Розв’язування рівнянь з параметром графічним способом

1. Побудова графіків функцій,рівнянь, що містять знак модуля Розв’язування рівнянь з параметром графічним способом Кириченко Лариса Миколаївна, вчитель математики Черкаської гімназії № 31 Черкаської міської ради Черкаської області

2. Побудова графіків за допомогою геометричних перетворень: 1. y= - f(x)-симетрія відносно осі Ох 2. y= f(-x)-симетрія відносно осі Оy 5. y= |f(x)| у= f(x) y= |f(x)| частина графіка,де у ≥0 залишається незмінною, симетрично осі Ох відображається друга його частина,де у<0,а потім відкидається. у= f(x) у= f(-x) у= f(x) у у у у у у у 6. y= f(|x|) y= f(|x|) y= - f(x) частина графіка, де х≥0 залишається без змін, і ця ж частина відображується симетрично відносно осі Оу;частина графіка,де х<0 відкидається. у= f(x) 3. y = f(x+а), а<0 , а>0 . 4. y= f(x)+а, а<0 , а>0 . 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 х х х х х х х у= f(x) у= f(x) 7. |y|= f(x) у= f(x) частина графіка,де у≥0залишається незмінною, і цясама частина відображуєтьсясиметрично відносно осі Оx; частина графіка,де у<0 відкидається. |y|= f(x)

3. Побудувати графік функції 1. Виділення повного квадрату: y = |x|2 – 4|x|+3 =(|x|2 – 4|x|+4) - 4+3= (|x| – 2)2 - 1 • 2. Етапи перетворення графіку: • y1 = x2 - базовий графік; • y2 = (x - 2)2 - рух графіка по осі Ox вправо на 2 одиниці; 3 3 • y3 = (x - 2)2 -1 – рух графіка по осі Oy вниз на 1 одиницю; - 2 - 2 - 1 - 1 2 2 - 1 - 1 • y4 = |x|2 – 4|x| + 3 - аргумент взято за модулем.

4. Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра а? 5. Якщо а > 3, то коренів два. 4. Якщо а= 3, то коренів три. 3 • Якщо -1 < а < 3, то коренів чотири. - 2 - 1 2 2. Якщо а = -1, - 1 то коренів два. • Якщо а < -1, то коренів не існує.

5. Побудувати графік функції • Перетворення формули функції: • 2. Етапи побудови графіка: • y1 = x2 - базовий графік; • y2 = x2 – 1 – рух графіка по осі Oy вниз на 1 одиницю; 3 • y3 = |x2 – 1|- функція взята за модулем. - 2 - 1 2 (частина графіка,де у ≥0 залишається незмінною, симетрично осі Ох відображається друга його частина,де у<0,а потім відкидається.) - 1

6. Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра а? 5. Якщо а >1 , то коренів два. 3 4. Якщо а=1 , то коренів три. то коренів чотири. • Якщо 0 < а < 1 , - 2 - 1 2 то коренів два. 2. Якщо а = 0 , - 1 • Якщо а < 0, то коренів не існує.

7. Побудувати графік функції Y 1. Перетворення формули функції: y = -| x | 2+ 2|x| -1 = - (|x| - 1)2 2 • 2. Етапи побудови графіка: • y1 = x2 - базовий графік; 1 0 2 1 • y2 = ( x - 1)2 - рух графіка по осі Ox вправо на 1 одиницю; -1 -2 X -1 -2 • y3 = - ( x - 1)2 - симетрія відносно осі Ох; • y4 = - |x|2 + 2|x| - 1 - аргумент взято за модулем.

8. При якому значенні параметра а рівняння має два корені? Y Рівняння має два корені,якщо : 1. а < -1; 1 2. а = 0. 0 1 -1 X -1

9. Розв`язати рівняння графічним способом: Y |x2 – 2x – 2|=3 3 1. y1= |x2 – 2x –2|= |(x-1)2 – 1| 2 Графік базової параболи y=x2 рухається по осі Ох вправо на 1 одиниці,по осі Оу вниз на 1 одиниці. 1 0 2 1 3 -1 -2 X Частина графіка,де у ≥0 залишається незмінною,симетрично осі Ох відображається друга його частина,де у<0,а потім відкидається. -1 -2 2. y2= 3 Відповідь:-1;3.

10. Побудуватиграфікфункції y = | |x - 1|- 2 | Y • Етапи перетворення графіку: • y1 = |x | - базовий графік; • y2 = |x –1| - рух графіка по осі Ox вправо на 1 одиницю; 2 1 • y3 = |x – 1 | - 2 - рух графіка по осі Oy вниз на 2 одиниці; 3 0 2 1 -2 -1 X -1 • y4 = ||x– 1| -2 |-функцію взято за модулем. -2 (частина графіка,де у ≥0 залишається незмінною, симетрично осі Ох відображається друга його частина,де у<0,а потім відкидається.)

