Θεματική ενότητα

1. Θεματική ενότητα Πιθανότητες (Ασκήσεις)

2. Θέμα Ένα κουτί περιέχει 8 κόκκινες, 3 άσπρες και 9 μπλε μπάλες. Εάν 3 μπάλες επιλεχθούν με τυχαίο τρόπο, ποια είναι η πιθανότητα (α) όλες οι 3 μπάλες να είναι κόκκινες; (β) όλες οι 3 μπάλες να είναι άσπρες; (γ) οι 2 να είναι κόκκινεςκαι 1άσπρη; 

3. Θέμα (συνέχεια) (δ) τουλάχιστον 1 να είναι άσπρη; (ε) να επιλεχθεί μια μπάλα από κάθε χρώμα; (στ) οι μπάλες να επιλεχθούν με την εξής σειρά: κόκκινη, άσπρη, μπλε

4. Λύση (α) Ας συμβολίσουμε ως Riτο γεγονός «κόκκινη μπάλα επιλέγεται στην i-th επιλογή». (έχουμε το R1, R2, R3) Τότε το R1 * R2 * R3 συμβολίζει το γεγονός ότι και οι τρεις μπάλες είναι κόκκινες. Η πιθανότητα θα είναι: Pr{R1, R2, R3} = Pr{R1 and R2 and R3} = Pr {R1} * Pr {R2| R1} * Pr{R3 | R1R2} = (8/20) * (7/19) * (6/18) = 14/285

5. Λύση (συνέχεια) [ Το ερώτημα αυτό μπορεί να λυθεί και με ένα άλλο τρόπο (2η μέθοδος) = (8!/ 3!(8-3)!) / (20!/ 3!(20-3)!) = 14 / 285 ] (β) Ακολουθώντας τη δεύτερη μέθοδο του προηγούμενου ερωτήματος θα έχουμε: Pr {όλες οι 3 μπάλες είναι άσπρες} = = 3!/ 3!(3-3)! / 20!/ 3!(20-3)!

6. Λύση (συνέχεια) (γ) Pr {δύο κόκκινες μπάλες και μία άσπρη} = = 8!/ 2!(8-2)! * 3!/ 1!(3-1)! / 20!/ 3!(20-3)! (δ) Pr {καμία δενείναι άσπρη} = = 17!/ 3!(17-3)! / 20!/ 3!(20-3)! = 34/57 Επομένως: Pr{τουλάχιστον μία είναι άσπρη} = 1 – 34/57 

7. Λύση (συνέχεια) (ε) Pr{μία από κάθε χρώμα επιλέγεται}= 8!/ 1!(8-1)! * 3!/ 1!(3-1)! * 9!/ 1!(9-1)! / 20!/ 3!(20-3)!= = 18/95 (στ) Θα χρησιμοποιήσουμε την λύση του προηγούμενου ερωτήματος. Έχουμε: Pr{οι μπάλες επιλέγονται με την εξής σειρά: κόκκινη, άσπρη, μπλε}= = 1/3! * Pr{μία από κάθε χρώμα επιλέγεται}= = 1/6 * 18/95 [Εναλλακτική μέθοδος: Pr{R1 W2 B3} = Pr{R1} * Pr{W2| R1} * Pr{B3 | R1W2} = = (8/20) * (3/19) * (1/18) = 3/95 ]

8. Θέμα Ρίχνουμε το ζάρι 5 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε τρεις εξάρες;

9. Λύση Η κάθε ρίψη του ζαριού μπορεί να πάρει ένα εκ των αριθμών: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Όλες οι 5 ρίψεις αντιπροσωπεύονται από μία σειρά _ _ _ _ _ , όπου το κάθε στοιχείο της μπορεί να είναι έξι ή μη έξι. Η πιθανότητα να έχουμε το γεγονός: 6 6 x 6 x (όπου x ένας φυσικός αριθμός στο διάστημα [1,5]), δηλ. η πρώτη, η δεύτερη και η τέταρτη ρίψη να είναι εξάρες και οι υπόλοιπες μη εξάρες, είναι ίση με: (1/6)3 * (5/6)2

10. Λύση (συνέχεια) Παρόμοια Pr{6 x 6 x 6} = (1/6)3 * (5/6)2 αυτή είναι η πιθανότητα για όλα τα γεγονότα στα οποία υπάρχουν τρεις εξάρες και δύο μη-εξάρες. Παρατηρήστε ότι υπάρχουν 5!/ 3!(5-3)! = 10 τέτοια γεγονότα και όλα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους.

11. Λύση (συνέχεια) Επομένως, η πιθανότητα κάποιο από αυτά να συμβεί είναι: 5!/ 3!(5-3)! * (1/6)3 * (5/6)2 = =125/3888

12. Γενικότερα Εάν p = Pr{E}και q = Pr{-E},εφαρμόζοντας την παραπάνω λογική, η πιθανότητα να έχουμε ακριβώς XΕ’s σε N «πειράματα» (δοκιμασίες/ trials)είναι C(N,X) * pX * qN-X

13. Θέμα Ένα εργοστάσιο βρίσκει ότι κατά μέσο όρο 20% των προϊόντων που κατασκευάζει μία μηχανή θα είναι ελαττωματικά. Εάν 10 προϊόντα διαλέγονται τυχαία από αυτά που κατασκευάστηκαν μία ημέρα από αυτήν την μηχανή, ποια είναι η πιθανότητα (α) ακριβώς δύο από αυτά να είναι ελαττωματικά; (β) δύο ή περισσότερα να είναι ελαττωματικά; (γ) περισσότερα από 5 να είναι ελαττωματικά;

14. Λύση Χρησιμοποιώντας την συλλογιστική του προηγούμενου προβλήματος έχουμε: (α) Pr{2 ελαττωματικά προϊόντα} = 10!/ 2!(10-2)! * 0.22 * 0.88 (β) Pr{2 ή περισσότεραελαττωματικά προϊόντα} = = 1 - Pr{0ελαττωματικά προϊόντα} - Pr{1ελαττωματικό προϊόν} = 1 – 10!/ 0!(10-0)! * 0.20 * 0.810 – 10!/ 1!(10-1)! * 0.21 * 0.89

15. Λύση (συνέχεια) (γ) Pr{περισσότερα από 5 να είναι ελαττωματικά}= = Pr{6ελαττωματικά προϊόντα} + Pr{7ελαττωματικά προϊόντα} + Pr{8ελαττωματικά προϊόντα} + Pr{9ελαττωματικά προϊόντα} + Pr{10ελαττωματικά προϊόντα} = = 10!/ 6!(10-6)! * 0.26 * 0.84+ 10!/ 7!(10-7)! * 0.27 * 0.83 + 10!/ 8!(10-8)! * 0.28 * 0.82 + 10!/9!(10-9)! * 0.29 * 0.81 + 10!/10!(10-10)! * 0.210

16. Γενικότερα Το πρόβλημα των αριθμών επιλογών rαντικειμένων από μία συλλογή με nαντικείμενα ονομάζεται ο αριθμός των συνδυασμών nαντικειμένων από τα οποία παίρνουμε rαντικείμενα τη φορά και συμβολίζεται με ή C(n,r) και δίνεται από τον τύπο = n! / (r!*(n-r)!) = n*(n-1)*…*1 / (r!*(n-r)!)= = n*(n-1)…(n-r+1)*(n-r)*…*1/ (r!*(n-r)!) = = n*(n-1)…(n-r+1) / r!