1 / 77

Agenda

Agenda. Definicja potęgi. Działania na potęgach- teoria i praktyka. Notacja wykładnicza. Liliputy . Olbrzymy. Obliczenia na liczbach małych i dużych. System dziesiątkowy, dwójkowy, szesnastkowy. Działania w różnych systemach. Ciekawostki. Realizatorzy projektu.

urban
Download Presentation

Agenda

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Agenda • Definicja potęgi. • Działania na potęgach- teoria i praktyka. • Notacja wykładnicza. • Liliputy. • Olbrzymy. • Obliczenia na liczbach małych i dużych. • System dziesiątkowy, dwójkowy, szesnastkowy. • Działania w różnych systemach. • Ciekawostki.

  2. Realizatorzy projektu COMBIDATA Poland Sp. z o.o. Uniwersytet Szczeciński

  3. Patroni projektu ZachodniopomorskiKurator Oświaty Wielkopolski Kurator Oświaty Lubuski Kurator Oświaty

  4. Dane informacyjne Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 2 im Powstańców Wielkopolskich w Wolsztynie ID grupy: 98/4_mf_g2 Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych. Semestr/rok szkolny: 2 semestr roku szkolnego 2011/2012

  5. Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych

  6. Co to jest potęga ? Potęgą liczby a o wykładniku naturalnym n nazywamy iloczyn n liczb, których każda jest równa a, czyli: an= a*a*a* … * a Liczba a występuje n razy UWAGA!!!a0= 1

  7. Po co potęgować ? Symbol potęgi wprowadzono po to, aby skrócić zapis mnożenia tych samych czynników lub żeby móc przedstawić w krótkiej postaci duże liczby. Potęgowanie to operacja będąca uogólnieniem wielokrotnego mnożenia. MOŻNA TAK 2*2*2*2*2*2*2*2 ALBO TAK 28

  8. Potęga 00 Zdefiniowanie potęgi 00 sprawia problemy. Z jednej strony można by ja przedstawić jako a0 i rozszerzyć wartość na 1. z drugiej strony natomiast 0n =0, dla wszelkich niezerowych n. Druga wersja nie została przyjęta, ponieważ funkcja f(x)= 0x ma niewielkie znaczenie. Natomiast za przyjęciem wartości 00 = 1 istnieje sporo argumentów. Często w analizie matematycznej 00 przyjmuje się, że jest symbolem nieoznaczonym. W algebrze abstrakcyjnej 00 jest zawsze równe 1.

  9. Działania na potęgach

  10. Mnożenie potęg o tych samych podstawach GDY MAMY DOCZYNIENIE Z MNOŻENIEM POTĘG O JEDNAKOWYCH PODSTAWACH WYSTARCZY DODAĆ DO SIEBIE WYKŁĄDNIKI. WZÓR OGÓLNY: an · am = an+m PRZYKŁAD: 52 ∙ 517 = 52+17 = 519

  11. Dzielenie potęg o tych samych podstawach GDY MAMY DOCZYNIENIE Z DZIELENIEM POTĘG O JEDNAKOWYCH PODSTAWACH WYSTARCZY ODJĄĆ OD SIEBIE WYKŁĄDNIKI. WZÓR OGÓLNY: an : am = an-m PRZYKŁAD: 5 17: 5 2= 5 17-2 = 5 15

  12. Mnożenie potęg o tych samych wykładnikach GDY MAMY DOCZYNIENIE Z MNOŻENIEM POTĘG O JEDNAKOWYCH WYKŁĄDNIKACH WYSTARCZY PODSTAWY UJĄC W NAWIAS I PRZEPISAĆ WYKŁADNIK . WZÓR OGÓLNY: an · bn = (a · b)n PRZYKŁAD: 3 2 ∙ 2 2 = (3∙2)2 = 62= 36

  13. Dzielenie potęg o tych samych wykładnikach GDY MAMY DOCZYNIENIE Z DZELENIEM POTĘG O JEDNAKOWYCH WYKŁĄDNIKACH WYSTARCZY PODSTAWY UJĄĆ W NAWIAS I PRZEPISAĆ WYKŁADNIK . WZÓR OGÓLNY: an : bn = (a : b)n PRZYKŁAD: 4 2 : 22 = (4:2)2 = 22 = 4

  14. Potęga potęgi GDY MAMY DOCZYNIENIE Z POTĘGĄ POTĘGI WYSTARCZY POMNOŻYĆ WYKŁADNIKI . WZÓR OGÓLNY: ( an ) m = an · m PRZYKŁAD: (5 5) 5 = 55∙5 = 5 25

