第十三章材力的基本内容

学习与应该掌握的内容 材料力学的基本知识基本变形的主要特点内力计算及内力图应力计算二向应力状态及强度理论强度、刚度设计第十三章材力的基本内容

材料力学的研究模型 材料力学研究的物体均为变形固体，简称“构件”；现实中的构件形状大致可简化为四类，即杆、板、壳和块。杆---长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的几何形状可用其轴线（截面形心的连线）和垂直于轴线的几何图形（横截面）表示。轴线是直线的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。各横截面相同的直杆，称为等直杆；材料力学的主要研究对象就是等直杆。材料力学的基本知识

变形构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现象；变形固体的变形通常可分为两种：弹性变形---载荷解除后变形随之消失的变形塑性变形---载荷解除后变形不能消失的变形材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹性小变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形变形固体的基本假设连续性假设假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质均匀性假设假设材料的力学性能在各处都是相同的。各向同性假设假设变形固体各个方向的力学性能都相同材料力学的基本知识

材料的力学性能 -----指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。构件的承载能力：强度---构件抵抗破坏的能力刚度---构件抵抗变形的能力稳定性---构件保持原有平衡状态的能力内力的概念构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。材料力学的基本知识

利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图横截面上内力分析其中：Mx、My、Mz为主矩在x、y、z轴方向上的分量。 FNx、FQy、FQz为主矢在x、y、z轴方向上的分量。 FNx使杆件延x方向产生轴向拉压变形，称为轴力 FQy,FQz使杆件延y,z方向产生剪切变形，称为剪力 Mx 使杆件绕x轴发生扭转变形，称为扭矩 My、Mz使得杆件分别绕y z轴产生弯曲变形，称为弯矩

截面法求内力步骤 将杆件在欲求内力的截面处假想的切开；取其中任一部分并在截面上画出相应内力；由平衡条件确定内力大小。横截面上内力计算--截面法例：左图左半部分： ∑Fx=0 FP=FN 右半部分： ∑Fx=0 FP,=FN,

已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面m-n上的内力已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面m-n上的内力例13-1 解： 1、假想从m-n面将机架截开（如图）； 2、取上部，建立如图坐标系，画出内力FN，MZ （方向如图示）。（水平部分/竖直部分的变形？） 3、由平衡方程得： ∑Fy=0 FP-FN=0 FN=FP ∑Mo=0 Fp ·a - Mz=0 Mz =Fp · a

载荷特点：受轴向力作用 基本变形—(轴向)拉伸、压缩轴力正负规定：轴力与截面法向相同为正变形特点：各横截面沿轴向做平动内力特点：内力方向沿轴向，简称轴力FN FN=P

载荷特点：作用力与截面平行（垂直于轴线） 基本变形---剪切 • 变形特点：各横截面发生相互错动 • 内力特点：内力沿截面方向（与轴向垂直），简称剪力FQ 剪力正负规定：左下（右上）为正左下：指左截面（左半边物体）剪力向下

载荷特点：受绕轴线方向力偶作用（力偶作用面平行于横截面）载荷特点：受绕轴线方向力偶作用（力偶作用面平行于横截面）基本变形---扭转 • 变形特点：横截面绕轴线转动 • 内力：作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩T T=M 正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系

载荷特点：在梁的两端作用有一对力偶，力偶作用面在梁的对称纵截面内。载荷特点：在梁的两端作用有一对力偶，力偶作用面在梁的对称纵截面内。基本变形---弯曲（平面） • 变形特点：梁的横截面绕某轴转动一个角度。中性轴（面） • 内力：作用面垂直横截面的一个力偶，简称弯矩M 弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。（形象记忆：盛水的碗）

应力的概念 单位面积上内力的大小，称为应力平均应力Pm，如图所示正应力、切应力 △F △A Pm= A—截面面积正应力σ 单位面积上轴力的大小，称为正应力；切应力τ 单位面积上剪力的大小，称为切应力应力单位为：1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡) 常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2

单元体及简单应力状态 在研究变形体内某一点的应力时，通常围绕该点作一个无限小的正六面体，简称单元（体）；此单元的各截面分别代表该点在不同方向截面的应力。单元受力最基本也是最简单的形式有两种：单向拉压和纯剪切-----简称单向应力状态（如图）对于一个单元，在其相互垂直的两个面上，沿垂直于两面交线的切应力必成对出现，且大小相等，方向均指向或背离两面的交线，此关系称为切应力互等定律或切应力双生定律。

构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变来度量。构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变来度量。如图： AA’连线称为A点的线位移 θ角度称为截面m-m的角位移，简称转角注意，单元K的形状也有所改变位移

分析单元K 单元原棱长为△x，△u为绝对伸长量，其相对伸长△u/ △x的极限称为沿x方向的正应变ε。 △u △x 即： εx=lim △x→∞ ) aa’ aa’ γ= = oa △x 应变 a点的横向移动aa’，使得oa直线产生转角γ，定义转角γ为切应变γ

