Dane informacyjne
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 16

Dane INFORMACYJNE PowerPoint PPT Presentation


  • 65 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Dane INFORMACYJNE. Nazwa szkoły: Zespół Szkół Chemicznych w Poznaniu ID grupy: 97/39_mf_g1 Kompetencja: Matematyczno- fizyczna Temat projektowy: Kongruencje i zastosowania Semestr/rok szkolny: trzeci/2010-2011. Kongruencja. Co to jest kongruencja?.

Download Presentation

Dane INFORMACYJNE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Dane informacyjne

Dane INFORMACYJNE

  • Nazwa szkoły:

  • Zespół Szkół Chemicznych w Poznaniu

  • ID grupy:

  • 97/39_mf_g1

  • Kompetencja:

  • Matematyczno- fizyczna

  • Temat projektowy:

  • Kongruencje i zastosowania

  • Semestr/rok szkolny:

  • trzeci/2010-2011


Kongruencja

Kongruencja


Co to jest kongruencja

Co to jest kongruencja?

Kongruencja to relacja, która dzieli zbiór na klasy abstrakcji o tej samej reszcie przy dzieleniu przez określoną liczbę.

Kongruencja określona jest w zbiorze liczb całkowitych i nazywana jest też przystawaniem liczb modulo .

Liczby całkowite a i b przystają modulo n, co zapisujemy:

a ≡ b (mod n), jeżeli ich różnica a - b dzieli się bez reszty przez n.

Równoważnie: jeśli liczby a i b dają w dzieleniu przez n taką samą resztę.


Kongruencje

Kongruencje

O tym samym module można dodawać, odejmować lub mnożyć stronami.

Przenosić wyrazy z jednej strony kongruencji na drugą, zmieniając ich znaki

Obie strony kongruencji można podnosić do tej samej potęgi (o naturalnym wykładniku).

Nie można natomiast dzielić stronami kongruencji.


W asno ci kongruencji

Własności kongruencji

zwrotność: dla dowolnej liczby całkowitej a:

a ≡ a (mod n),

symetryczność: jeżeli dla liczb całkowitych a i b:

a ≡ b (mod n),

to: b ≡ a (mod n).

przechodniość: jeśli dla liczb całkowitych a, b i c:

a ≡ b (mod n) i

b ≡ c (mod n),

to: a ≡ c (mod n).


W asno ci kongruencji1

Własności kongruencji

kongruencja sumy:

jeżeli a ≡ p (mod n) i

b ≡ q (mod n),

to (a+b) ≡ (p+q) (mod n)

kongruencja iloczynu:

jeżeli a ≡ p (mod n) i

b ≡ q (mod n),

to a · b ≡ p · q (mod n)


Gaussa teoria liczb kongruencja czyli przystawanie

Gaussa teoria liczb - kongruencja, czyli przystawanie

Definicja:Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b - dowolnymi liczbami (całkowitymi - rozmawiamy wyłącznie o liczbach całkowitych). Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy. Jeżeli różnica a - b jest podzielna przez n:


Na przyk ad

Na przykład


Zadanie 1

Zadanie 1.

Obliczymy ostatnią cyfrę liczby 2100.

Rozwiązanie:

Łatwo stwierdzić, że 62≡6(mod10), poprzez indukcję matematyczną można stwierdzić, że 6k≡6(mod10).

Dalej 24≡6(mod10), a więc 2100≡6 250≡6 (mod10). Ostatnią cyfrą liczby 2100 jest zatem 6.


Zadanie 2

Zadanie 2.

Obliczymy resztę z dzielenia liczby 2100 przez 3.

Rozwiązanie:

22≡1(mod3), skąd 2100≡150(mod3), czyli 2100≡1(mod3).

Reszta z dzielenia liczby 2100 przez 3 jest więc 1.


Zadanie 3

Zadanie 3.

  • Liczba kostek w bardzo dużej czekoladzie równa jest x.

  • Jeśli podzielić czekoladę na 3 części, to zostanie 1 kostka. Przy

  • podziale na 5 części zostaną 3 kostki, a w przypadku podziału na

  • 7 części zostaną 2 kostki. Ile kostek ma czekolada?


Rozwi zanie zadania 3

Rozwiązanie zadania 3.

  • Należy rozwiązać układ trzech kongruencji:

  • Analizujemy pierwszą kongruencję.

  • x ≡1 (mod 3)  x = 3t + 1

  • Wstawiamy tak obliczone x do drugiej kongruencji i wyliczamy t.

  • 3t + 1 ≡3 (mod 5) 3t ≡2 (mod 5) t ≡4 (mod 5) t = 5u + 4

  • Zatem x = 3(5u + 4) + 1 = 15u + 13.

  • Wstawiamy to do trzeciej kongruencji.

  • 15u + 13 ≡ 2 (mod 7)  u − 1 ≡ 2 (mod 7)  u ≡ 3 (mod 7)  u = 7s + 3

  • Ostatecznie x = 15(7s + 3) + 13 = 105s + 58.

  • Odp. Liczba kostek czekolady równa jest 58.


Zadanie 4

Zadanie 4.

Wykaż, że jeżeli m≡n (mod 4), to liczba 53m − 33n jest podzielna

przez 10.

Rozwiązanie:

Zauważmy najpierw, że 53n − 33m ≡ 3n − 3m (mod 10).

Jeśli n = 4k + m, to

3n−3m = 34k+m−3m= 3m((34)k-1)=3m((81)k−1)≡3m(1-1)(mod10).


Zadanie 5

Zadanie 5.

Znajdź wszystkie takie liczby naturalne n, aby liczba 1!+2!+...+n! była kwadratem pewnej liczby naturalnej.

Rozwiazanie:

1! = 1 = 12, 1! + 2! = 3, 1! + 2! + 3! = 9 = 32, 1! + 2! + 3! + 4! = 33

Jeśli n ≥ 5, to (5! + … + n! jest podzielne przez 5)

1! + 2! + 3! + 4! + 5 ! + … + n! ≡ 1! + 2! + 3! + 4! ≡ 3 (mod5),

1! + 2! + 3! + 4! ≡3 (mod 5),

a kwadraty liczb naturalnych przystają modulo 5 jedynie do 0, 1 lub 4.

Odp. Jedynie dla n = 1 oraz n = 3 liczba 1! + 2! + ... + n! jest

kwadratem pewnej liczby naturalnej.


  • Login