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SISTEMA DIÉDRICO. El Plano. Ejercicio Nº 77 Determinar si los puntos A'-A'' y B'-B'' pertenecen a un plano α dado Datos el plano a y los puntos A'-A'' y B'-B''.

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Ejercicio Nº 77Determinar si los puntos A'-A'' y B'-B'' pertenecen a un plano α dado Datos el plano a y los puntos A'-A'' y B'-B''.


1º Trazamos la frontal del plano r'-r'' por el punto A'-A'', por la proyección horizontal A' trazamos la paralela a la LT, r' por la traza Hr trazamos la perpendicular a LT donde corta a esta, la paralela r'' a α2 y vemos como era previsible que no pasa por A'' pues el punto que tiene sus proyecciones sobre las trazas homónimas del plano no pertenece al mismo, excepto que el plano sea de perfil.


2º Trazamos la frontal del plano s'-s'' por el punto B'-B'', por la proyección horizontal B' trazamos la paralela a la LT, s' por Hs trazamos la perpendicular a LT donde corta a esta, la paralela s'' a α2 si esta pasa por B'' como ocurre el punto pertenece al plano.


Ejercicio Nº 78Dada la proyección horizontal A' de un punto situado en un plano α1- α 2, determinar la otra proyección A''.Datos el plano α y la proyección A'


1 trazamos por a la proyecci n r de la recta r
1º Trazamos por A' la proyección r' de la recta r.


3 determinamos las trazas hr y vr de la recta r y trazamos la otra proyecci n de r r
3º Determinamos las trazas Hr y Vr de la recta r y trazamos la otra proyección de r (r'').


4º Por A' trazamos una perpendicular a LT y donde corte a la proyección vertical de r (r'') estará situada la otra proyección de A (A'').


5º También se podría solucionar hallando la tercera proyección del plano. Trazamos una recta vertical cualquiera PV.


6º Hacemos centro en la intersección con LT trazamos un arco de circunferencia de radio donde α1 corta a dicha recta, llevamos esta sobre LT.


7 trazamos 3
7º Trazamos arco de circunferencia de radio donde α3.


8 llevamos a sobre pv y seguidamente trazamos el arco de circunferencia hasta lt
8º Llevamos arco de circunferencia de radio donde A' sobre PV y seguidamente trazamos el arco de circunferencia hasta LT.


9 trazamos la perpendicular a lt hasta 3 y determinamos a y seguidamente a
9º Trazamos la perpendicular a LT hasta arco de circunferencia de radio donde α3 y determinamos A''' y seguidamente A''.


Ejercicio Nº 79 arco de circunferencia de radio donde Dado un plano por dos rectas r'-r'' y s'-s'' que se cortan, trazar por un punto A'-A'' de r'-r'' una horizontal del plano sin utilizar las trazas de este.Datos las recta r= r'-r''y s= s'-s'' y el punto A'-A''


1 trazamos la horizontal t por a que corta a s en el punto b
1º Trazamos la horizontal arco de circunferencia de radio donde t'' por A'' que corta a s'' en el punto B''.


2 por b trazamos la perpendicular a lt que corta en b a s
2º Por arco de circunferencia de radio donde B'' trazamos la perpendicular a LT que corta en B' a s'.


3 unimos a y b y tenemos la otra proyecci n t de la horizontal que quer amos trazar t t
3º Unimos arco de circunferencia de radio donde A' y B' y tenemos la otra proyección t' de la horizontal que queríamos trazar t'-t''.


Ejercicio Nº 80 arco de circunferencia de radio donde Hallar las trazas de un plano, determinado por dos rectas r'-r'' y s'-s'' paralelas a la línea de tierraDatos las rectas r'-r'' y s'-s''.


1 situamos dos puntos uno sobre la recta r r punto a a y otro sobre la recta s s punto b b
1º Situamos dos puntos, uno sobre la recta arco de circunferencia de radio donde r'-r'' punto A'-A'' y otro sobre la recta s'-s'' punto B'-B''.


2º Unimos las proyecciones homónimas de estos puntos arco de circunferencia de radio donde A' con B' y A'' con B'' y obtenemos la recta t'-t'' que corta a las rectas dadas r'-r'' y s'-s''.


