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第一章 数制与编码

第一章 数制与编码. 前言. 认识数字逻辑 数字逻辑 , 即数字电路逻辑设计。是计算机专业硬件课程的基础课程。学好该课程，可为以后学习计算机组成原理、微机原理、系统结构等计算机核心课程打下坚实基础。 模拟量 ：连续变化的物理量，如声音、速度、温度等。 数字量 ：间断变化的物理量，如电子表。 讲述内容 应用数字电路进行数字系统逻辑设计的方法。分为“分析”与“设计”。 第一、二章为基础知识，第三、四、五章为本书重点，第六章为应用。其余章节为选讲章节。. 数制及其转换 带符号数的代码表示

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第一章 数制与编码

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  1. 第一章 数制与编码

  2. 前言 • 认识数字逻辑 • 数字逻辑,即数字电路逻辑设计。是计算机专业硬件课程的基础课程。学好该课程，可为以后学习计算机组成原理、微机原理、系统结构等计算机核心课程打下坚实基础。 • 模拟量：连续变化的物理量，如声音、速度、温度等。 • 数字量：间断变化的物理量，如电子表。 • 讲述内容 • 应用数字电路进行数字系统逻辑设计的方法。分为“分析”与“设计”。 • 第一、二章为基础知识，第三、四、五章为本书重点，第六章为应用。其余章节为选讲章节。

  3. 数制及其转换 • 带符号数的代码表示 • 数的定点表示与浮点表示 • 数码和字符的代码表示

  4. 数制及其转换 • 1.数制 • 1.1 概念 • 基数：每个进位制的符号个数，及进位规则。 • 权：某一进位制中各位“1”所表示的值为该位的权。 • 例如：十进制数,基数为10 ,第i位权值为10i-1 • 推广：R进制数，基数为R，第i位权值为（R）i-1，表示方法（X）R

  5. 1.2 二进制数及其运算规则 二进制数即基数为 2，计数规则为“逢二进一”。 （1）加法规则：0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 0（有进位） （2）减法规则：0 - 0 = 0 0 – 1 = 1（有借位） 1- 0 = 1 1- 1 = 0 （3）乘法规则：0×0 = 0 0×1 = 0 1×0 = 0 1×1 = 1 （4）除法规则：0÷1 = 0 1÷1 = 1

  6. 例4. 计算10010001÷1011 1 0 0 1 0 0 0 1 例3. 计算1101×1001 1 1 0 1 × 1 0 0 1 1 0 1 1 + 1 1 1 0 1 0 1 • 例1. 计算1101+1011 • 1 1 0 1 例2. 计算11101 – 10011 1 1 1 0 1 1 + 1 0 1 1 - 1 0 0 1 1 1 11 10 10 10 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0

  7. 1.3 表示方法(1)并列表示法(N)R=(An-1An-2…A1A0.A-1A-2…A-m)R 如：（27）10=（11011）2=（1B）16 (2)多项式表示法(N)R=(An-1×Rn-1+ An-2×Rn-2+…+A0×R0+A-1×R-1+A-2×R-2+…+A-m×R-m）R n-1 =∑（Ai×Ri）（其中，n为整数位数，m为小数位数，R为基数，0≤Ai≤R-1） 如（27）10=（2×101+7×100）10=（1×24+1×23+0×22+1×21+1×20）2 =（1×161+10×160）16 i=-m

  8. 2. 数制转换 (1)二进制数到十进制数 方法：按权值展开法 (1011)2=1×23+0×22+1×20=8+2+1=(11)10 (2)十进制数到二进制数 方法：整数部分，除2取余；小数部分，乘2取整

  9. 例1：将（693）10转换成二进制数 由于是整数，用除2取余法，即用整数部分不断去除2，并记下每次的余数，直到商为0为止。余数从下至上即为转换结果。 2 346 1 693 余数 2 173 0 2 86 1 2 43 0 （639）10=（1010110101）2 2 21 1 2 10 1 2 5 0 2 2 1 2 1 0 2 0 1

  10. 练习：（73）10 转换为二进制数。 • 73 余数 • 2 36 1 • 18 0 • 2 9 0 • 4 1 • 2 2 0 • 1 0 （73）10=（1001001）2 • 0 1 十进制整数转换为R进制数用“除基取余”法。

  11. 例2：将十进制数0.625转换为二进制数。 用小数部分连续与 2 相乘，并记下乘积的整数部分，直到结果小数部分为 0 ，或精度达到要求为止。所得整数部分从上至下即为转换结果。 0.625 整数 × 2 .250 1 × 2 .500 0 × 2 (0.625)10=(0.101)2 .000 1

