Oscillations libres d’un circuit RLC

1. Oscillations libres d’un circuit RLC

2. Montage à revoir On abaisse l’interrupteur. Une décharge oscillante du condensateur se produit dans la bobine parfaite de résistance nulle.

3. Equation différentielle régissant la décharge D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

4. Equation différentielle régissant la décharge D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

5. Equation différentielle régissant la décharge D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

6. Equation différentielle régissant la décharge D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC : L’équation différentielle peut s’écrire :

7. Equation différentielle régissant la décharge D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC : L’équation différentielle peut s’écrire :

8. Equation différentielle régissant la décharge D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC : L’équation différentielle peut s’écrire : ou bien

9. Solution de l’équation différentielle

10. Solution de l’équation différentielle Elle est de la forme : uC= UCmax cos (0 t + ) Que représente UC max? UCmax est la tension maximale aux bornes du condensateur (V) Que représente w0? w0est la pulsation propre (rad/s) Que représente w0 t +  ? w0 t + est phase à un instant t quelconque (rad) Que représente  ?  est la phase à l’origine des dates (rad)

11. Graphe : uC = UCmax cos (0 t + ) avec  = 0

12. Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 : uC=UCmax cos (0 t + )

13. Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 : uC=UCmax cos (0 t + )

14. Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 : uC=UCmax cos (0 t + )

15. Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 : uC=UCmax cos (0 t + ) D’où finalement :

16. Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 : uC=UCmax cos (0 t + ) D’où finalement : L’équation différentielle est vérifiée si l’on pose :

17. La solution uC = UCmax cos (0 t +) est périodique de période T. cos (0 t + ) = cos [0 (t +T0) + ) (1) La fonction cosinus est périodique de période 2. cos (0 t + ) = cos [0 t +  + 2) (2) Les équations (1) et (2) permettent d’écrire : cos [0 (t +T0)+ ) = cos [0 t +  + 2) 0 (t +T0) +  = 0 t +  + 2 0 t + 0 T0 +  = 0 t +  + 2 0 T0 = 2

18. La solution uC = UCmax cos (0 t +) est périodique de période T. cos (0 t + ) = cos [0 (t +T0) + ) (1) La fonction cosinus est périodique de période 2. cos (0 t + ) = cos [0 t +  + 2) (2) Les équations (1) et (2) permettent d’écrire : cos [0 (t +T0)+ ) = cos [0 t +  + 2) 0 (t +T0) +  = 0 t +  + 2 0 t + 0 T0 +  = 0 t +  + 2 0 T0 = 2 La période s’écrit :

19. Expression de l’intensité du courant :

20. Expression de l’intensité du courant : uC=UCmax cos (0 t + )

21. Expression de l’intensité du courant : uC=UCmax cos (0 t + )

22. Expression de l’intensité du courant : uC=UCmax cos (0 t + )

23. Expression de l’intensité du courant : uC=UCmax cos (0 t + ) La tension uC et l’intensité i du courant sont déphasées de /2.