Prof. Dr. Halil Ä°brahim KarakaÅŸ BaÅŸkent Ãœniversitesi

1. TBF 122 - Genel Matematik IIDERS – 8 : Çift Katlı İntegral Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

2. Ters Türevler. F, Gve f iki değişkenli fonksiyonlar; D bu fonksiyonların her birinin tanım kümesinde kapsanan bir küme olsun. Her (x,y)D için Fx(x,y)=f(x,y) ise, Ffonksi-yonunafninD kümesinde xe göre ters türevidenir. Benzer şekilde, her (x,y)D için Gy(x,y)=f(x,y) ise, G fonksiyonuna f ninD kümesinde y ye göre ters türevidenir. Ters türevlerden söz edilirken herhangi bir kümeye referans verilmemişse, D kümesi olarak ters türev olma özelliğinin geçerli olduğu en geniş küme alınır. Örnek 1. , ve denklemleri ile tanımlanmış fonksiyonlar için F, fninxegöre ters türevidir, çünkü Gfonksiyonufninyye göre ters türevidir, çünkü dir.

3. Bir değişkenli fonksiyonlarda ters türevle ilgili tartışmalarımızı anımsayarak şu sonuçla-ra ulaşabiliriz: • F1ve F2, aynı ffonksiyonunun xe göre ters türevleri ise, öyle bir (bir değişkenli) Bfonksiyonu vardır ki, F2(x,y)= F1(x,y) + B(y) dir. • G1ve G2, aynıffonksiyonunun y ye göre ters türevleri ise, öyle bir (bir değişkenli) Cfonksiyonu vardır ki, G2(x,y)= G1(x,y) + C(x) dir. Yukarıdaki ifadelerde, B ve C sabit fonksiyonlar olabilir. f fonksiyonunun xe göre tüm ters türevlerinin ailesi f ninxe görebelirsiz integralidiye adlandırılır ve ile gösterilir. Böylece, fninxe göre bir ters türevi F ise, Bbir değişkenli veya sabit bir fonksiyon olmak üzere dir.

4. ffonksiyonunun y ye göre tüm ters türevlerinin ailesi fninyye görebelirsiz integralidiye adlandırılır ve ile gösterilir. Böylece, fninyye göre bir ters türevi G ise, Cbir değişkenli veya sabit bir fonksiyon olmak üzere olur. xe ve yye göre belirsiz integral tanımları aşağıdaki gibi özetlenebilir: Herhangi bir değişkene göre integral hesabı yapılırken diğer değişken(ler) sabit kabul edilerek bir değişkenli durumda olduğu gibi hesap yapılır.

5. fonksiyonununxe ve yye göre belirsiz integrallerini hesaplayalım. Örnek. fonksiyonununxe ve yye göre belirsiz integrallerini hesaplayalım. Örnek.

6. Belirsiz integral kullanılarak her bir değişkene göre belirli integral düşünülebilir. Eğerfninxe göre bir ters türeviFise, Eğerfninyye göre bir ters türeviG ise, olur. Örnek.

7. Bir belirli integral hesaplanırken integrandın ve ters türevlerinin, integrali belirleyen değişkenin integral limitleri arasında tanımlı olması gerektiği açıktır. Aksi halde, integral tanımsız olur. Örnek. Örnek. u=y , dv=exydy du=dy , v=(1/x)exy Örneklerde görüldüğü üzere, iki değişkenli bir fonksiyonun değişkenlerden birine göre belirli integrali sadece diğer değişkene bağlı bir ifade verir. Başka bir deyişle, iki değişkenli bir fonksiyonun değişkenlerden birine göre belirli integrali diğer değişkeni bağımsız değişken kabul eden bir değişkenli bir fonksiyon verir. Dolayısıyla, iki değişkenli bir fonksiyonun değişkenlerden birine göre belirli integrali hesaplandıktan sonra elde edilen fonksiyonun da diğer değişkene göre integrali hesaplanmak suretiyle ardışık integrallerden söz edilebilir.