3º Hallamos las trazas de la recta arco de circunferencia de radio donde t'-t'', Vt y Ht . Por estas tienen que pasar las trazas del plano que determinan las rectas r'-r'' y s'-s''.


4º Como arco de circunferencia de radio donde r'-r'' y s'-s'' son paralelas a LT el plano solución tiene que ser también paralelo a LT. Por Vt y Ht trazamos α2 y α1 que son las trazas del plano buscado.También se podría determinar las trazas del plano hallando la tercera proyección


Ejercicio Nº 81 arco de circunferencia de radio donde Trazar un plano perpendicular al vertical de proyección, que pase por la recta r'-r'' dada.Datos las recta r= r'-r''


1º El plano resultante al ser perpendicular al Plano vertical de proyección tiene que tener su traza horizontal α1 perpendicular a LT.2º Hallamos las trazas de la recta Vr y Hr


3º Por la traza horizontal vertical de proyección tiene que tener su traza horizontal Hr trazamos una perpendicular a LT y esta es la traza horizontal α1 , del plano buscado.


3º La otra traza tiene que coincidir con vertical de proyección tiene que tener su traza horizontal r'' al ser un plano proyectante vertical, y todos los elementos del plano se proyectan sobre la traza vertical α2 . También vemos que si unimos la traza vertical Vr con el punto de corte de la traza horizontal α1, con la LT, obtenemos la misma solución.


Ejercicio Nº 82 vertical de proyección tiene que tener su traza horizontal Hallar las trazas de un plano, conociendo sus intersecciones r'-r'' y s'-s'' con los bisectores .Datos: las rectas r'-r'' y s'-s''.


1º La intersección de un plano cualquiera vertical de proyección tiene que tener su traza horizontal α con los planos bisectores son rectas de este plano α, en este caso r=r'-r'' y s=s'-s'' basta por lo tanto, trazar otra recta cualquiera que corte a las dos dadas r=r'-r'' y s=s'-s'' y hallar sus trazas, pues tenemos que tener presente que las trazas de r y s coinciden todas en el punto I'-I'' y por lo tanto no podemos trazar el plano solicitado.


2º Situamos un punto vertical de proyección tiene que tener su traza horizontal B'-B'' sobre r'-r'', en nuestro caso vamos a trazar una recta frontal, pero podría ser otra recta cualquiera, por B' trazamos t', paralela a LT que nos determina el punto A'-A'' sobre la recta s'-s''.


3º Unimos las proyecciones vertical de proyección tiene que tener su traza horizontal A'' y con B'' y obtenemos la proyección vertical t'' de la recta frontal buscada.


4º Hallamos la traza de la recta vertical de proyección tiene que tener su traza horizontal t'-t'', Ht. Unimos Ht con la intersección I'-I'' y obtenemos la traza horizontal α1 del plano buscado.


5º Al ser vertical de proyección tiene que tener su traza horizontal t'-t'' una frontal del plano buscado la traza vertical α2 tiene que ser paralela a t'' y pasar por I'-I'', por lo tanto por el punto I'-I'' trazamos una paralela a t'' y obtenemos la traza vertical α2del plano buscado.


Ejercicio Nº 83 vertical de proyección tiene que tener su traza horizontal Determinar las trazas de un plano, determinado por dos rectas r=r'-r'' y s=s'-s'', cuyas trazas se encuentran fuera de los limites del dibujo.


1º Un plano queda determinado por dos rectas que se cortan, dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto I'-I''. 2º Trazamos una recta cualquiera t'-t'' que corte a las rectas dadas, desde un punto A'-A'' de s'-s'' y otro B'-B'' de r'-r'', los unimos y tenemos la recta t'-t'' que corta a las anteriores en los punto A y B.


3º Hallamos las trazas de esta recta dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto t'-t'', Vt-Ht, por las cuales tienen que pasar las trazas α1-α2, del plano solicitado.


4º Se repite el procedimiento con otra recta cualquiera dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto v'-v'' que corte a las rectas dadas en los puntos C'-C'' y D'-D'' y hallamos las trazas Vv- Hv.