11. Побудувати графік функції Y ІІ варіант І варіант 2 1 0 2 1 -1 -2 X -1 -2

12. Побудувати графік РІВНЯННЯ Y 1. Етапи перетворення графіку: y1 = x2 - базовий графік; 2 • y2 = - x 2 - симетрія відносно осі Ох; 1 • y3 = - x2 + 1 – рух графіка по осі Oy вгору на 1одиницю; 0 2 1 -1 -2 X -1 • |y| = 1- х2 – взятоза модулем у: частина графіка,де у≥0залишається незмінною, і цясама частина відображуєтьсясиметрично відносно осі Оx; частина графіка,де у<0 відкидається. -2

13. Побудуватиграфікрівняння Враховуючи , що |a|=|b|, якщо a=b або a=-b, графіком даного рівняння є сукупність парабол: • Перетворення формули функції: Графік базової параболи рухається по осі Ох вправо на 2 одиниці, по осі Оу вниз на 3одиниці. -3 Графік параболи у= - х2 рухається по осі Ох вправо на 2 одиниці, по осі Оу вгору на 3одиниці.

14. Побудуватиграфікфункції у = |x-2| + |x| Етапи побудови графіка: • Підмодульні корені: х1=0, х2=2. 2. Якщо х ≤ 0, то у = -(x-2) - (x)= -2х+2. 3. Якщо 0< х ≤ 2, то у = -(x-2) + (x)= 2. 3 4. Якщо х ≥ 2, то у = +(x-2) + (x)=2х-2. - 2 - 1 2 Розв`язати нерівність графічним способом: - 1 |x-2| + |x|<4 Відповідь: (-1;3).

15. Знайдіть найменше ціле значення параметра, при якому нерівність |x-2| + |x| < aмає розв`язок. I спосіб • Нерухомий графік: • y=|x-2|+|x|. 2. Рухомий графік :y=a. Відповідь: а=3. II спосіб 3 2 • Нерухомий графік: • y=|x-2|. - 2 - 1 2 - 1 2. Рухомий графік :y=-|x|+a. Відповідь: а=3.

16. Побудувати графік І варіант ІI варіант y=|x-2|+|x+1| y=|x-1|-|x+2| • Підмодульні корені: х1=-1, х2=2. • Підмодульні корені: х1=1, х2=-2. 1. X≤-2, y1=3. 1. X≤-1, y1=-2x+1. 2. -1<X≤2, y2=3. 2. -2<X≤1, y2=-2x-1. 3. X≥2, y3=2x-1. 3. X≥1, y3=-3. |y|=|x-2| |y|= x-2 y1=x-2 і 1. y1=x-2 y2=-(x-2)=-x+2. 2.|y| = x-2 –взято за модулем у. -3

17. Побудуватиграфікрівняння |y|+ |x| = 2 Y План побудови: • у +х = 2 у = -х + 2 - графік пряма 2 2.у + | x |= 2 – взято за модулем х:частина графіка, де х невід’ємне число залишається без змін, і ця ж частина відображується симетрично відносно осі Оу;частина графіка,де х<0 відкидається. 1 0 2 1 -1 -2 X -1 -2 3.|y| +|x|=2 – взято за модулему.

18. Скільки розв`язків має система рівнянь залежно від значення параметра а ? Y |x|+ |y|= 2 x2 + y2 = a | x | + |y | = 2 2 x2 + y2 = a –коло з центром в точці (0,0) ,радіусом . 2 Якщоа > 4, то розв`язків не існує. 2 -2 0 1 X Якщо а = 4 абоа= (2sin45)2 = 2 , то розв`язків 4. Якщо а < 2, то розв`язків не існує. Якщо 2< а < 4 , то розв`язків 8.

19. Побудувати графік Рівняння |x-2| + |y -х|=2 Етапи побудови графіка: I 1. х=2 , у= х. II IV I х-2+у-х=2; у=4 . III II -(х-2)+у-х=2; у=2x. -(х-2)-(у-х)=2; у=0 . III IV х-2-(у-х)=2; у=2x-4 . -3

20. Побудувати графік Рівняння |x-1| + |y +1|= 2 Етапи побудови графіка: 1. х=1 , у= -1. I x-1+у+1=2; у=-x+2 . II I II -(х-1)+у+1=2; у=x. (2;0) -(х-1)-(у+1)=2; у= -x-2. III IV x-1-(у+1)=2; у=x-4. (0;-2) Розв`язати систему рівнянь графічно IV III |x-1| + |y +1|= 2 -3 у=х-2 Відповідь: (2;0); (0;-2).

