1 / 20

МАСОВИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ТВЪРДО ТЯЛО И СИСТЕМИ

МАСОВИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ТВЪРДО ТЯЛО И СИСТЕМИ. Учебни въпроси: Механична система.Сили в механичната система. Масов център. Теорема за движение на масовия център. Масови инерционни моменти. Теорема на Щайнер. Инерционен елипсоид. Главни инерционни оси. 1. Механична система.

val
Download Presentation

МАСОВИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ТВЪРДО ТЯЛО И СИСТЕМИ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. МАСОВИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ТВЪРДО ТЯЛО И СИСТЕМИ Учебни въпроси: Механична система.Сили в механичната система. Масов център. Теорема за движение на масовия център. Масови инерционни моменти. Теорема на Щайнер. Инерционен елипсоид. Главни инерционни оси.

  2. 1. Механична система 1.1Определение: Съвкупност от тела (или материални точки), движението на всяка от които зависи от положението и движението на всички останали. • Съществено свойство на механичната система е взаимодействието между елементите й. (Свободни и не свободни механични системи). • Примери: • слънцето и планетите от слънчевата система; • Всеки механизъм или машина (изменяеми системи); • всяка система от подвижно свързани тела (и/или точки) – дискретна система. • неизменяеми конструкции (неизменяема система); • всеки континуум (непрекъсната среда) - абсолютно твърдо тяло, еластично тяло и др. Обратни примери – ято птици, група самолети и др.

  3. 1.2 Връзки • Движението на елементите на не свободните механични системи се ограничава от наложените на тях връзки - геометрични или кинематични ограничения върху движението им. • Материалния израз на дадена геометрична връзка е тяло, което може да бъде конструктивно различно оформено – повърхнина, прът, въже, релса, лагер и др. • Тези връзки могат да налага различен брой ограничения и по този признак те се определят в 5 класа: І клас – налагат едно ограничение, ІІ клас – две,........ .V клас – пет. • Броят на ограниченията наложени на системата ще бъде: • S = ∑i.pi - за система само с геометрични връзки. • Примери: сферични стави, лагери, плъзгащи връзки и др. • Математически някой връзки могат да се изразят с равенства или неравенства – уравнения на връзките.

  4. едностранна 2 2 2 2 2 2 y O y l x O 2 2 2 2 x M 1.3 Класификация на връзките 1.3.1.Геометрични и кинематични: геометрични – налагат ограничения върху относителното положение на елементите (съдържат само координатите на точките); кинематични – съдържат както координатите, така и времето или скоростта. • Примери: 1) махало на не разтеглива нишка. x + y ≤ l 2) махало с прът. x + y = l – двустранна. 3) изтегляне на кофа с вода – кинематична. OM = l0 – ct - закон за скъсяване на въжето. x + y + z = (l0 – ct) f (x,y,z,t) = 0 -нестационарна 1) и 2) - стационарни.

  5. xO1= r.ω= r.φили: xO1- r.φ = 0;yO1= 0 - кинематичнавръзка dxO1= r.dφ или: xO1= r.φ;yO1= r – кинематичната връзка се превърна в геометрична. Тази връзка също така е и ХОЛОНОМНА! xO1-r.ωy=0, yO1+ r.ωx=0, zO1=0. 1 2 3 Равенството 3 очевидно се интегрира - zO1=r. Но равенствата 1 и 2 не могат да се интегрират. Защо? Следователно уравненията на връзката зависят от скоростта и не допускат интегриране. Връзката е НЕХОЛОНОМНА! Z y Y O1 O vo1=xo1 O A x A X Z1 O1 Y1 X1 1.3.2 Холономни и нехолономни връзки r

  6. 1.4 Степени на свобода на механична система • Ако една система има n броя тела (звена) и ако всяко от тях е напълно свободно в пространството, тази система ще има Н = 6.n степени на свобода. Ако тези тела извършват равнинно движение системата ще има Н = 3.n степени на свобода. За система от n материални точки – H = 3.n • Но в една механична система има наложени S брояограничения (отнети степени на свобода), наложени от връзките. • Следователно, степените на свобода на механична система ще бъдат: h = 3n – S (за система от точки), h = H – S = 6.n - ∑i.pi – за пространствени системи h = 3n – 2p5 – p4(за равнинни механични системи). В най-общият случай h = 6n – S*, където S* e сумата от всички видове връзки (Холономни, нехолономни ..и т.н).

