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《 近世代数 》 精品课程. 第四章 整环里的因子分解. § 4. 1 - § 4.3. 目的与要求 : ◆ 掌握整除 , 单位 , 相伴元 , 平凡因子 , 真因子 , 素元 , 唯一分解的概念及性质 . ◆ 掌握唯一分解环的概念及等价定义 , 了解公因子最大公因子的概念与最大公因子的存在性 . ◆ 掌握主理想环的概念和性质,以及主理想环与唯一分解环的关系. 单位. 整除. 《 近世代数 》 精品课程. §4.1 素元 唯一分解. 定义 4.1.1 整环 I 中的可逆元 ε 称 I 的一个单位. 注 :.

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§ 4. 1 - § 4.3

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Presentation Transcript


4 1 4 3

《近世代数》精品课程

第四章 整环里的因子分解

§ 4.1- § 4.3

目的与要求:

◆掌握整除,单位,相伴元,平凡因子,真因子,素元,唯一分解的概念及性质.

◆掌握唯一分解环的概念及等价定义,了解公因子最大公因子的概念与最大公因子的存在性.

◆掌握主理想环的概念和性质,以及主理想环与唯一分解环的关系.


4 1 4 3

单位

整除

《近世代数》精品课程

§4.1 素元 唯一分解

定义4.1.1整环I中的可逆元ε称I的一个单位.

注:

单位和单位元是两个不同的概念,单位元一定是一个单位,而单位未必是单位元.

定义4.1.2称整环I的一个元a可以被I的元b整除,假如

在I里找得出元c,使得a=bc.假如a能被 b整除,我们

说b是a的因子,并且用符号b|a 来表示,否则用 b a

来表示.


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相伴元

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定义4.1.3元b叫做元a相伴元,假如b=εa ,其中ε是I的一个单位.

平凡因子;真因子

定义4.1.4单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子,其余的a的因子,叫做真因子.

素元

定义4.1.5整环I的一个元p叫做一个素元,假如p既不

是零元,也不是单位,并且p只有平凡因子.


4 1 4 3

定 理4.1.1两个单位 和 的乘积 是一个单位,

单位 的逆 也是一个单位.

定 理4.1.2

证明(1)

(2)

(3)

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4 1 4 3

证明

,矛盾.

故a有真因子.

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定 理4.1.3整环中一个不等于零的元a有真因子的充

分而且必要条件是:a=bc,b和c都不是单位元.

推论 假定a≠0,并且a有真因子b,a=bc,那么c也是a

的真因子.


4 1 4 3

定义4.1.6我们说,一个整环I的一个元a在I里有唯一分解,假如以下条件能被满足:

(i) ( 是I的素元);

(ii)若同时 ( 是I的素元);

那么 ,且可把 的次序掉换

( 是I的单位).

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唯一分解


4 1 4 3

(iii)

证明(i)

(ii)

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例 是整环, 是4在此环中两种不同的分解.


4 1 4 3

例  是一个UFD, 不是一个UFD.

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§4.2 唯一分解环

唯一分解环

定义4.2.1一个整环I叫做一个唯一分解环(UFD),如果I

的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解.


4 1 4 3

证明 当

定理4.2.1 假定I是一个UFD, 是I中的素元,则对任意

有: .

中有一个是零或是单位时,定理显真.

皆非零元,也非单位.

于是

.又令

于是

由分解唯一性知

;如

推论 在一个UFD中, 若素元 ,则 必整除某一个 .

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4 1 4 3

定理4.2.3假定I是唯一分解环,

定理4.2.2 若整环I满足:

(1)

(2) 若

那么I一定是唯一分解环.

定义4.2.2

定义4.2.3

(1)在I中,

(2)

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4 1 4 3

证明 设

例 1

另一方面,若

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§4.3 主理想环

定义4.3.1 如果整环I中的每一个理想都是主理想,

则称I是一个主理想环,记为PID.


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例 2

证明:设

另一方面,若

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4 1 4 3

引理4.3.1

设是一个PID, 则I中的每一个真因子序列一定

是有限序列. 即若序列 中每一个元素都是前面一个

元的真因子,则该列一定是有限序列.

引理4.3.2设

注:定理的逆不成立. 例如

是一个PID, 则I是UFD.

定理4.3.1设

是一个PID,

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4 4 4 6

《近世代数》精品课程

§ 4.4- § 4.6

目的与要求:

◆掌握欧氏环的定义以及欧氏环和主理想环的关系

◆掌握本原多项式的定义与性质,以及多项式的可约性判断.

◆掌握多项式的根,重根,导数;重根的判别定理.


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定义4.4.1设I是整环,若

存在映射

例1整环

证明令

其中

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§4.4 欧氏环


4 1 4 3

定理4.4.2

引理4.4.1假定

定理4.4.1任何一个欧氏环一定是一个主理想环,因而一

定是一个唯一分解环.

的最高系数

注:定理4.4.1的逆不真,P.I.D未必是欧氏环. 如复数域的子环

是一个P.I.D但不是欧氏环.

其中

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例3Gauss整数环

证明易证

是整环. 令

则存在

使得

因此

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例2数域F上的多项式环


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定理4.4.3域F上的一元多项式环

证明显然

由引理4.4.1可知,

其中

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4 1 4 3

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附注几种常见的整环之间的关系图:

例①可取

整环①

例②可取

UFD②

例③可取

PID③

例④可取或数域F

上的一元多项式环;

ED④

例⑤可取有理数域、实

数域、复数域等.

域⑤


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上的一元多项式环,则有如下简单事实:

(1)

(2)

(3)若本原多项式

(4)

(5)

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§4.5 多项式环的因子分解


4 1 4 3

唯一分解.

引理4.5.1

引理4.5.2假设

引理4.5.3

定理4.5.2若

定理4.5.1若

(1)

必要条件是

(2)

多项式,则

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定义4.6.1设

定理4.6.1假定

定理4.6.2

推论

的充分必要条件是

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§4.6 因子分解与多项式的根


4 1 4 3

定理4.6.3

定义4.6.2

推论

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