Geometria
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GEOMETRIA. PREPARAZIONE ALLA VERIFICA. NOTIZIE STORICHE. LA PAROLA GEOMETRIA DERIVA DAL GRECO E SIGNIFICA “ MISURA DELLA TERRA ” FURONO TALETE DI MILETO E PITAGORA DI SAMO AD INTRODURRE IN GRECIA LE CONOSCENZE GEOMETRICHE DI EGIZIANI E BABILONESI.

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Presentation Transcript
Geometria

GEOMETRIA

PREPARAZIONE ALLA VERIFICA


Notizie storiche
NOTIZIE STORICHE

  • LA PAROLA GEOMETRIA DERIVA DAL GRECO E SIGNIFICA “MISURA DELLA TERRA”

  • FURONO TALETE DI MILETO E PITAGORA DI SAMO AD INTRODURRE IN GRECIA LE CONOSCENZE GEOMETRICHE DI EGIZIANI E BABILONESI.


  • MA FU EUCLIDE (3° SEC. A.C.), CON LA SUA OPERA ELEMENTI, A COSTITUIRE IL PUNTO DI PARTENZA PER L’INSEGNAMENTO ELEMENTARE DELLA GEOMETRIA, CHE ANCORA OGGI VIENE CHIAMATA “GEOMETRIA EUCLIDEA”.

  • LA GEOMETRIA DIVENTA UNA SCIENZA.


Concetti ed enti primitivi
CONCETTI ED ENTI PRIMITIVI

  • NON SI POSSONO DEFINIRE CON IDEE PIU’ ELEMENTARI E SONO ESPRESSI DA PAROLE IL CUI SIGNIFICATO E’ NOTO A TUTTI. NON ABBIAMO BISOGNO DI DEFINIRLI

  • SONO CONCETTI PRIMITIVI:

    1. MOVIMENTO RIGIDO, 2. APPARTENENZA

  • SONO ENTI PRIMITIVI:

    1. PUNTO, 2. RETTA, 3. PIANO, 4. SPAZIO


  • PUNTO: lo indico con la letterea maiuscola.

    .A .B .C .D

  • RETTA: è un insieme di punti ed è ottenuta utilizzando il righello. La indico con lettere minuscole.

    r

  • PIANO: è come un foglio di carta, ma con lunghezza e larghezza indefinite. Lo indico con , ,  .

  • SPAZIO:è tutto ciò che ci circonda


Definizioni
DEFINIZIONI

  • tutti i termini che vengono usati acquistano un ben preciso significato.

  • serviranno per esprimere alcuni concetti, ricorrendo ad altri concetti o enti precedentemente definiti.


Postulati o assiomi
POSTULATI O ASSIOMI

  • sono affermazioni che esprimono delle proprieta’ evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza.

  • per esempio: per due punti passa una ed una sola retta.


Ragionamento
RAGIONAMENTO

  • E’ l’elaborazione, fatta dal pensiero, dei dati forniti dall’intuizione e dall’esperienza.


Teoremi
TEOREMI

  • Lo spazio ha delle proprieta’ che sono meno evidenti e che per essere accettate devono essere dimostrate.

  • Le considerazioni logiche che si devono fare, partendo dai concetti primitivi e postulati introdotti, per arrivare al teorema proposto, sono le dimostrazioni del teorema.


Corollari
COROLLARI

  • Sono le proposizioni che sono conseguenza immediata di un teorema.


Applicazioni della logica alla geometria
APPLICAZIONI DELLA LOGICA ALLA GEOMETRIA

  • Si utilizzano in geometria i seguenti principi fondamentali della logica:

  • PRINCIPIO D’IDENTITA’: Ogni ente e’ identico a se stesso;

    2. PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE: Una proposizione non puo’ essere contemporaneamente vera e falsa;


3. PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO: Una proposizione o e’ vera o e’ falsa;

4. PROPRIETA’ TRANSITIVA DELL’IMPLICAZIONE: Se una proposizione ne implica una seconda e questa a sua volta ne implica una terza, allora anche la prima implica la terza.

Es. (P1P2)  (P2P3) (P1  P3)


Teoremi1
TEOREMI

  • Si puo’ definire come una implicazione logica tra due predicati detti ipotesi (i) e

    tesi (t), che deve essere verificata.

    I  T

    L’ENUNCIATO Esprime il contenuto dell’implicazione logica da verificare e puo’ essere vero o falso.

    L’IPOTESI Esprime quello che si suppone essere vero.


LA TESI Esprime quello che si deve verificare;

LA DIMOSTRAZIONE E’ il processo deduttivo che porta ad affermare la verita’ della tesi tutte le volte che si verifica l’ipotesi.