  15. Potęga o wykładniku ujemnym POTĘGA O WYKŁADNIKU UJEMNYM LICZBY RÓŻNEJ OD ZERA JEST ODWROTNOŚCIĄ POTĘGI O TEJ SAMEJ POSTAWIE I PRZECIWNYM WYKŁĄDNIKU. PRZYKŁAD:

  16. Zadania na potęgach

  17. Wygląda strasznie ale to tylko pozory…

  18. POSTAĆ WYKŁADNICZA Wzór: Ważne: Notacją wykładniczą liczby - nazywamy zapis tej liczby w postaci iloczynu liczby oraz potęgi liczby. a*10n a

  19. PRZYKŁADY ZAPISU W NOTACJI WYKŁĄDNICZEJ 1.Przedstaw w postaci naukowej liczby: • 25000=2,5*10000= 2,5*104 • 563400000= 5,634*100000000=5,634*108

  20. Liliputy

  21. GDZIE SPOTYKAMY LILPUTY? Bardzo małe liczby często występują w takich dziedzinach jak chemia, elektronika i fizyka kwantowa. Za pomocą tych liczb opisuje się zjawiska mikroświata (cząsteczki, atomy, jadra atomowe, cząstki elementarne). Opisywane zjawiska na ogół nie podlegają bezpośredniej percepcji człowieka.

  22. PRZYKŁADY Masa cząsteczki wody - 3*10-26 kg Masa protonu - 1,6726*10-27 kg Masa elektronu - 9,1095*10-30 kg

  23. TWORZENIE NAZWY • Sposób ten polega na dołączeniu do nazwy (lub symbolu) jednostki miary jednego z przedrostków (lub jego symbolu) wyrażającego odpowiedni mnożnik dziesiętny. Połączenie symbolu przedrostka z symbolem danej jednostki jest nowym symbolem. • Jeżeli konieczne jest użycie przedrostka, to zawsze używa się przedrostka pojedynczego.

  24. SKRÓT • atta 10-18 as (attosekunda) • femtof 10-15 fm(femtometr) • pikop 10-12 pF (pikofarad) • nanon 10-9 nm (nanometr) • mikrom 10-6 mm (mikrometr) • milim 10-3 mg (miligram) • decyd 10-1dm(decymetr) • centyc 10-2 cm (centymetr)

  25. PRZEDROSTEK • decy (łac. decimus – dziesiąty)0,1 =10 -1 • centy (łac. centum – sto)0,01 = 10−2 • mili (łac. mille – tysiąc) 0,001 = 10−3 • mikro (gr. mikros – mały)0,000 001 = 10−6 • nano(gr. nanos – karzeł) 0,000 000 001 = 10−9

  26. piko (wł. piccolo – mały) p 0,000 000 000 001 = 10−12 • femto (duń. femten – piętnaście) 0,000 000 000000 001 = 10−15 • atto (duń. atten – osiemnaście) 0,000 000 000000000 001 = 10−18 • zepto (fr. sept, gr. septem – siedem) 0,000 000 000000000000 001 = 10−21 • jokto(gr.οκτώ (okto) – osiem)0,000 000 000000000000000 001 = 10−24

  27. NAZWY ZWYCZAJOWE • Femtometr- zwyczajową nazwa tej jednostki długości używana przez fizyków, fermi, została zaproponowana przez Roberta Hofstadtera na cześć włoskiego fizyka Enrico Fermiego. • Angstrem- pochodzi od nazwiska Andersa JönasaÅngströma ,szwedzkiego fizyka i astronoma, jednego z twórców astrofizyki, który po raz pierwszy wprowadził tę jednostkę w 1868 roku. Angstrem nie jest w Polsce legalną jednostką miar.

  28. Olbrzymy

  29. Gdzie spotykamy olbrzymy? Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk.

  30. Tworzenie nazwy W zależności od n liczby noszą różne nazwy w oparciu o nazwy łacińskie. Z łaciny: • bi- oznacza dwu- (stąd bilion) • tri- oznacza trój- (stąd trylion) • quadri- oznacza czwór- (stąd kwadrylion) • quintus oznacza piąty (stąd kwintylion) • sextus oznacza szósty (stąd sekstylion)

  31. septimus oznacza siódmy (stąd septylion) • octavus oznacza ósmy (stąd oktylion) • nonus oznacza dziewiąty (stąd nonilion lub nonylion) • deimus oznacza dziesiąty (stąd decylion) • undecimus oznacza jedenasty (stąd undecylion) • duodecimus oznacza dwunasty (stąd duodecylion) • centum oznacza sto, lub centesimus - setny (stąd centylion)

  32. Poniższa tabela przedstawia nazwy liczb, ich zapis w postaci dziesiętnej oraz zapis w postaci potęgi liczby 10 (dla systemu  stosowanego w Polsce).

