П.Р.Зенкевич,
Download
1 / 12

П.Р.Зенкевич, А.В.Бархударян - PowerPoint PPT Presentation


  • 78 Views
  • Uploaded on

П.Р.Зенкевич, А.В.Бархударян. Влияние критерия Нехорошева на динамическую апертуру кольцевых накопителей с системой октупольных линз. Введение.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' П.Р.Зенкевич, А.В.Бархударян' - uttara


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

П.Р.Зенкевич, А.В.Бархударян

Влияние критерия Нехорошева на динамическую апертуру кольцевых накопителей с системой октупольных линз


Введение.

  • Октупольные линзы часто включаютс в структуру кольцевых накопителей для создания зависимости частот поперечных колебаний частиц от амплитуды колебаний. Это необходимо для стабилизации поперечных когерентных неустойчивостей ;;однако, как показали последние исследования динамической апертуры (ДА) в синхротроне СИС100 (Дармштадт, Германия), динамическая апертура ДА магнитного кольца при этом уменьшается.

  • Советский математик Н.Н.Нехорошев показал, что при выполнении определенных условий (критерий Нехорошева) динамическая система, описывающая одиночный нелинейный резонанс, устойчива (устойчивость по Нехорошеву).

    Ю.Сеничев показал, что ДА кольца, в котором включена система коррекции хроматичности, может быть улучшена при установке двух семейств октупольных линз, удовлетворяющих критерия Нехорошева[4]. При этом остается открытым вопрос об учете влиянии ошибок магнитного поля на ДА.

    Исследование этого вопроса и является целью настоящей работы.

    Были спроектированы две структуры: одна с сильной модуляцией бета-функции, что позволяет выполнить критерий Нехорошева, и вторая структура, в которой этот критерий не выполнен. Для обеих структур рассчитана зависимость ДА от силы тока в октупольных обмотках при наличии систематических и случайных ошибок магнитного поля. Ряд параметров колец ( длина, энергия , бетатронная частота ) совпадали; основное отличие составлял разный набег фазы на период структуры.


Критерий Нехорошева 1.

  • Советский математик Н.Н.Нехорошев показал, что при выполнении определенных условий (критерий Нехорошева) динамическая система, описывающая одиночный нелинейный резонанс, устойчива (устойчивость по Нехорошеву). Н.Нехорошев исследовал устойчивость динамической системы с гамильтонианом в переменных действие-фаза

    где - малое возмущение.

    Эта динамическая система описывает одиночный нелинейный резонанс в канонических переменных.

  • Нехорошев сформулировал критерий устойчивости динамической системы следующим образом. Система уравнений:

    не должна иметь корней в области действительных чисел (за исключением тривиального решения . Мы видим, что устойчивость такой системы зависит только от свойств невозмущенного Гамильтониана

    Каковы же должны быть эти свойства?


Критерий Нехорошева 2.

  • Рассмотрим квадратичный двумерный гамильтониан:

    Тогда второе уравнение системы (2) принимает вид:

    Эта квадратичная форма не имеет действительных корней при условии:

  • В стандартных обозначениях MADX , где

    бетатронные частоты поперечных колебаний. В этих обозначениях критерий Нехорошева для поперечных колебаний в магнитном кольце можно записать в следующем виде:


Семейства октупольных линз.

  • В сглаженном приближении такой Гамильтониан можно создать с помощью октупольных линз. Рассмотрим два симметричных семейства октуполей (одно в горизонтальной плоскости, другой в вертикальной). Число октуполей , сила октуполей , значения β функций на месте расположения октуполей : . В этом случае получим:

  • Подставляя эти формулы в критерий Нехорошева, получим следующее условие:

  • Решением неравенства (9) является условие

  • Задачей настоящей работы является проверка влияния критерия Нехорошева на динамическую апертуру (ДА) кольца, включающего два семейства октупольных линз , с учетом влияния систематических и случайных ошибок магнитного поля.




Рис.1. Структура ячейки, октуполи и βфункции в периоде структуры 1-го кольца


Рис.2. Структура ячейки, октуполи и βфункции в периоде структуры 2-го кольца.

Вычисления ангармонических коэффициентов с помощью программы MADX показывают выполнение критерия Нехорошева в 1-м кольце (сильная модуляция βфункций). Во втором кольце критерий Нехорошева не выполнен.


Динамическая апертура колец 1.

Рис.3. Динамическая апертура 1-го кольца.

● − N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 600м-4, □ − N∙K3 = 1200м-4 , N = N1 = N2 = 36

Рис.4. Динамическая апертура 2-го кольца. ● − N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 600м-4 , □ − N∙K3 = 1200м-4 , N = N1 = N2 = 72.

Расчеты ДА проведены при наличии регулярной нелинейности в магнитной структуре кольца с помощью программы MADX. Коэффициенты нелинейности заданы такие же, как в проекте SIS100. Мы видим, что в обоих кольцах динамическая апертура падает с ростом тока в октупольных обмотках; однако, в случае удовлетворения КН это падение более медленное (25 % в первом кольце и 60% во втором).


Динамическая апертура колец 2.

  • Динамическая апертура 1-го кольца при наличии флуктуаций полей в дипольных магнитах и квадрупольных линзах.● − N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 600м-4, □ − N∙K3 = 1200м-4 , N = N1 = N2 = 36.

Динамическая апертура 2-го кольца при наличии флуктуаций полей в дипольных магнитах и квадрупольных линзах. ● − N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 1200м-4, □ − N∙K3 = 2400м-4 , N = N1 = N2 = 72.


Дискуссия.

  • Ускоритель отличается от рассмотренной Н.Н.Нехорошевым простейшей динамической системы рядом особенностей:

  • Гамильтониан для семейств октупольных линз не является точным: он получен с помощью метода усреднения в первом порядке по теории возмущений. Наряду с членами, включенными в квадратичный двумерный гамильтониан , он содержит также октупольные гармоники., которые уменьшают динамическую апертуру даже в отсутствие возмущений магнитного поля

    2 Возмущение содержит широкий спектр гармоник и не сводится к члену ; в общем случае при пересечении резонансов возмущенный гамильтониан зависит также от продольной переменной s, а в этом случае теорема Нехрошева не действует.

  • Вероятно, именно в силу этих особенностей октупольные семейства ухудшают ДА даже при выполнении критерия Нехорошева. Эти результаты, строго говоря, относятся только к рассмотренному примеру. Следует, однако, ожидать, что этот вывод справедлив и для колец с другой магнитной структур ой.

  • Заметим, что первое возражение (неточность Гамильтониана) может быть снято при специальном выборе магнитной структуры (идея С.Нагайцева и Co). Второе возражение, однако, остается в силе.

  • Призываем молодое поколение продолжить исследование этой увлекательной темы!


ad