Zadatak Konstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha.

1. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje Točke prodorne krivulje konstruirati ćemo tako da plohesiječemo sistemom ravnina koje i stožac i valjak sijeku po izvodnicama. U svakoj takvoj ravnini leže dvije izvodnice stošca koje se sijeku u točki V i dvije izvodnice valjka koje su paralelne (sijeku se u beskonačnosti). Osim toga te četiri izvodnice sijeku se još u četiri točke tražene prodorne krivulje. Ta četiri sjecišta mogu biti realna i različita, realna koja se u parovima podudaraju, a mogu i sva četiri realna sjecišta pasti u jednu točku. Osim toga neke od ravnina sistema sijeku stožac ili valjak (ili obe plohe) imaginarno pa su u njima i točke prodorne krivulje imaginarne. Nadalje ćemo promatrati samo realni dio prodorne krivulje.

2. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje Ravnine koje obje plohe sijeku po izvodnicama čine pramen ravnina[q]. To su sve one ravnine prostora koje sadrže pravac q koji prolazi vrhom stošca, a paralelan je s osi valjka. Ravnine pramena [q] sijeku stožac po izvodnicama, jer sadrže vrh V, a valjak sijeku po izvodnicama zato što su paralelne s njegovom osi.

3. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje Pravac q paralelan je s ravninom P1 pa možemo postaviti stranocrtnu ravninu P3 koja je na njega okomita. Za tako postavljenu stranocrtnu ravninu, ravnine pramena [q] su projicirajuće što će nam znatno pojednostavniti postupak konstrukcije presječnih izvodnica. Osim toga, vrlo je jednostavno i određivanje stranocrta tražene realne prodorne krivulje. To je dvostruko brojeni kružni luk k’’’ (svaka točka luka k’’’ stranocrtna je projekcija dviju točaka prodorne krivulje).

4. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje Granične ravnine,koje razdvajaju realni od imaginarnog dijela prodorne krivulje, tangencijalne su za jednu od ploha u prodoru. U našem je primjeru ravnina a tangencijalna ravnina stošca, a btangencijalna ravnina valjka. Iz toga zaključujemo da niti jedna od ploha ne prodire u potpunosti kroz onu drugu, tj. svaka od ploha sadrži dijelove koji relno ne prodiru kroz drugu plohu. Takav tip prodora nazivamo zadorom. Točke prodorne krivulje koje leže u graničnim ravninama nazivamo obratištima. U njima se tangenta prodorne krivulje podudara s jednom od izvodnica plohe u prodoru. U našem primjeru postoje četiri obratišta prodorne krivulje k. To su točke A,B, C i D. Slika pokazuje kako se lako konstruiraju stranocrtii tih točaka.

5. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje Konstruiramo tlocrte i nacrte obratišta A i B. Tlocrt i nacrt one izvodnice stošca duž koje ga dodiruje granična ravnina a lako odredimo pomoću njezinog nožišta P. Također je lako odrediti i tlocrte izvodnica a i b po kojima ravnina a siječe valjak (pomoću ordinala iz stranocrta). Nešto je kompliciranija konstrukcija nacrta tih izvodnica, a temelji se na činjenici da se udaljenosti izvodnica valjka od ravnina paralelnih s ravninom P1 u stranocrtu i nacrtu vide u pravoj veličini. (Za konstrukciju smo koristili ravninu S koja je paralelna s ravninom P1 i prolazi kroz os valjka.) O vidljivostima izvodnica valjka u tlocrtu i nactru možemo zaključiti iz njihovih stranocrta. Tangente prodorne krivulje u točkama A i B podudaraju se s izvodnicama a i b.

6. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje Tlocrte i nacrte obratišta C i D,što leže u graničnoj ravnini b, konstruiramo na isti način kao i za obratišta A i B. Tangente prodorne kriulje u točkama C i D podudaraju se s izvodnicama stošca.

7. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje Nakon što smo konstruirali projekcije obratišta počinjemo konstruirati projekcije onih točaka prodorne krivulje koje leže na konturnim izvodnicama. Takvih izvodnica može biti najviše 8 (po 2 za svaku plohu u tlocrtu i nacrtu). U našem primjeru takvih je izvodnica samo 5 (4 za nacrt i 1 za tlocrt). KONTURNE TOČKE ZA TLOCRT Stožac nema konturnih izvodnica za tlocrt, a od 2 tlocrtne konturne izvodnice valjka u realnom prodoru je samo izvodnica c (stražnja). Kroz izvodnicu c postavljamo ravninu gkoja pripada pramenu [q]. Ona stožac i valjak siječe u 4 izvodnice koje daju 4 relne točke prodorne kriulje – E, F, E1i F1. U točkama E’ i F’ mijenjati će se vidljivost tlocrta prodorne krivulje, a pravac c’ biti će dvostruka tangenta tog tlocrta s diralištima E’ i F’. Točke E1 i F1, koje smo konstruirali usput, dobro će nam doći prilikom iscrtavanja projekcija prodorne krivulje.

8. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje KONTURNE TOČKE ZA NACRT (I) Kroz izvodnicu d, koja je dio nacrtne konture stošca, postavljamo ravninu d pramena [q]. U toj ravnini leže 4 točke prodorne krivulje – G, H, G1i H1. Njihova vidljivost u pojedinoj projekciji ovisi o vidljivosti odgovarajućih izvodnica. Pravac d’’ biti će dvostruka tangenta nacrta prodorne krivulje s diralištima G’’ i H’’.

9. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje KONTURNE TOČKE ZA NACRT (II) Kroz izvodnicu e, koja je dio nacrtne konture stošca, postavljamo ravninu e pramena [q]. U toj ravnini leže 4 točke prodorne krivulje – I, J, I1i J1. Njihova vidljivost u pojedinoj projekciji ovisi o vidljivosti odgovarajućih izvodnica. Pravac e’’ biti će dvostruka tangenta nacrta prodorne krivulje s diralištima I’’ i J’’.

10. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje KONTURNE TOČKE ZA NACRT (III) Točke prodorne krivulje koje leže na nacrtnim konturnim izvodnicama valjka konstruiramo (zbog veće preciznosti) pomoću kružnog presjeka. Valjak i stožac siječemo ravninom f koja sadrži izvodnicu f, a paralelna je s ravninom tlocrta. Ta ravnina siječe stožac po kružnici (čiji se polumjer u stranocrtu i nacrtu vidi u pravoj veličini), a valjak dodiruje duž izvodnice f. Točke K i L, sjecišta kružnice i izvodnice, tražene su koturne točke.

11. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje KONTURNE TOČKE ZA NACRT (IV) Valjak i stožac siječemo ravninom h koja sadrži izvodnicu h, a paralelna je s ravninom tlocrta. Ta ravnina siječe stožac po kružnici (čiji se polumjer u stranocrtu i nacrtu vidi u pravoj veličini), a valjak dodiruje duž izvodnice h. Točke M i N, sjecišta kružnice i izvodnice, tražene su koturne točke.

12. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje SPAJANJE TOČAKA PRODORNE KRIVULJE Projekcije prodorne krivulje dobivamo spajanjem konstruiranih točaka. Pritom treba obratiti pažnu na redoslijed spajanja i na vidljivost krivulje u projekciji.Najbolje je početi od granične ravnine, tj. od obratišta, te slijediti redoslijed u pramenu ravnina [q]. U našem primjeru redoslijed spajanja pratimo u stranocrtu i postepeno iscrtavamo nacrt i tlocrt prodorne krivulje. Počinjemo od obratišta B kojeg spajamo s konturnim točkama na gornjoj izvodnici valjka. Nadalje nećemo posebno navoditi o kojim se točkama prodorne krivulje radi, budući da je to vidljivo sa crteža.

13. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje SPAJANJE TOČAKA PRODORNE KRIVULJE

14. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje SPAJANJE TOČAKA PRODORNE KRIVULJE

15. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje SPAJANJE TOČAKA PRODORNE KRIVULJE

16. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje SPAJANJE TOČAKA PRODORNE KRIVULJE

17. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje SPAJANJE TOČAKA PRODORNE KRIVULJE

18. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje SPAJANJE TOČAKA PRODORNE KRIVULJE

19. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje SPAJANJE TOČAKA PRODORNE KRIVULJE

20. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje SPAJANJE TOČAKA PRODORNE KRIVULJE

21. ZadatakKonstruirajte projekcije prodorne krivulje zadanih rotacijskih ploha. Rješenje BOJANJE PLOHA U PRODORU