0, 0, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 3, 1, 0