Dimostrazione diretta
DIMOSTRAZIONE DIRETTA

  • Il ragionamento che dalla verita’ dell’ipotesi conduce alla verita’ della tesi e’ la dimostrazione e tiene conto dei postulati, dei teoremi precedenti, e della proprieta’ transitiva dell’implicazione logica.



Dimostrazione diretta di un teorema
DIMOSTRAZIONE DIRETTA DI UN TEOREMA DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • IPOTESI vera

  • RAGIONAMENTI LOGICI

  • TESI vera


Teoremi derivati
TEOREMI DERIVATI DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • Data l’implicazione I T, che supponiamo vera e che chiamiamo TEOREMA DIRETTO:

  • TEOREMA RECIPROCO O INVERSO (non è sempre vero)

    T  I

  • TEOREMA CONTRARIO

    T negato I

  • TEOREMA CONTRONOMINALE

    T negato I negato


  • Se I DICE CHE SI E’ FATTA UNA T e T I sono entrambi vere, allora

    IT si equivalgono.

    Se il teorema diretto è vero ed è vero anche il reciproco, allora Ipotesi e Tesi si equivalgono.


Dimostrazione per assurdo di un teorema metodo indiretto
DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO DI UN TEOREMA DICE CHE SI E’ FATTA UNA (METODO INDIRETTO)

  • Vogliamo dimostrare l’implicazione I  T

  • Supponiamo vera l’ipotesi I

  • Supponiamo vera la negazione della tesi (si nega la tesi) T negato

  • Dimostro per via diretta che T negato  I negato sono vere. Ma avrei II negato vere entrambi: ciò non è possibile, è un ASSURDO.


  • Risultano vere DICE CHE SI E’ FATTA UNA I e I negato: dalla verità di T negato segue la verità di I negato, quindi I non può essere contemporanenamente vera e falsa.

  • E’ sbagliato aver supposto T negato vera, quindi T è vera.

    6. T vera: il teorema è domostrato.


Dimostrazione per assurdo di un teorema
DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO DI UN TEOREMA DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • IPOTESI I  T vera

  • NEGAZIONE DELLA TESI T negato vera

  • RAGIONAMENTI LOGICI

    T negato  I negato = II negatoASSURDO

    (per il principio di non contraddizione)

  • NEGAZIONE T negato falsa

  • TESI T vera


Teoremi derivati1
TEOREMI DERIVATI DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • DATO IL TEOREMA VERIFICATO I  T

    DETTO TEOREMA DIRETTO, SI POSSONO RICAVARE ALTRE TRE IMPLICAZIONI:

  • TEOREMA RECIPROCO O INVERSO:

    T  I;

  • TEOREMA CONTRONOMINALE:

    non T  I;

    3. TEOREMA CONTRARIO:

    non I  non T


Teorema reciproco o inverso
TEOREMA RECIPROCO O INVERSO DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • IL TEOREMA RECIPROCO NON E’ SEMPRE VERO.

    Es.

  • se x è un angolo ottuso, allora è maggiore della metà di un angolo retto; (non è vero)

  • Se x è un angolo maggiore di un angolo retto allora il doppio di x è maggiore di un angolo piatto. (vero)


Coimplicazione logica
COIMPLICAZIONE LOGICA DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • QUANDO UN TEOREMA I  T

    È VERO ANCHE L’INVERSO, T  I ,

    SI HA LA COIMPLICAZIONE LOGICA

    I  T

    E I DUE PREDICATI (I) E (T) SI DICONO EQUIVALENTI.


Teorema contronominale
TEOREMA CONTRONOMINALE DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • E’ SEMPRE VERO, QUINDI E’ VERO ANCHE IL TEOREMA DIRETTO.

  • LA PRIMA LEGGE DELLE INVERSE: SE UN TEOREMA E’ VERO, ALLORA E’ VERO ANCHE IL SUO CONTRONOMINALE E VICEVERSA.


Teorema contrario
TEOREMA CONTRARIO DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • NON E’ SEMPRE VERO.

    DATO IL TEOREMA CONTRARIO

    I  T

    L’IMPLICAZIONE non I  non T,

    E’ VERA SOLO SE, E SOLO SE, E’ VERO IL TEOREMA I  T , CIOE’ IL TEOREMA INVERSO DEL TEOREMA DATO.