8. ardışık integralinin hesabı, önce köşeli parantez içindeki x e göre integral hesaplanıp bulunan ifadenin y ye göre integrali hesaplanarak yapılır. Daha önce hesaplandığı gibi, Örnek. olduğundan Aynı integrand ile, integral sınırları da uygun şekilde değiştirilmek suretiyle ters sırada yazılmış olan ardışık integrali hesaplayalım:

9. Son örnekte ardışık integralin değişkenlere göre hesap sırası değiştirildiği zaman integralin aynı değeri verdiğine dikkat ediniz. Örnek. Son iki örnekte hesaplanan ardışık integrallerde değişkenlere göre integral sırası değiştirilince integrallerin değerinin değişmediğini görüyoruz. Bu sonuç, bir tesadüf değildir ve sonraki kesimde dikdörtgensel bölgeler üzerinden çift katlı integral tanımı için temel oluşturacaktır. Bundan böyle ardışık integralleri yazarken önceki örneklerde kullandığımız köşeli parantez gösterimini yazmayacağız, çünkü köşeli parantez yazılmasa da işlemlerin hangi sırada ve nasıl yapılacağı anlaşılmaktadır.

10. Bundan böyle ardışık integralleri yazarken önceki örneklerde kullandığımız köşeli parantez gösterimini yazmayacağız, çünkü köşeli parantez yazılmasa da işlemlerin hangi sırada ve nasıl yapılacağı anlaşılmaktadır. Daha açık bir ifade ile

11. y (a,d) (b,d) d D c (b,c) (a,c) a x b (0,0) a, b, c, d  ℝ vea < b, c < dolmak üzere Dikdörtgensel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller. olarak tanımlanan (ve yandaki şekilde gösterilen) Dkümesinea, b, c vedsayılarının belirlediği dikdörtgensel bölgedenir. Bizim ele alacağımız ve pratikte karşılaşılan pek çok iki değişkenli fonksiyon şu özelliğe sahiptir:a, b, c, d  ℝ ve a < b, c < dolmak üzere Yukarıdaki ardışık integrallerin ortak değerine ffonksiyonunun a, b, c,dsayılarının belirlediğiDdikdörtgensel bölgesi üzerinde çift katlı integralidenir ve bu integral ile gösterilir. Bu gösterimde f(x,y)ye integrand,Dyeintegrasyon bölgesi denir. dAgös-terimi, integralin düzlemde iki boyutlu bir bölge üzerinde olduğunu belirtir.

12. Tekrar etmek gerekirse, olmak üzere, Dikdörtgensel bölgeler üzerinde çift katlı integral tanımı bir değişkenli durumdakine benzer Riemann toplamlarıyla daha genel biçimde verilebilir. Bizim ele alacağımız ve pratikte karşılaşılan pek çok fonksiyon için Riemann toplamları ile verilen tanım ve ardışık integraller olarak verilen tanım çakışır. Örnek. olmak üzere,

13. Örnek. olmak üzere, Örnek. olmak üzere,

14. y y=n(x) D y=m(x) x a b (0,0) Dikdörtgensel bölgeler üzerinde yapılmış olan çift katlı integral tanımının daha genel bölgelere genişletilmesini düşünmek doğaldır. Bu bağlamda ilk akla gelebilecek bölgeler düzgün (regüler) bölgelerdir. Düzgün Bölgeler. m, nfonksiyonlar,a, breel sayılar, a < b ve her x [a,b] içinm(x) ≤ n(x) olmak üzere Kartezyen düzlemde biçiminde ifade edilebilen D bölgesine birdüzgünx-bölgesi denir. Bir düzgün x-bölgesinin görünümü sağda gösterilmiştir: Kolayca görülebileceği üzere, her dikdörtgensel bölge bir düzgün x-bölgesidir. Dikdört-gensel olmayan düzgün x-bölgelerine örnekler vereceğiz.

15. Örnek. D (3,3) y y (1,1) y= x Örnek. y = xdoğrusunun altında, y = (x-2)2parabolünün yukarısında bulunan noktaların oluşturduğu bölge bir düzgünx-bölgesidirve yandaki şekilde taranarak göste-rilmiştir. x 1 3 (0,0) D y= (x-2)2 (3,2 ) (1,2) x 4 1 2 (0,0) (x-2)2 = x x2 -5x + 4 = 0  (x-1)(x-4) = 0 x = 1 veya x = 4. (1,1) (4,4)

16. y d x=r(y) x=s(y) D c x (0,0) r, sfonksiyonlar, c, dreel sayılar, c < d ve her y [c,d] içinr(y) ≤ s(y) olmak üzere Kartezyen düzlemde bölgesine bir düzgün y-bölgesi denir. Bir düzgün y-bölgesinin görünümü sağda gösterilmiştir: Kolayca görülebileceği üzere, her dikdörtgensel bölge bir düzgün y-bölgesidir. Dikdört-gensel olmayan düzgün y-bölgelerine örnekler vereceğiz.