  33. Nazwy zwyczajowe W U.S.A nazewnictwo dużych liczb znacznie różni się od tego używanego w innych krajach (jak Wielka Brytania, Polska, ...). W tych krajach bilion (bi- odpowiada dwa) ma dwa razy tyle zer co milion, a trylion (tri - odpowiada trzy) ma trzy razy tyle zer co milion. W pracach naukowych często możemy spotkać się z nazewnictwem Amerykańskim. Polska: 106*nUSA: 103*n+3 =1000*103*n

  34. Obliczenia na liczbach małych i dużych

  35. 1.trylion : biliard = ? 1 000 000 000 000 000 000 : 1 000 000 000 000 000 = 1 000 1018 : 1015 = 103 103=1000 -tysiąc 2.milion * miliard =? 1 000 000 * 1 000 000 000 = 1 000 000 000 000 000 106 * 109 = 10151015 - biliard

  36. 3. pikometr * nanometr= ? 0,000 000 000 001 *0,000 000 001 =0,000 000 000000000000 00110−12 * 10−9 = 10-21 10-21 – zeptometr 4. joktometr : pikometr =? 0,000 000 000000000000000 001 : 0,000 000 000 001 = 10−24 :10−12 =10-24—12 = 10-12 10-12 - pikometr

  37. ZASTOSOWANIE SYSTEMÓW W INFORMATYCE

  38. Co to jest system pozycyjny? Systemy pozycyjne– metody zapisywania liczb w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Np. powszechnie używa się systemu dziesiętnego, w którym za bazę przyjmuje się liczbę dziesięć.

  39. W każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi podstawy systemu. Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż: 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 = 10

  40. SYSTEM DWÓJKOWY Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej naturalnym systemem w informatyce jest dwójkowy system liczbowy inna nazwa binarny. W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.

  41. Przykładowe równania systemu binarnego • 11101 = 1*24+1*23+1*22+0*21+1*20 = 16+8+4+0+1 = 29 • 1011 = 1*23+0*22+1*21+1*20 = 8+2+1 = 11 • 11001101 = 1*27 + 1*26 + 1*23 + 1*22 + 1*20 = 128 + 64 + 8 + 4 + 2 = 206

  42. Jednostki komputerowe

  43. SYSTEM DZIESIĄTKOWY Naturalny dla ludzi system dziesiątkowy został wprowadzony dopiero wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.

  44. System szesnastkowy Ze względu na specyfikę architektury komputerów, gdzie często najszybszy dostęp jest do adresów parzystych, albo podzielnych przez 4, 8 czy 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp. System szesnastkowy często spotykany jest też na stronach www (HTML), gdzie stosowany jest do zapisu kolorów.

  45. 16 Na czym polega ? System szesnastkowy to system różny od tego, którego używamy na co dzień. Różni się o tyle, że bazuje na liczbie 16, a więc potrzebuje 16 znaków za pomocą, których można zapisać dowolną liczbę. Szesnastkowy system liczbowy jest właściwy komputerom, ponieważ pozwala na zapis większych liczb w mniejszych przestrzeniach pamięci. W systemie szesnastkowym inaczej zwanym heksadecymalnym wyróżniamy 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

  46. Przykład konwersji Przykład 1. 576 : 16 = 36, reszty 0 36 : 16 = 2, reszty 4 2 : 16 = 0, reszty 2 576(10) = 240(16) Przykład 2. 126 : 16 = 7, reszty E 7 : 16 = 0, reszty 7 126(10) = 7E(16)

  47. ZAMIANA SYSTEMÓW POZYCYJNYCH Przykładowe (wymyślone przez koleżankę z grupy) zamiany liczb z szesnastkowego systemu na dziesiętny: • 3E4= 3*162+14*161+4*160=768+224+4=996 • 17B32E = 1* 165+ 7* 164+ 11* 163+ 3* 162+ 2* 161+ 14* 160 =1048576 +458752 +12288 +512 +32 +4 = 1520164

  48. CIEKAWOSTKI

More Related