实验证明： 当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在线性关系，即：σ=Εε 称为胡克定律，E为弹性模量，常用单位：Gpa（吉帕）同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变也存在线性关系即：τ=Εγ 此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa 胡克定律钢与合金钢 E=200-220GPa G=75-80GPa 铝与合金铝 E=70-80GPa G=26-30GPa 木材 E=0.5-1GPa 橡胶 E=0.008GPa

第十四章杆件的内力 §14-1 轴向拉伸或压缩杆件的内力 §14-2 扭转圆轴的内力总第十二讲

定义以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为轴向拉伸或压缩内力的计算截面法如左图内力的表示轴力图----形象表示轴力沿轴线变化的情况 §14-1 轴向拉压杆件的内力

例14-1 F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。 轴力图解：1)截面法求AC段轴力，沿截面1-1处截开，取左段如图14-1-2所示 ∑Fx=0 FN1-F1=0 得：FN1=F1=2.5kN 2)求BC段轴力，从2-2截面处截开，取右段，如图14-1-3所示 ∑Fx=0 –FN2-F3=0 得：FN2= - F3=-1.5kN （负号表示所画FN2方向与实际相反） 3)图14-1-4位AB杆的轴力图

为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表示轴力的大小，这样得到的图形称为轴力图。为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表示轴力的大小，这样得到的图形称为轴力图。轴力图

扭转变形的定义 横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴本课程主要研究圆截面轴功率、转速和扭矩的关系 M=9549 扭矩图仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，就是扭矩图。 §14-2 扭转圆轴的内力其中： M为外力矩(N.m) P为功率(kW) n转速(r/min)

如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图例14-2 扭矩图解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m 2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图a)、b)、c);均有∑Mx=0 得： T1+MB=0 T1=-MB= -350N.m MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m MD-T3=0 T3=MD=446N.m 3)画出扭矩图如 d)

§14-3 弯曲梁的内力 §14-4 弯曲梁的内力图---剪力图和弯矩图总第十三讲

弯曲梁的概念及其简化 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。 §14-3 弯曲梁的内力 • 常见梁的力学模型 • 简支梁 • 一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座 • 外伸梁 • 一端或两端伸出支座支外的简支梁 • 悬臂梁 • 一端为固定端，另一端为自由端的梁。

梁的内力 剪力FQ 弯矩MC 梁内力的正负规定 • 梁内力的正负规定 • 内力方向 • 梁的变形

例14-3 简支梁如左图，已知a、q、M=qa2；求梁的内力 §14-3 弯曲梁的内力—例 2 3 1 FBy 解：1）求得A、B处反力FAY,FBY； FAy 2）1-1截面内力：(0≤x1 ≤ a) 3）2-2截面内力： (a≤x2<2a)

续例14-3 4）3-3截面内力：(0 ≤ x3 ≤ a，此处x3的起点为B点，方向如图)

§14-4内力图----剪力图 1.当：0≤x1≤a 时 AC段 FQ1=5q.a/6 2.当：a≤x2≤2a 时,即CD段 FQ2=11q.a/6-q.x2 ，直线 x2 =a；FQ2 = 5q.a/6 （= FQ1 ） x2 =2a；FQ2 = -q.a/6 （= FQ3 ） 3.当： 0≤x3≤a (起点在B点） FQ3=-q.a/6

§14-4内力图----弯矩图 • 当：0≤x1≤a 时， M1=5q.a.x1/6为直线 • 当：a≤x2≤2a 时，为二次曲线； M2=5qax2-q(x2-a)2/2 • 当： 0≤x3≤a时（原点在B点，方向向左），M3为直线 M3=qa2+q.a.x3/6;

已知：G,a,b,l,画梁AB内力图 典型例题-1 解：1〉求A,B支座反力( a+b=l ) 2〉求x截面内力 a) 0<x<a b) a<x<l

根据以上条件，画出剪力图、弯矩图 最大剪力Qmax在AC(b>a)（或CB,a>b）段 Qmax=Gb/l 最大弯矩在C截面处 Mmax=Gab/l 典型例题-1(续) • 本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯矩方程；即： FQ=FQ(x) Mc=M(x)

简支梁受力偶作用 典型例题-2 • 求支座反力FAY,FBY得： FAY=- FBY =M/l • AC段X截面处剪力FQ=Fay, • 同理可求得BC段剪力与AC段相同，剪力图如左 • AC段弯矩方程M1 M1=FAY·x=M ·x /L • BC段弯矩方程M2 M2=FAY· x-M=M(x -L)/L

悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图典型例题-3 • 写出A点x处截面的剪力方程和弯矩方程 • 剪力图、弯矩图如右，最大剪力、弯矩均发生在B点，且

设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），现分析剪力、弯矩与载荷集度的关系。设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），现分析剪力、弯矩与载荷集度的关系。 M、FQ与q的关系 • 取x处一小段dx长度梁，如图，由平衡方程得： ∑Fy=0; FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0…………(a) ∑MC=0; M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0……(b) 在上式中略去高阶微量后，得