  12. 练习：将(0.364)10转换为二进制数，结果保留4位小数。练习：将(0.364)10转换为二进制数，结果保留4位小数。 0.364 整数 × 2 .728 0 × 2 .456 1 0.456 整数 × 2 .912 0 × 2 .824 1 (0.364)10=(0.0101)2 • 十进制小数转换为R进制数用“乘基取整”法。 • 总结：十进制数转换为R进制数，整数部分用除基取余法，小数部分用乘基取整法。

  13. 练习：将（685.235）10转换为十六进制数。（保留3位小数）练习：将（685.235）10转换为十六进制数。（保留3位小数） 小数部分 0.235 整数 × 16 .760 3 × 16 .216 1 × 16 .456 3 • 整数部分 • 685 余数 • 16 42 D • 2 A • 0 2 (685.235)10=(2AD.313)16

  14. （3）二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换。（3）二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换。 • 方法：直接转换法。 • 3 位二进制数与 1 位八进制数一一对应，4 位二进制数与 1 位十六进制数一一对应。 • 对于十六进制数，整数部分将二进制数从右到左以4位为一组分成若干组，最后一组不足4位在高位补 0 ；小数部分将二进制数从左到右以4位一组分成若干组，最后一组不足4位在右端补 0 。按一一对应关系即可转换。 例2：(1)将(11001011011.11001)2 转换成十六进制数。 (2)将(734.25)8 转换成二进制数。 (0110 0101 1011.11001000)2=(65B.C8)16 (734.25)8=(111 011 100.010 101)2

  15. 总结： 整：除2取余，小：乘2取整 十二 按 按权展开 权 乘/除 直接转换 展 16法 开 十六

  16. 带符号数的代码表示 • 1.真值与机器数 • 真值:在算术运算中，用“+”“-”符号表示正、负的数据。 • 机器值：与真值相对应，且便于计算机识别处理的数据。一般用“0”表示“+”，用“1”表示“-”。 • 一个n位的带符号二进制机器数bn-1bn-2……b1b0，最高位bn-1为符号位，bn-2bn-3……b1b0为数值位。 • 表数范围：- 2n-1 ~ 2n-1

  17. 2.三种机器数 2.1原码 •机器数原码表示，最高位是符号位,0表正号,1表负号 , 以下各位是数值的绝对值。[X]原= 符号位 + |X| •原码表示中，0有两种形式：[+0]原=00…0 [- 0]原=10…0 • •原码表示的特点 • 优点：与数的真值之间的对应关系简单；用原码实现乘除 运算规则简单。 • 缺点：减法运算的实现不方便。

  18. 2.2 反码 •最高位为符号位，其余为数值位。 •正数：反码形式同原码形式； 负数：符号位为1，数 值位为原码的数值按位取反。 • 反码中0有两种形式：[+0]反=000…0 [- 0]反=111…1 •反码运算不方便，一般不用。

  19. 2.3 补码 •最高位为符号位。 •正数的补码形式同原码形式，负数补码符号位为1，数值位为 原码数值位各位取反，再末位加1（即反码加1）。 •补码中0只有一种形式：[+0]补=[- 0]补=000…0。 •[- 1]补=100…0。 •对于负数，若已知补码求原码，末位减1，再按位求反。 •补码便于减法运算。

  20. 总结： • （1）当真值X为n位整数时，机器数[X]原、[X]反、[X]补都为n+1位的数，可为字长为n+1位的计算机所表示。 • （2）当真值X为正时，[X]原、[X]反、[X]补最高位都等于0，X为负时，其最高位均为1。 • （3）当X为正值时，[X]原、[X]反、[X]补的数值位均与真值完全相同；当X为负值时，数值位：[X]原保持X的原样，[X]反是各位取反，[X]补是各位取反末位加1。 • （4）当X为0时，[X]原和[X]反有两种形式，[X]补只有一种形式。

  21. 例1：已知X = +101101，Y = - 101101，分别求二数的原码、反码、补码。 [X]原=[X]反=[X]补 = 0101101 [Y]原= 1101101 [Y]反= 1010010 [Y]补= 1010011 例2：已知[X]原= 1110001，[Y]补= 1110001，求X，Y。 X = - 110001 [Y]反= 1110000 [Y]原= 1001111 所以，Y = - 001111