17. Örnek. y (1,2) x= -y/2+7 (y=-2x+14) (4,4) (5,4) x= y2/4 4 D 2 (6,2) x (0,0)

18. Örnek. x = y2parabolünün sağındave y = x-2 doğrusunun solunda bulunan noktaların oluşturduğu bölge bir düzgün y-bölgesidir ve aşağıdaki şekilde taranarak gösterilmiştir. y = x-2 , x = y2y = y2 -2 y2 – y -2 = 0  (y+1)(y-2) = 0 y = -1 veya y = 2. y (4,2) 2 x= y2 x= y+2 D x (0,0) -1 (1,-1)

19. Dikdörtgensel bölgelerin hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesi olarak düşünülebileceğini belirtmiştik. Dikdörtgensel olmayan bazı bölgeler de hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesiolarak düşünülebilir. Örnek. in grafiğinin altında ve y=x2parabolünün yukarısında kalan bölge x=0 veya x=1 y Düzgünx-bölgesi olarak 1 D Düzgüny-bölgesiolarak x (0,0) 1

21. y y=n(x) D y=m(x) a x (0,0) b Düzgün Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller. Düzgün bölgeler üzerinde çift katlı integral, dikdörtgensel bölgeler üzerinde tanımlandığı gibi ardışık (tek katlı) integraller olarak tanımlanır. İki değişkenli bir fonksiyonun biçiminde verilmiş düzgün x-bölgesi üzerinde integrali ardışık integraller olarak Bu tanımda, köşeli parantez içindeki integralin sınırları xdeğiş-kenine bağlı ifadeler veya sabitler olup integral hesaplanınca sadece xdeğişkenine bağlı veya sabit bir ifade elde edilir. eşitliği ile tanımlanır. Elde edilen bu ifadenin x değişkenine göre [a,b] kapalı aralığı üzerinde integrali, ffonksiyonunun D bölgesi üzerinde integralidir. Her dikdörtgensel bölgenin bir düzgün x-bölgesi olduğunu belirtmiştik. Eğer D bölgesi birdikdörtgensel bölge ise, daha önce verilen tanım yeni tanım ile çakışır.

22. Bundan böyle, dikdörtgensel bölgeler için yaptığımız gibi, düzgün x-bölgeleri için de köşeli parantezi yazmadan Düzgün y-bölgeleri üzerinde çift katlı integral hesaplanırken önce xdeğiş-kenine göre, sonra ydeğişkeninegöre integral hesaplanacağını unutmamalıyız.- yazacağız. Örnek.

23. y 2 (4,2) x= y2 x= y+2 D x (0,0) -1 ■ (1,-1) Örnek. x = y2parabolünün sağında ve y = x - 2 doğrusunun solunda bulunan noktaların oluşturduğu Dbölgesiiçin integralini hesaplayalım. Daha önce görüldüğü üzere, D bölgesi bir düzgün y-bölgesidir.

24. Daha önce bazı örneklerde görüldüğü üzere hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesi olan bölgeler vardır. Bu tür bölgeler üzerinde bazı fonksiyon-larınintegrali hesaplanırken bölgenin düzgün x-bölgesi veya düzgün y-bölgesi olarak düşünülmesi önem kazanır. Çünkü, bazı durumlarda düzgün x-bölgesi gösterimi kullanıldığında analitik olarak hesaplanamayan integraller, düzgün y-bölgesi gösterimine geçilince kolayca hesaplanabilmektedir. Benzer şekilde, düzgün y-bölgesi gösterimi kullanıldığında analitik olarak hesaplanamayan integraller, düzgün x-bölgesi gösterimine geçilince kolayca hesaplanabilmektedir. Bir gösterimden diğer gösterime geçmek, çift katlı integralde integral sırasını değiştirmeye karşılık gelmektedir. Şimdi bu hususun ayrıntıları ve örnekleri verilecektir.

26. Hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesi olan dikdörtgensel bölgeler üzerinde önce hangi değişkene göre hesap yapılırsa yapılsın, ardışık integralin değerinin değişmediğini görmüş ve dikdörtgensel bölgeler üzerinde çift katlı integral tanımını bu gözleme dayandırmıştık. İntegral Sırasının Değiştirilmesi. Düzlemde dikdörtgensel olmayan bazı bölgelerin de hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesi olduğunu görmüştük. Bu tür bölgeler üzerinde bir çift katlı integral, söz konusu bölge düzgün x-bölgesi olarak düşünülse de, düzgün y-bölgesi olarak düşünülse de aynı değere sahiptir. Kanıtlanabilir ki, uygun koşullarda eğer ise dir.

