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3.2 仿射坐标系与直角坐标系 - PowerPoint PPT Presentation


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3.2 仿射坐标系与直角坐标系. 笛卡尔( Rene Descartes ). 3.2.1 仿射坐标系. 引理 3.1 在直线上取定一个非零向量 ,那么在此直线 上任一向量 ,都存在唯一确定的实数 ,使得. 引理 3.2 在平面上取定两个不共线的向量 ,则对 于该平面上任一向量 ,都存在惟一的二元有序实数 , 使. 定理 3.3 在空间中取定三个不共面的向量 ,那 么对于空间中任一向量 ,都存在唯一的三元有序实数组 ,使得. 定义 3.11 在空间中取定一点 及三个有次序的不共面

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3.2 仿射坐标系与直角坐标系

笛卡尔(Rene Descartes )


3.2.1 仿射坐标系

引理3.1在直线上取定一个非零向量 ,那么在此直线

上任一向量 ,都存在唯一确定的实数 ,使得

引理3.2在平面上取定两个不共线的向量 ,则对

于该平面上任一向量 ,都存在惟一的二元有序实数 ,

使

定理3.3在空间中取定三个不共面的向量 ,那

么对于空间中任一向量 ,都存在唯一的三元有序实数组

,使得


定义3.11在空间中取定一点 及三个有次序的不共面

的向量 ,构成空间的仿射坐标系 ,点 称

为坐标原点, 叫做坐标向量或基本向量,简称基,它

们所在的直线分别叫做 轴, 轴, 轴,统称坐标轴.

定义3.12对空间中向量 ,它在仿射坐标系

下有分解式 ,称 是向量 在坐标系

下的坐标.

定义3.13在仿射坐标系 下,对于点 ,称向

量 是点 的向径.向径在坐标系的坐标称为点 在该坐

标系下的仿射坐标.


注:由于三个坐标向量 可以有两种不相同的相互

位置关系,如下图,(a)所示坐标系为右手仿射坐标

系,(b)所示为左手仿射坐标系.

(b)

(a)

例3.4如图,梯形 中, ,

是 的中点,求点 及向量 在坐标系

下的坐标.


3.2.2 可以有两种不相同的相互用坐标进行向量运算

,那么

向量加(减)法运算是:

也可简记为:


数乘运算是: 可以有两种不相同的相互

也可简记为:

例3.5设

例3.6已知点 ,求向径 及向

量 的坐标.


3.2.3 可以有两种不相同的相互向量共线、共面的条件

定理3.4三向量

共面的充要条件是

例3.7三个向量 共面,求

的值.


3.2.4 可以有两种不相同的相互定比分点的坐标

是空间中任意两点,则把线段

分割成定比 (其中 )的点 的坐标为

其中

特别地,中点的公式为:


可以有两种不相同的相互3.8设

的重心 的坐标.

答案:

3.2.5 空间直角坐标系

空间直角坐标系是一种特殊的仿射坐标系.

由三条互相垂直的数轴按右手规则

过空间一定点 o ,

组成一个空间直角坐标系.


可以有两种不相同的相互

z轴(竖轴)

  • 坐标原点

  • 坐标轴

  • 坐标面

zox面

  • 卦限(八个)

y轴(纵轴)

x轴(横轴)

对两点


得两点间的 可以有两种不相同的相互距离公式:

定义3.14在空间直角坐标系中,向量 与三个坐标向

量的夹角

称为 的方向角,方向角的余弦

称为向量 的方向余弦.

,则


方向余弦的性质 可以有两种不相同的相互:

例3.9在z轴上求一点,使它到

距离相等.

例3.10已知两点

求向量 的方向余弦.


结束 可以有两种不相同的相互