  7. 1.5 Сили действащи върху елементите на механична система. • Вътрешни и външни сили. Силите с които си взаимодейства елементите на системата и/или които възникват по време на движението са вътрешни (реакции на връзките, на триене и др.) Важно свойство: Главният вектор на всички вътрешни сили и главният момент са равни на нула. • Инерционни сили! Силите, които се прилагат на системата от външни източници или системи се наричат външни (двигателни, външни съпротивителни сили и моменти). • Активни (приложени) и реактивни (възникващи).

  8. 1.6 Определяне на реакциите във връзките • Принцип на освобождаване на връзките – Мислено се премахват връзките между елементите на механичната система и действието им се заменя с реакциите във връзките. • Принцип на Даламбер – Към външните сили се прибавя и инерционната и тялото (звеното, точката) се счита в равновесие под действието на всички приложени сили, включително и реакциите. • Условия за статична определимост – Броят на уравненията за равновесие да бъде равен на броя на неизвестните параметри на реакциите. • Пример: Коляно-мотовилков механизъм.

  9. 2. Масов център. Теорема за движение на масовия център. Масата на едно хомогенно тяло се определя с изразите: m = V.ρ= G/g = .V/g, където: V – обем на тялото, ρ – плътност, G – сила на теглото, g – земното ускорение,  - специфично тегло. Масов център на механична система от n материални точки е тази точка, положението на която спрямо произволна координатна система се определя от радиус вектора: [1] Ако механичната система е твърдо тяло масовият му център се определя от зависимостите:Примери. [2]

  10. Теорема за движение на масовия център Теорема: Движението на механична система може да се сведе до движение на една точка – масовия център, в който е съсредоточена цялата маса на системата и действието на всички външни сили. Доказателство: Диференцираме [1] два пъти и получаваме: [3] тук:rc = ac, ri = ai , mi.ai = Fi(външни)+Fj(вътр.), тогава: ∑ mi.ai= ∑ Fi(външни)+∑ Fj(вътр.), където: ∑ Fj(вътр.)= 0. Окончателно: m.ac = ∑ Fi(външни). [4] Уравнението [4] може да се проектира на трите оси на правоъгълна координатна система и да се получат з диференциални уравнения за движение на масовия център. Следствие: Ако сумата от силите е нула!?

  11. 3.Масови инерционни моменти. Теорема на Щайнер. Масови (инерционни характеристики) – маса и масов инерционен момент. Инерционните моменти съдържат два компонента – маса и разстояние. Примери: Значението им при различни движения – транслация, ротация и общо движение. 3.1 Статични моменти (моменти от І род). Статичният момент е масова характеристика, която показва как е разпределена масата на елементите на механичната система пространствено спрямо центъра на координатната система и няма отношение към движението. Статичните моменти се изразяват с релацията: ∑mi.ri = m.rc , или: ∑mi.xi = m.xc ; ∑mi.yi = m.yc ; ∑mi.zi = m.zc . А за идеално твърдо тяло: ∫r.dm = m.rc; или: ∫x.dm = m.xc ,∫y.dm = m.yc,∫z.dm = m.zc.

  12. Статични моменти – тълкуване. Координатите на масовия център се определят с изразите: [5] Числителите в равенството [5] всъщност са статичните моменти. От това следва че: Акоxc = 0, yc = 0, zc = 0 или началото на координатната система съвпада с масовия център, то статичните моменти ще бъдат равни на нула. И обратно – ако статичните моменти са равни на нула, следва че масовият център е начало на координатната система. Същото се отнася и за статичните моменти на идеално твърдо тяло.