27. y 1 D x (0,0) 1 Aşağıdaki şekilde gösterilen Dbölgesi hem düzgün x-bölgesi, hem de düzgün y-bölgesidir. Örnek. integralini her iki gös-terim için ayrı ayrı hesaplayalım ve integralin değerinin değişme-diğini görelim. Düzgün x-bölgesi olarak Düzgün y-bölgesi olarak

28. D, y-eksenininsağında,y = xdoğrusunun yukarısında ve y = 1 doğrusunun aşağısında kalan noktaların oluşturduğu bölge olmak üzere Örnek. y integralini hesaplayalım. 1 D bölgesi yandaki şekilde gösterilmiş olup hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesidir. D Düzgün x-bölgesi olarak x (0,0) 1 ninyye göre ters türevi olan bir fonksiyon bulunamayacağından bu integrali yazıldığı biçimiyle hesaplamak mümkün değildir. Düzgün y-bölgesi olarak olur ve integral olarak bulunur.

29. Örnek. Bu integralin verildiği biçimiyle hesaplanması mümkün değildir. Çünkü, kitabımızın kapsamı dahilinde ninx e göre ters türevi olan bir fonksiyon yoktur. O halde, integral sırasını değiştirmeyi düşünmeliyiz. Verilen integralinintegrasyon bölgesi bir düzgün y-bölgesidir: y D bölgesinin düzgün x-bölgesi olup olmadığını görmek için bir şekil çizmek yararlı ola-caktır. Yandaki şekilde görül-düğü gibi 1 D x (0,0) 1 D bir düzgün x-bölgesi dir ve

30. y d D2 c D1 x a (0,0) b Düzgün Olmayan Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegral. Düzgün olmayan bölgelerin çoğu düzgün bölgelerin birleşimi olarak ifade edilebilir. Eğer bir bölge düzgün bölgelerin birleşimi ise ve birleşimi oluşturan düzgün parçaların sınır noktaları dışında ortak noktası yoksa, o bölge üzerinde bir fonksiyonun (çift katlı) integrali ayrı ayrı düzgün parçalar üzerindeki integrallerin toplamıdır. Örneğin, şekilde görüldüğü gibi, D1 ve D2 sınır noktaları dışında ortak noktaları bu-lunmayan iki düzgün bölge ve D = D1D2 ise, olarak tanımlanır.

31. Örnek. D, y = 2x – 4 doğrusunun ve y = – x +2 doğrusunun yukarısında, y = xdoğrusu-nun aşağısında kalan noktaların oluşturduğu bölge olmak üzere Önce, tarif edilen integrasyon bölgesinin şekli y y 4 D D2 2 Şekilde görüldüğü gibi, Dbölgesi düşey bir doğru parçası ile her ikisi de düzgün x-bölgesi olan iki parçaya ayrılabilir: (0,0) D1 (0,0) 1 2 4 x x 4 2

32. y D2 D1 (0,0) 1 2 4 x

34. Çift Katlı İntegral İle Alan ve Hacim Hesabı. y y=n(x) D D bölgesinin alanı y=m(x) a x (0,0) b y = xdoğrusu ile y = 4x - x2 parabolü arasında kalan bölgenin alanı Örnek. y D x = 4x - x2  x =0 veya x = 3. y=x y=4x-x2 x 4 3 (0,0)

35. Örnek. y = x +1 doğrusu ile xy = 2 eğrisinin alt tarafında ve y = 1 doğrusunun yukarısında kalan bölgenin alanı. x=2/y y y=x+1 (x=y-1) 2 x(x+1)=2  x=-2 veya x=1 D y=1 1 x (0,0) 1 2

36. z (-1,1,0) y (1,-1,0) (1,1,0) ( ,0 ) x Düzlemde bir D bölgesi üzerinde tanımlı, negatif değer almayan iki değişkenli bir ffonksiyonu için fnin grafiği ile Dbölgesi arasında kalan hacim formülü ile belirlenir. yüzeyi ile Örnek. dikdörtgensel bölgesi arasın-da kalan hacim

37. x=-2y+2 (y=-(1/2)x+1) y (0,1) D (2,0) x (0,0) Köşeleri (0,0), (2,0) ve (0,1) noktaları olan D üçgeni ile z = 15x3yyüzeyi arasında kalan hacmi bulalım. Örnek.