21. Побудуватимножинурозв`язківнерівностіПобудуватимножинурозв`язківнерівності у+x2-2|x-1|≤0. Y Етапи побудови : • Підмодульний корінь: х=1. 2. Якщо х < 1, то 2 у+-х2-(-2(x-1)) =y+ х2+2х-2 ≤0 y ≤ -(х+1)2+3 1 3. Якщо х ≥ 1, то 0 2 1 -1 -2 X у+-х2-2(x-1) =y+ х2-2х+2 ≤0 y ≤ -(х-1)2-1 -1 -2

22. Побудуватимножинурозв`язківнерівностіПобудуватимножинурозв`язківнерівності Y Етапи побудови графіка: 1. 2. 2 – круг с центром в точці (2,2) , радіусом 1 1 3. - симетрія відносно осі Оу 0 2 1 -1 -2 X -1 4. - симетрія відносно осі Ох -2 Побудувати графік системи нерівностей (|x|-2)2 + (|y|-2)2≤1 x ≥1 Графіком системи нерівностей є круги з центрами в точках (2;2),(2;-2),радіусом 1.

23. Тестові завдання 1. Який графік із запропонованих є графіком функції у= х2 - 2|x|? А Б В Г у у у у у у у у 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 х х х х х х х х 2. Який графік із запропонованих є графіком функції у=| х2 – 2x|? Б А В Г

24. Тестові завдання 3. Який графік із запропонованих є графіком функції у= |х2 - 2|x||? Г А Б В у у у у у у у у 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 х х х х х х х х 4. Який графік із запропонованих є графіком функції |у|= х2 – 2x? А Б В Г

25. Тестові завдання 5. При якому значенні параметра а рівняння |х2 - 2|x|| = а має 6 коренів? А. a =1 Б. a <1 B. 0 < a < 1 Г. а > 1 у у у у 6. При якому значенні параметра а рівняння |х2 – 2x| = а має 2 кореня? Г. а =0 B. 0 < a < 1 Б. a <1 А. a =0 іа > 1 0 1 0 1 0 1 0 1 х х х х 7. Який графік із запропонованих є графіком рівняння |у|= |х– 2|? В А Б Г

26. Тестові завдання 8. Який графік із запропонованих є графіком функції у= |х- 2|-|x+1|? Г А Б В у у у у у у у у 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 х х х х х х х х 9. Який графік із запропонованих є графіком рівняння |у-1|= |х–1|+1? А Б В Г

27. Тестові завдання 10. Установіть відповідність між графіками (А-Ж) та їх формулами (1-8): В А Б Г у у у у у у у у 0 1 х 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 х х х х х х х Ж Д Є Е 4. |y|=x2 x2 + y2≤9 2. y=|x2 – 2x – 2| 5. |x|≤2

28. Завдання №1: Користуючись графіком,знайдіть: 1.Область визначення функції; 3 Y 2. Область значень функції; 3. f(1); f(0); f(-3); 4. Значення х,при яких f(x)=1; f(x)=-3; 3 5. Нулі функції; -4 -3 6. Проміжок спадання функції; 2 у 7. Проміжки зростання функції; 1 8. Проміжки знакосталості функції; -3 9. Найбільше значення функції; 0 1 х 0 2 1 10. Найменше значення функції; -1 -2 X Завдання №2: -1 1.Яким кольором побудований графік функції: 1) у=2х; 2) у=х2; 3) у= ; 4) у = . -2 2.Виконати симетрію заданого графіка: відносно осі Ох. 3. Виконати паралельне перенесення заданого графіка на 2 одиничних відрізка вліво.

29. Нерівності з двома змінними 1.Зобразіть графік нерівності 1) х>2 2) (х+3)2+(у-8)2 ≤1 круг з центром (-3;8),радіусом 1. 3) х2>2 ( х2-2>0) 2.Запишіть нерівність графіком, якої є зафарбовані області. 3 1) блакитна (х+2)2+у2 <4 круг з центром (-2;0),радіусом 2. - 2 - 1 2 - 1 2) рожева у ≤ 4

30. Література • Л.М. Адруг, Алгебра. Матеріали для підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання 2008,Харків, “Країна мрій”,2008.-136 стр. • М.Я.Забелишевська, Математика ЗНО 2009,Київ, “Літера” ЛТД,2009.-320стр. • А.Г. Мерзляк, Алгебра і початки аналізу 10клас, Харків, “Гімназія”,2010. • А.Г. Мерзляк, Алгебра, 9 класдля класів з поглибленим вивченням математики,Харків, “Гімназія”,2010. • Є.П. Нелін, Алгебра і початки аналізу 10клас, Харків, “Світ дитинства”,2008. • Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-12 класи-К.Ірпінь,2005. • С.П.Бабенко, Алгебра.9клас.Розробка уроків, Харків, “Ранок”,2009.