  13. 3.2 Масови инерционни моменти (от ІІ род). 3.2.1 Масовите инерционни моменти характеризират разпределението на масите спрямо ос, точка или равнина в механичните системи от материални точки и в твърдите тела. Те силно влияят на поведението на механичните системи в движение или покой (за разлика от статичните моменти). Масовите инерционни моменти на система от точки се определят със сумата от произведенията на масите на точките с квадратите от разстоянията им съответно до някакъв полюс О, ос s и равнина q: [6] за материални точки за твърди тела

  14. 3.2.2 Инерционни моменти спрямо координатните оси. Инерционни радиуси. Точката с маса mi е част от механична система. Инерционният момент на системата спрямо оста z ще бъде: Jz = ∑mi.hi, но hi = xi + yi, следователно: Jz = ∑mi.(xi + yi ); по аналогичен начин за Jxи Jy се получава: Jx = ∑mi.(yi + zi );Jy = ∑mi.(xi + zi ); Инерционните моменти се изразяват и с т.нар. инерционни радиуси: Jx = m.ix, Jy = m.iy , Jz = m.iz . По същият начин се изразяват инерционните моменти и спрямо полюс, ос и равнина: JO = m.iO,Js = m.is, Jq = m.iq . или: z hi zi ri mi y O hi 2 xi 2 2 yi 2 2 x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

  15. z z1 d hi1 hi mi O1≡C O y(y1) xi 2 2 yi1 2 2 2 2 x yi x1 2 2 2 3.3 Теорема на Щайнер (Хюйгенс-Щайнер). 3.3.1 Инерционни моменти спрямо успоредни оси. Координатните оси Ох1, Оу1, Оz1 са централни оси – преминават през масовия център С. Точка с маса mi e eлемент на механична система. Известен е Jz1. Търсим Jz. Jz = ∑mi.hi . Но: hi = xi +(yi1 + d ) = xi + yi1 + 2yi1d + d Като заместим hi в израза за Jz се получава: Jz = ∑mi.(xi + yi1) + 2d ∑miyi1 + d ∑mi .Тогава: = JCz1 = 0 =m.d Jz = JCz1 + m.d [7] 2 2 2

  16. Теорема на Щайнер. • Зависимостта [7] доказва и изразява теоремата на Щайнер: Масовият инерционен момент на тяло(механична система от материални точки) спрямо ос, която е успоредна на централна ос, е равен на сумата от инерционния момент спрямо централната ос и произведението на масата на тялото (системата) с квадрата на разстоянието между двете оси. От тази теорема следва, че инерционният момент спрямо централната ос е най-малък измежду инерционните моменти, които съответстват на всички оси, успоредни на тази ос. Аналогично се доказва, че теоремата на Щайнер е валидна и има същия израз и за инерционни моменти спрямо полюс и равнина.

  17. 3.3.2 Инерционни моменти спрямо завъртени оси Известни са всички инерционни моменти спрямо координатните оси. Да намерим осевеият момент спрямо произволна ос s, минаваща през т.О и завъртяна спрямо другите оси. z s K  hi M θ mi α e β r zi O y xi yi x

  18. Инерционни моменти спрямо завъртени оси – продължение. [8] Зависимостта [8] определя значението на осовият момент спрямо завъртяна ос, която минава през същата точка О. Можем да изследваме изменението на момента Js, когато се променя оста – изменят се посочните косинуси. За целта по оста s нанасяме отсечката ON .

  19. C z B b y c O a A x 4. Инерционен елипсоид. Главни инерционни оси. [9] Полагаме: Оси на елипсоида: ОА = а, ОВ = в, ОС = с. Извод: Когато центробежните инерционни моменти са равни на нула, осите x, y, z са главни инерционни оси. ( и обратно) Пример: балансиране на ротори

  20. Въпроси ?

More Related