  22. 练习： 1、设真值X为- 24≤X<24，写出下列真值的原码、反码和补码。 +1010 +1111 - 1010 - 0000

  23. 2、写出下列机器数对应的真值 [X1]原= 11011 [X2]反= 11011 [X3]补= 11011 [X4]原= 00000 [X5]反= 01111 [X6]补= 01000 X1 = - 1011 X2 = -0100 X3 = - 0101 X4 = +0000 X5 = +1111 X6 = +1000

  24. 3. 机器数的加、减运算 • 3.1 原码运算 • 运算规则：符号相同（同号相加或异号相减），直接相加，符号不变；符号相异（异号相加或同号相减），符号与绝对值较大值保持一致，值为两数相减的结果。符号不参与运算。

  25. 例. X = +1101，Y = - 0110，求 X+Y 与 X – Y 的值。 分析：X+Y为异号相加，属符号相异情况，所以需比较两数绝对值。 X – Y 为异号相减，属符号相同情况，直接相加。 解：[ X + Y ]原 = 0 0111 [ X – Y ]原= 0 0011 用原码做加、减运算时，若符号相异，需比较其绝对值的大小关系。

  26. 3.2 反码运算 • 运算规则：[X+Y]反= [X]反+[Y]反 • [X – Y]反= [X]反+[-Y]反 • 用反码进行运算时，减法运算可转换为加法运算。运算时，符号位和数值位一样参与运算，如果符号位产生了进位，则此进位 应加到和数的最低位，称之为“循环进位”。

  27. 例1.X = +0110，Y = - 0010，求[X+Y]反、[X – Y]反。 解：[X+Y]反= [X]反+[Y]反= 00110+11101 = 00100 （+0100） 用反码进行加减运算时，不需考虑两数的大小关系，但有最高位进位时，需“循环进位”。 0 0 1 1 0 + 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 [X – Y]反= [X]反+[- Y]反= 00110+00010 =01000 （+1000）

  28. 3.3 补码运算 • 运算规则：[X+Y]补= [X]补+[Y]补 • [X – Y]补=[X]补+[-Y]补 • 用补码进行运算时，减法运算可转换成加法运算。符号位和数值位一样参与运算，如果符号位产生进位，则将此进位丢掉。

  29. 例2. X = +0110，Y = - 1010，求 [X+Y]补，[X – Y]补。 解：[X+Y]补= [X]补+[Y]补 先求[X]补，[Y]补：[X]补= 00110，[Y]补= 10110 = 00110+10110 = 11100 0 0 1 1 0 + 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 • [X – Y]补= [X]补+[- Y]补= 00110+ 01010 = 10000 [- Y]补= [+1010]补= 01010

  30. 结论：用补码做减法运算，既不需要绝对值比较，也不需要循结论：用补码做减法运算，既不需要绝对值比较，也不需要循 环进位，所以用补码做减法运算最简单。 练习：X = +0110，Y = - 1000，求 X+Y、X – Y。 [X+Y]补= [X]补+[Y]补 = 00110+11000 = 11110 所以，X+Y = - 0010 [X – Y]补= [X]补+[- Y]补 = 00110+01000 = 01110 [- Y]补= [+1000]补= 01000 所以，X – Y = +1110

  31. 数的定点表示和浮点表示 十进制数 二进制真值 定点表示 浮点表示 定点小数 定点整数 规格化 非规格化 原码 反码 补码 • 数的按值表示

  32. 1. 定点表示 • 定点表示法，就是计算机中数的小数点位置是固定不变的。 • （1）机器中小数点不是由实际设备保存，只是一个约定的假想位置。 • （2）对于字长为n的计算机表示带符号数时，最高位bn-1为符号位，bn-2…b0为数值位。 • （3）•小数点位置约定在最高位之前时，表示定点小数。 • （-1 < S < 1） • •小数点位置约定在最低位之后时，表示定点整数。 • （- 2n-1 < S < 2n-1） • •表示既有整数又有小数部分的数时，需事先选取一个 • “比例因子”（2i），然后可用定点小数或定点整数表示。

  33. N = RJ×S R：基数，J：阶码 S：尾数 阶符 阶码 尾数 尾符 1位 n位 1位 m位 • 2. 浮点表示 （1）浮点表示就是在计算机中数的小数点位置不是 固定的，而是浮动的。 （2）浮点表示源于“记阶表示法”，如：十进制数 5678 = 0.5678×104 0.005678 = 0.5678×10-2 （3）用浮点表示时，一个字的格式为 字长= n+m+2，浮点表示中，基数默认为2， 所以无需表示。

