§1.2
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§1.2 概率的定义 PowerPoint PPT Presentation


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§1.2 概率的定义. 1.2.1 频率. 1.2.2 概率的定义. 1.2.3 概率的性质. 1.2.1 频 率. 1. 随机事件的发生可能性有大小之分. 投一枚均匀的骰子,考察下列事件发生的可能性大小.令 A =出现点数2, B =出现偶数点, 则 B 比 A 更容易出现。. 2. 频率的定义 定义 如果在 n 次重复试验中事件 A 发生了 n A 次,则称 n A / n 为事件 A 在 n 次试验中发生的频率,记为 f n ( A ) ,即. f n ( A ) =. 频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。

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§1.2 概率的定义

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§1.2 概率的定义

1.2.1 频率

1.2.2 概率的定义

1.2.3 概率的性质


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1.2.1 频 率

1. 随机事件的发生可能性有大小之分

投一枚均匀的骰子,考察下列事件发生的可能性大小.令A=出现点数2,B=出现偶数点,则B比A更容易出现。

2. 频率的定义

定义 如果在n次重复试验中事件A发生了nA次,则称nA/n为事件A在n次试验中发生的频率,记为fn(A),即

fn(A)=

频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。

频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。


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实 验 者

N

nH

fn(H)

蒲 丰

4040

2048

0.5070

K.皮尔逊

12000

6019

0.5016

K.皮尔逊

24000

12012

0.5005

3. 频率具有稳定性

大量次的观察,发现事件发生的频率具有稳定性。

例1抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律。


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4.频率的性质

(1) 0≤fn(A)≤1;

(2) fn(Ω) =1;

(3) 若A1,A2,…,An是两两互不相容的事件,则

1.1.2 概率的定义

简单说来,随机事件A发生可能性大小的度量(数值),称为A发生的概率,记作P(A).


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1. 概率的一般(公理化)定义

定义 设E是随机试验,Ω是它的样本空间,对于E的每一事件A对应于一个实数P(A),称P(A)为事件A的概率,若P(A)满足下列三个条件:

(1) 0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1;

(3) 对于两两互不相容的事件A1,A2,…,有

以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列可加性。

利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。


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2. 概率的性质

性质1

由可列可加性

因为

性质2若A1,A2,…,An为两两互不相容的事件,则

由可列可加性有


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Ω

A

B

Ω

性质3设A,B是两事件,若AB,

则 P (B-A) = P (B) - P (A).

证明 由于

B =A∪(B-A) 且 A (B-A) = Φ,

P(B) = P(A)+ P(B-A),

于是 P(B-A) = P(B)-P(A).

推论1 P(B-A)=P(B)-P(AB).

推论2若AB, 则P(B)≥P(A).


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性质4对于任一事件A,有

则有

于是有


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A1

A2

A3

性质5设任意两个事件A、B,则

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

证明 由右图可知

A B=A (B - AB)且

A(B - AB)=Φ,ABB

由概率可加性及性质3得

P(A B)=P(A)+P(B - AB)=P(A)+P(B) - P(AB)

推论1. P(A∪B )≤ P(A)+P(B).

推论2.设随机事件A1, A2, A3, 则


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推论3 设A1,A2,…,An 是 n 个随机事件, 则


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P(A

例 1设事件A、B、A∪B的概率分别为p、q、r,求P(AB),

P(A ), P( B), P( )

解 (1)因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以 P(AB)= p+q-r.

(2)因为A =A-AB且ABA,故

同理可求出P(

(3)因 = ,所以 .


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