5º Unimos las trazas homónimas dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto Vt y Vv y obtenemos la traza α2, si unimos las otras dos Ht y Hv obtenemos la otra traza buscada α1.6º Lo que hemos hecho es utilizar dos rectas cualquiera t'-t'' y v'-v'' que pertenecen al plano solicitado por lo cual sus trazas se encuentran sobre las trazas homónimas del plano (todas las trazas del plano cumplen esta condición)


Ejercicio Nº 84 dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto Hallar las trazas de un plano, conociendo su línea de máxima pendiente m'-m'' si las trazas no se encuentran en los límites del dibujo.Datos: la recta m'-m''.


1º Por un punto cualquiera dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto A'-A'' de la recta m'-m'', trazamos una horizontal del plano buscado h'-h'', la proyección horizontal h' tiene que ser perpendicular a m' pues la traza horizontal del plano que buscamos α tiene que ser perpendicular a m'. Hallamos la traza vertical Vh.


2º Por un punto cualquiera dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto B'-B'' de h'-h'' trazamos una recta r'-r'' paralela a m'-m'' y hallamos sus trazas Vr y Hr, por las que tienen que pasar las trazas vertical y horizontal de plano α


3º Unimos dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto Vh y Vr y tenemos la traza α2 del plano buscado, si unimos el punto de corte de α2 y la LT con la traza Hr obtenemos la traza horizontal α1 del plano que tendrá que ser perpendicular a m' y paralela a h'.


Ejercicio Nº 85 dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto Hallar las trazas de un plano, que pase por la recta r=r'-r'' y corteal plano de perfil a1-a2 según la recta A'-B'-A''B''.


1 hallamos las trazas de la recta r r por las que tiene que pasar el plano que queremos obtener
1º Hallamos las trazas de la recta dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto r'-r'' por las que tiene que pasar el plano que queremos obtener.


2º Por el punto dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto B'-B'' trazamos una horizontal de plano s'-s'' que corte a la recta r'-r''. Por B'' trazamos s'' paralela a LT que corta en C'' a r'', obtenemos C' sobre r'. Unimos B' con C' y tenemos la proyección horizontal s'.


3 obtenemos la traza vs de la recta s s unimos vs con vr y obtenemos la traza vertical 2 del plano
3º Obtenemos la traza dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto Vs de la recta s'-s''. Unimos Vs con Vr y obtenemos la traza vertical β2 del plano.


4 unimos el punto de corte de 2 y lt con la traza hr y obtenemos la traza horizontal 1 del plano
4º Unimos el punto de corte de dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto β2 y LT con la traza Hr y obtenemos la traza horizontal β1 del plano.


5 º La traza horizontal dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto β1 tiene que ser paralela a s'.6º Para que tenga solución el problema es necesario que las rectas se corten, para comprobarlo trazamos por A'-A'' otra horizontal de plano y comprobamos si esta corta a la recta r'-r''.


Ejercicio Nº 86 dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto Hallar las trazas de un plano, conociendo sus trazas verticales α2 y β2 que son paralelas a la línea de tierra, conociendo las proyecciones A'-A'' de un punto de la intersección de ambos.Datos: las trazas α2 y β2 y el punto A'-A''.


1º Por el punto dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto A'-A'' trazamos la recta r'-r'', y la recta h'-h'', las proyecciones verticales de estas rectas están confundidas pero pueden ser otras rectas cualesquiera, que cortan al las trazas de los planos dados α2 y β2.


2 por los puntos de intersecci n vr y vh trazamos perpendiculares a lt
2º Por los puntos de intersección dos rectas paralelas, un punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto Vr y Vh trazamos perpendiculares a LT.


3º Unimos los puntos de corte con la LT con la proyección horizontal A' y tenemos las proyecciones horizontales de las rectas determinamos las trazas horizontales Hr y Hh y tenemos las trazas de la recta.


4º Por horizontal Hr y Hh trazamos paralelas a la LT y obtenemos α1 y β1 que tienen que ser paralelas a LT al ser también paralelas α2 y β2.