  34. （5）浮点数的规格化 • 浮点表示的数，其尾数部分用纯小数形式给出，且当尾数不为0时，其绝对值应大于或等于0.5（即小数点后第一位必为“1”）。若不符合，应通过修改阶码，并左右移动尾数实现。可节省存储空间，避免有效数字丢失。 • （6）浮点表示与定点表示的比较 • 同一字长下，浮点表示法所能表示的数值范围较大。

  35. 15 14 13 12 11 10 9 1 0 …… Jf Sf 最小 − 1 1 1 1 0 …… 0 1 最大 + 1 1 1 1 1 …… 1 1 即 2-15×2-10 ~ 2+15×（1 – 2-10） 2-25 ~ （2+15 – 2+5） 以16位字长为例，浮点表示法的表数范围如下：

  36. 定点表示法的表数范围如下： 15 14 ………… 1 0 Sf 最小 0 ………… 0 1 最大 1 ………… 1 1 即 2-15 ~ （1 – 2-15） 同一字长下，定点表示法所能表示的有效数字位数较多。

  37. 数码和字符的代码表示 • 用二进制码来表示数字或字符 • 1. 十进制数的常用代码 • BCD码（Binary Code Decimal）用二进制代码表示十进制数 的一种编码 。四位二进制代码可表示一位十进制数其组合有剩余，所以可有多种编码方案。 1.1 8421码（有权码） 用4 为二进制数表示一位十进制数，从左到右权值依次为8、4、2、1。

  38. 特点：排列规律自然，对应关系唯一。不允许出现1010，1011，1100，1101，1110，1111等六个代码。特点：排列规律自然，对应关系唯一。不允许出现1010，1011，1100，1101，1110，1111等六个代码。

  39. 1.2 2421码(有权码) • 用4 为二进制数表示一位十进制数，从左到右权值依次为2、4、2、1。 特点：由于有两位权值都为2，所以编码方案不唯一。 2421码是对9 的补数，即每个代码取反后与原代码和为9。

  40. 1.3 余3码（无权码） • 余3码由8421码加3所得。 特点：余3码也是一种对9互补的代码。

  41. 2. 可靠性编码 • 在代码的形成和传输过程中出现错误时，易于发现和矫正或可以避免错误的发生的代码称为可靠性编码。

  42. 2.1 格雷码 在一组数的编码中，任意两个相邻数的代码只有一位二进制数不同的编码。 可有多种编码方案，它所代表的数递增时，不会发生粗大错误。

  43. 2.2 奇偶校验码 • 由若干信息位加一位校验位生成，校验位的取值使整个代码中“1”的个数位奇数或偶数。 特点： 1.具有发现一位错的能力，当存取过程中出现两位错时无法检验； 2.不能确定具体出错位的位置； 3.需要奇偶校验位形成电路和检测电路。

  44. 十进制数的补数 • 一、.对9 的补数 • 1.规则：正数符号位为0，数值位为十进制数本身 • 负数 [N]9补=10n-10-m+N • （其中n是十进制数N整数位数+1，m是N小数的位数） 例.[8954]9补= [-3250]9补= [-25.639]9补= 08954 105-1-3250 = 96749 103-10-3-25.639 = 974.360

  45. 2.运算 [N1-N2]9补=[N1]9补+[-N2]9补 注：需要循环进位。 例. N1=5489，N2=3250，求N1-N2。 解： [N1-N2]9补=[N1]9补+[-N2]9补 =05489+96749 =02239

  46. 二、对10的补数 • 1.规则 • 正数 符号位为0，数值位为十进制数本身 • 负数 [N]10补=10n+N • （ 其中，n为N的位数+1。） 2.运算 [N1-N2]10补=[N1]10补+[-N2]10补 注：不需要循环进位。

  47. 例. N1=72532，N2=33256，求N1-N2。 解： [N1-N2]10补=[N1]10补+[-N2]10补 =072532+966744 =39276

  48. 1.实现下列机器数间的转换 • （1）[x]原=10110，求[x]反； • （2）[x]反=10110，求[x]补； • （3）[x]补=10110，求[x]原。 • 2.已知[x]原=01101，[y]原=10101，将x，y转换成补码，求 • x+y，再将结果转换成原码。 • 3.完成下列代码间转换 • （100000111001.01110101）8421=（）10 • （1011001111001001）余3=（）2421 • （752.18）10=（）余3 • 4.确定下列二进制代码的偶校验码 • 1010101 ， 100100100

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