使用关系式画FQ、M图

M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m 例题-7 解：求A、B处支反力 FAY=3.5kN;FBY=14.5KN 剪力图：如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q<0,FQB=-8.5kN BD：q<0,FQB=6kN 弯矩图： AC：q=0,FQC>0,直线,MC=7KN.M CB：q<0,抛物线,FQ=0,MB=6.04 BD：q<0,开口向下，MB=-6kN.m

作业(解答)

14-5 (c) 14-8 (c) 作业 2004.3.25

14-8（c）解答 A、B支反力： FA=qa/2; FB=5qa/2 AB段：q<0；斜直线（左上右下） A点：FQA=FA=qa/2； B点：FQB=FA-2qa=-3qa/2 D点：FQAB=0；x=a/2 BC段：q=0；直线（水平） C点：FQC=F=qa=FQB D 弯矩图：AB段：q<0；抛物线，上凸 A点： MC=0， D点： MD= FA a/2 –q.a2/8=qa2/8 B点：MB=FA.2a-2qa2=-qa2； BC段:q=0 直线（左下右上） MC=0,MB=-F.a=-qa2

第一讲 §15-1轴向拉压杆件的应力与变形第二讲 §15-2扭转圆轴的应力与应变第三讲 §15-3弯曲梁的正应力第四讲 §15-4弯曲梁的切应力 §15-5弯曲梁的变形总第十四讲第15章杆件的应力与变形

§15-1轴向拉压杆件的应力与变形 杆件轴向拉压时横截面上的应力杆件轴向拉压时的轴向变形与变形公式横向变形与泊松比第一讲轴向拉压

平面假设 杆件的横截面在变形后仍保持为平面，且垂直于杆的轴线。横截面上各点只产生沿垂直于横截面方向的变形，故横截面上只有正应力。两横截面之间的纵向纤维伸长都相等，故横截面上各点的正应变都相等；根据胡克定律，其正应力也相等，即横截面上的正应力均匀分布。杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公式 FN—轴力 A---横截面面积横截面上的应力 σ的正负号与FN相同；即拉伸为正压缩为负

一中段开槽的直杆如图，受轴向力F作用；已知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；试求杆内的最大正应力一中段开槽的直杆如图，受轴向力F作用；已知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；试求杆内的最大正应力例15-1 解：求轴力FN; FN=-F=-20kN=-20x103N 求横截面面积： A1=bh=20x25=500mm2 A2=b(h-h0)=20x(25-10)=300mm2 求应力由于1-1，2-2截面轴力相同，所以最大应力应该在面积小的2-2截面上 FN -20X103 σ= = =-66.7MPa（负号表示为压应力） A 300

轴向变形 设等截面直杆原长l0，截面面积A0，在轴力F作用下，其长度变为l1，截面面积变为A1；其轴向绝对变形△l和轴向（相对变形）线应变ε分别为： △l=l1-l0 直杆横截面上的正应力：当应力不超过某一值时，正应力与线应变满足胡克定律：σ=Eε 由以上可以得到：式中EA称为杆件的抗拉压刚度此式称为拉压变形公式

横向变形与泊松比 如果等直杆在变形前后的横向尺寸为：b0、b1；那么其横向绝对变形和横向线应变分别为△b和ε’; △b=b1-b0 ε’= △b /b0 实验表明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小， ε’为负；杆件轴向压缩时，横向尺寸增大， ε’为正；可见，轴向线应变ε和横向线应变ε’恒为异号实验还表明：对于同一种材料，当应力不超过某一极限时，杆件的横向线应变ε’与轴向线应变ε之比为一负常数：即：或比例系数ν称为泊松比，是量刚为一的量

一板状试样如图，已知：b=4mm，h=30mm，当施加F=3kN的拉力时，测的试样的轴向线应变ε=120x10-6,横向线应变ε’=-38x10-6；试求试样材料的弹性模量E和泊松比ν一板状试样如图，已知：b=4mm，h=30mm，当施加F=3kN的拉力时，测的试样的轴向线应变ε=120x10-6,横向线应变ε’=-38x10-6；试求试样材料的弹性模量E和泊松比ν 例15-2 p241 解：求试件的轴力FN=F=3kN; 横截面面积A=bh=120mm2, 横截面上的应力σ=F/A 根据胡克定律σ=Eε得：泊松比：

钢制阶梯杆如图所示；已知轴向力F1=50kN，F2=20kN，杆各段长度l1=120mm，l2=l3=100mm，杆AD、DB段的面积A1、A2分别是500和250mm2，钢的弹性模量E=200GPa，试求阶梯杆的轴向总变形和各段线应变。钢制阶梯杆如图所示；已知轴向力F1=50kN，F2=20kN，杆各段长度l1=120mm，l2=l3=100mm，杆AD、DB段的面积A1、A2分别是500和250mm2，钢的弹性模量E=200GPa，试求阶梯杆的轴向总变形和各段线应变。例15-3 p241 解：画出杆件的轴力图求出个段轴向变形量 AC段： CD段： DB段：由ε=△L/L得： ε1= -300x10-6 ε2= 200x10-6 ε3= 400x10-6 总变形：△l=(-36+20+40)x10-3=0.024mm

P269 15-5 作业

第十三章材力的基本内容