6º Otra forma de solución seria hallar la tercera proyección. Trazamos una recta PP perpendicular a LT, determinamos la tercera proyección de A=A'''.


7 unimos los puntos de corte de 2 y 2 con a y obtenemos la tercera proyecci n de la trazas 3 y 3
7º Unimos los puntos de corte de proyección. Trazamos una recta α2 y β2 con A''' y obtenemos la tercera proyección de la trazas α3 y β3.


8 por el punto de corte de 3 y 3 con lt trazamos un arco de circunferencia y hallamos 1 y 1
8º por el punto de corte de proyección. Trazamos una recta α3 y β3 con LT trazamos un arco de circunferencia y hallamos α1 y β1.


Ejercicio Nº 87 proyección. Trazamos una recta Hallar las partes vistas y ocultas del triángulo ABC determinado por tres puntos A, B y C situados en el 1º, 3º, y 2º diedro respectivamente.En la figura podemos ver el ejercicio en el espacio


Datos los puntos a a b b y c c
Datos los puntos proyección. Trazamos una recta A’-A’’, B’-B’’ y C’-C’’.



1º La parte vista de la recta s’-s’’ y t’-t’’. r=r'-r'' es el segmento A-Vr limitado por la traza vertical Vr que es vista por encontrarse en el 1º diedro. Lo mismo en la recta s=s'-s'' la parte vista es el segmento A- Hs que se encuentra también en el 1º diedro. El lado t=t'-t'' se encuentra en el 2º y 3º diedro por lo tanto no es visto ningún tramo.


2º Por otro lado el plano que determina el triangulo es el plano α1-α2 la traza horizontal queda determinada por Hs y Ht y la traza vertical por Vr y el punto de corte de α1 con LT.


3 las trazas 1 y 2 junto con lt nos determina las partes vistas y ocultas del tri ngulo
3º Las trazas plano α1 y α2 junto con LT nos determina las partes vistas y ocultas del triángulo.


Ejercicio Nº 88 plano Dado un punto A'-A'' del extremo de un segmento de longitud l=20mm. situado en un plano α, hallar la proyección del otro extremo conociendo la longitud d=15mm. de su proyección horizontal.


1º Si plano l es la longitud del segmento y dla de su proyección horizontal, podemos conocer la diferencia de cota, construyendo un triángulo rectángulo de hipotenusa l y cateto d, siendo el otro cateto h la diferencia de cota.


2º Trazamos los planos horizontales plano β2 y γ2 a una distancia h de la proyección vertical A'', en el que tienen que estar los extremos de los segmentos.


3º Como además deben estar sobre el plano plano α tienen que estar situados sobre la intersección de estos planos, es decir tienen que estar sobre las horizontales del plano s'-s'' y r'-r''.


4º Con centro en plano A' trazamos una circunferencia de radio d que cortara a las horizontales de plano s'-s'' y r'-r'' en los punto B', C', D' y E' que son las proyecciones horizontales de los extremos del segmento buscado.


5º Determinamos las proyecciones verticales plano B'', C'', D'' y E'' y tenemos cuatro soluciones que cumplen las condiciones.


Ejercicio Nº 89 plano Hallar las trazas de una recta de perfil, dada por dos punto A'-A'' y B'-B'', sin utilizar los abatimientos.Datos: los puntos A'-A'' y B'-B''.


1º Basta trazar un plano cualquiera que pase por la recta dada y determinar sus trazas.2º Utilizaremos unas frontales u horizontales de plano, en nuestro caso dos frontales cualesquiera de plano que pasen por los puntos dados y que sean paralelas entre si.


3 determinamos las trazas hr y hs
3º Determinamos las trazas dada y determinar sus trazas.Hr y Hs.


4º Unimos las trazas dada y determinar sus trazas.Hr y Hs y trazamos la traza del plano α1 donde corta a LT trazamos la traza vertical α2 paralelaa, r'' y s''.


5 donde las trazas 1 y 2 cortan a h h son las trazas de la recta vh y hh
5º Donde las trazas dada y determinar sus trazas.α1y α2 cortan a h'-h'' son las trazas de la recta Vh y Hh.


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