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3.2 仿射坐标系与直角坐标系

3.2 仿射坐标系与直角坐标系. 笛卡尔（ Rene Descartes ）. 3.2.1 仿射坐标系. 引理 3.1 在直线上取定一个非零向量 ，那么在此直线 上任一向量 ，都存在唯一确定的实数 ，使得. 引理 3.2 在平面上取定两个不共线的向量 ，则对 于该平面上任一向量 ，都存在惟一的二元有序实数 ， 使. 定理 3.3 在空间中取定三个不共面的向量 ，那 么对于空间中任一向量 ，都存在唯一的三元有序实数组 ，使得. 定义 3.11 在空间中取定一点 及三个有次序的不共面

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3.2 仿射坐标系与直角坐标系

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Presentation Transcript

  1. 3.2 仿射坐标系与直角坐标系 笛卡尔（Rene Descartes ）

  2. 3.2.1 仿射坐标系 引理3.1在直线上取定一个非零向量 ，那么在此直线 上任一向量 ，都存在唯一确定的实数 ，使得 引理3.2在平面上取定两个不共线的向量 ，则对 于该平面上任一向量 ，都存在惟一的二元有序实数 ， 使 定理3.3在空间中取定三个不共面的向量 ，那 么对于空间中任一向量 ，都存在唯一的三元有序实数组 ，使得

  3. 定义3.11在空间中取定一点 及三个有次序的不共面 的向量 ，构成空间的仿射坐标系 ，点 称 为坐标原点， 叫做坐标向量或基本向量，简称基，它 们所在的直线分别叫做 轴， 轴， 轴，统称坐标轴. 定义3.12对空间中向量 ，它在仿射坐标系 下有分解式 ，称 是向量 在坐标系 下的坐标. 定义3.13在仿射坐标系 下，对于点 ，称向 量 是点 的向径.向径在坐标系的坐标称为点 在该坐 标系下的仿射坐标.

  4. 注：由于三个坐标向量 可以有两种不相同的相互 位置关系，如下图，（a）所示坐标系为右手仿射坐标 系，（b）所示为左手仿射坐标系. (b) (a) 例3.4如图，梯形 中， ， 是 的中点，求点 及向量 在坐标系 下的坐标.

  5. 3.2.2 用坐标进行向量运算 设 ，那么 向量加（减）法运算是： 也可简记为：

  6. 数乘运算是： 也可简记为： 例3.5设 求 例3.6已知点 ，求向径 及向 量 的坐标.

  7. 3.2.3 向量共线、共面的条件 定理3.4三向量 共面的充要条件是 例3.7三个向量 共面，求 的值.

  8. 3.2.4 定比分点的坐标 是空间中任意两点，则把线段 分割成定比 （其中 ）的点 的坐标为 其中 特别地，中点的公式为：

  9. 例3.8设 求 的重心 的坐标. 答案： 3.2.5 空间直角坐标系 空间直角坐标系是一种特殊的仿射坐标系. 由三条互相垂直的数轴按右手规则 过空间一定点 o , 组成一个空间直角坐标系.

  10. Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅰ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅴ z轴(竖轴) • 坐标原点 • 坐标轴 • 坐标面 zox面 • 卦限(八个) y轴(纵轴) x轴(横轴) 对两点 与 因

  11. 得两点间的距离公式: 定义3.14在空间直角坐标系中，向量 与三个坐标向 量的夹角 称为 的方向角，方向角的余弦 称为向量 的方向余弦. 设 ，则

  12. 方向余弦的性质: 例3.9在z轴上求一点，使它到 距离相等. 例3.10已知两点 求向量 的方向余弦.

  13. 结束

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