Statistica Matematica

1. Statistica Matematica

2. Statistica matematica se ocupa de gruparea, analiza si interpretareadatelor referitoare la un anumit fenomen precum si unele previziuni privind producerea lui viitoare.

3. DEFINITIE: Prin populatia statistica se intelege orice multime de obiecte de aceeasi natura. Elementele unei populatii se numesc unitati statistice sau indivizi. Numarul de elemente care constituie populatia se numeste volumul populatiei. • Se numeste caracteristica (sau variabila statistica) a populatiei trasatura comuna tuturor unitatilor (indivizilor) populatiei.

4. Caracteristica poate fi cantitativa (daca se poate masura) sau calitativa (in caz contrar). In general o populatie se studiaza dupa una sau mai multe caracteristici. In cazul populatiilor cu un numar mare de indivizi se efectueaza o statistica numai pentru o fractiune din populatia. Fractiunea din populatia totala, iar rezultatul obtinut se extinde pentru toata populatia. Fractiunea din populatia totala pentru care se face statistica se numeste esantion. Este clar ca aceste concluzii au sansa de a fi valabile cu cat esantionul este mai mare. Gratie calcului probabilitatilor va fi posibil, in general, de a indica gradul de incredere care se poate acorda concluziilor obtinute.

5. Caracteristicile cantitative pot fi discrete (sau discontinue) daca variabila statistica ia valori finite (sau numarabile) sau continue daca variabila poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit (greutatea, talia, etc.). • Gruparea datelor se realizeaza cu scopul de a se trage concluzii cu caracter general.

6. Frecventa absoluta. Frecventa relativa. Frecvente cumulate • Numarul tuteiuror indivizilor (sau unutatilor) unei populatii se numeste efectivul total al acelei populatii. • DEFINITIE: Se numeste fregventa absoluta (sau efectiv) a unei valori x a caracteristicii, numarul de unitati ale populatiei corespunzatoare acestei valori.

7. Aceste date (caracteristica, efectiv) se reprezinta grafic, in raport de un sistem de axe rectangulare, prin desene, care pun in evidenta anumite rapoarte numerice. Graficul corespunzator se numeste diagrama. Alegerea unitatii pe fiecare dintre axe ramane la latitudinea celui care prelucreaza datele. • O prima reprezentare o constitue reprezentarea in batoane aplicata caracteristicii discrete cu un numar mic de valori. Pe axa orizontala sunt trecute punctele reprezentand valorile variabilei si din aceste puncte se ridica segmente veriticale de lungime egala cu fregventa absoluta a valorii respective. Segmentele ridicate sunt masurate cu unitatea de pe axa verticala.

8. Unind printr-o linie poligonala extremitatile superioare ale acestor segmente se obtine ceea ce se cheama poligonul fregventelor marcat prin linii discontinue.

9. Vom reprezenta aceste date printr-un grafic numit histograma, unde pe axa orizontala se iau o succesiune de segmente egale (reprezinta lungimea claselor) si se ridica pe fiecare din aceste segmente considerate ca baze, dreptunghiuri de inaltimi proportionale cu fregventele absolute ale claselor respective. Daca in mijlocul fiecarui segment de pe axa orizontala (aceste mijoloace de intervale le numim valori centrale) se ridica segmente proportionale cu fregventele claselor corespunzatoare fiecarui segment si printr-o linie poligonala extremitatile superioare ale acestor segmente se obtine poligoul fregventelor.

10. Uneori datele (din tabelul 4) se reprezinta prin dreptunghiuri de baze egale si cu inaltimi proportionale cu procentajele sau prin sectoare de cerc, cu unghiuri proportionale cu aceleasi numere.

11. DEFINITIE: Se numeste fregventa relativa (sau simplu fregventa) a unei valori xi a caracteristicii raportul dintre fregventa absoluta ni a valorii xi si efectivul total al populatiei. • Se numeste frecventa cumulata crescatoare a unei valori x a variabilei, suma tuturor frecventelor valorilor care apar pana la x inclusiv. • Se numeste frecventa cumulata descrescatoare a unei valori x a variabilei suma tuturor frecventelor valorilor care apar de la x inclusiv

12. Analiza statistica a unui fenomen, in raport cu o singura caracteristica, conduce la o serie de perechi de valori (caracteristica efectiva), care se numeste serie statistica.

13. Elemente caracteristice ale unei serii statistice • 1. Media Fie x variabila statistica (caracteristica) care ia valorile x1, x2, .....xk cu efectivele corespunzatoare n1, n2, …… nk. DEFINITIE: Se numeste media caracteristicii x numarul

14. Acest numar se mai numeste media ponderata a numerelor x1, x2,…….xk; numerele n1, n2,……..nk se numesc ponderile respective ale numerelor x1, x2,…….. si respectiv xk. Media este influentata de toate valorile xi si ni, dar din pacate este deosebit de sensibila la valorile extreme pierzand astfel o buna parte din reprezentativitate, mai ales in esantioanele de marime redusa.

15. 2. Mediana DEFINITIE: Mediana este o valoare astefel incat jumatatea valorilor xiale esantionului (sau ale populatiei) sunt mai mici sau egale cu si cealalta jumatate a valorilor xi sunt mai mari sau egale cu . In cazul unui esantion discret de valori k aranjate in ordine crescatoare, mediana este valoare din mijoc pentru k impar: . Pentru k par se face media valorilor centrale Mediana nu este afectata de valorile extreme ale caracteristicii.

16. 3. Modulul • DEFINITIE: Prin modulul (sau dominanta) unei serii statistice se intelege valoarea caracteristicii corespunzatoare celei mai mari frecvente daca valorile caracteristicii sunt discrete si valoarea centrala a clasei corespunzatoare celei mai mari frecvente daca variabila este continua. • Modulul este insensibil la valorile extreme. Ca element numeric modulul este mai putin utilizat decat media sau mediana.

17. 4. Dispersia • Daca se doreste sa se vada cat se departeaza valorile variabilei de media se poate calcula media diferentelor absolute Din ratiuni esential teoretice se prefera sa se calculeze media patratelor diferentelor, adica daca variabila ia valorile x1, x2, ….. Xk cu efectivele corespunzatoare n1, n2, ….. nk, atunci Numarul v se numeste dispersia valorilor (sau variatia) esantionului (sau populatiei).

18. DEFINITIE: Numarul se numeste abaterea medie patratica. PROPRIETATI ALE VARIATIEI Prin calculul direct se arata usor ca variatia are exprimarile.

19. Proiect realizat de Lascu Mihai Cristian clasa a X-a A