Seconda legge delle inverse
SECONDA LEGGE DELLE INVERSE DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • SE SONO VERI I TEOREMI:

    I T , I1 T1 ,I2 T2 , In Tn …

    SE LE TESI SI ESCLUDONO A VICENDA, ALLORA SONO VALIDI I RECIPROCI TEOREMI:

    T  I , T1  I1 , T2  I2 , Tn  In …



Concetti primitivi
CONCETTI PRIMITIVI DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • SONO QUELLI DEI QUALI NON SI DA ALCUNA DEFINIZIONE

  • ESSI SONO: PUNTO, RETTA, PIANO E SPAZIO.


Figura
FIGURA DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • SI DEFINISCE FIGURA UN INSIEME, NON VUOTO, DI PUNTI.

  • ANCHE UN SINGOLO PUNTO COSTIUTUISCE UNA FIGURA GEOMETRICA.


Lo spazio
LO SPAZIO DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • E’ L’INSIEME DI TUTTI I POSSIBILI PUNTI E SI PUO’ CONSIDERARE COME LA FIGURA CHE CONTIENE TUTTI I PUNTI E QUINDI TUTTE LE FIGURE.


La linea
LA LINEA DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • E’ UN INSIEME DI PUNTI


La retta
LA RETTA DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • È UNA LINEA TRACCIATA CON LA RIGA E PROLUNGATA INDEFINITAMENTE COL PENSIERO DA UNA PARTE E DALL’ALTRA.


La superficie
LA SUPERFICIE DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • SI PUO’ CONSIDERARE COME GENERATA DA UNA LINEA CHE SI MUOVE, MA PRIVA DI SPESSORE.


Superficie piana
SUPERFICIE PIANA DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • SI PUO’ IMMAGINARE COME UN FOGLIO ESTESO INDEFINITAMENTE IN TUTTE LE DIREZIONI.


Postulati fondamentali
POSTULATI FONDAMENTALI DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • SONO PROPOSIZIONI CHE ESPRIMONO PROPRIETA’ DEGLI ENTI GEOMETRICI CHE SI CHIEDONO DI ACCETTARE PER VERE SENZA DIMOSTRAZIONE (verità evidenti).

  • I PRIMI POSTULATI SONO.

  • LO SPAZIO CONTIENE INFINITI PUNTI, INFINITE RETTE E INFINITI PIANI,

  • UN PIANO CONTIENE INFINITI PUNTI E INFINITE RETTE,

  • UNA RETTA CONTIENE INFINITI PUNTI.


Postulati di appartenenza
POSTULATI DI APPARTENENZA DICE CHE SI E’ FATTA UNA

  • DUE PUNTI DISTINTI APPARTENGONO A UNA E A UNA SOLA RETTA.

  • PER DUE PUNTI DISTINTI PASSA UNA E UNA SOLA RETTA.

    Ar, Br, Cr

    C

    A B r





Il postulato d ordine
IL POSTULATO D’ORDINE LA RETTA E’ CONTENUTA O GIACE NEL PIANO.

  • SI PUO’ STABILIRE UNA RELAZIONE D’ORDINE TRA I PUNTI DI UNA RETTA, OSSIA SI POSSONO ORDINARE I PUNTI DI UNA RETTA IN MODO CHE:

    dati due punti distinti A e B della retta, o A precede B oppure B precede A; se A precede B e B precede C, allora A precede C (proprietà transitiva). Quando su una retta è fissato un verso si parla di RETTA ORIENTATA.

    A B C


Proprieta
PROPRIETA’ LA RETTA E’ CONTENUTA O GIACE NEL PIANO.

  • PROPRIETA’ RIFLESSIVA

    A=A

  • PROPRIETA’ SIMMETRICA

    A=B allora B=A

  • PROPRIETA’ TRANSITIVA

    Se A=B e B=C allora A=C


Proprieta della retta
PROPRIETA’ DELLA RETTA LA RETTA E’ CONTENUTA O GIACE NEL PIANO.

  • La RETTA è ILLIMITATA, non esiste ne’ un primo, ne’ un ultimo punto

    B A


Definizione di semiretta
DEFINIZIONE DI SEMIRETTA LA RETTA E’ CONTENUTA O GIACE NEL PIANO.

  • DATA UNA RETTA ORIENTATA r E UN SUO PUNTO QUALSIASI O , SI CHIAMA SEMIRETTA DI ORIGINE O L’INSIEME COSTITUITO DAL PUNTO O STESSO E DAI PUNTI DI r CHE PRECEDONO O SEGUONO O NEL VERSO FISSATO.

    semiretta O semiretta


  • IL PUNTO LA RETTA E’ CONTENUTA O GIACE NEL PIANO.O  r E DETERMINA DUE SEMIRETTE, INOLTRE E’ ORIGINE DI CIASCUNA DI ESSE.

  • LE DUE SEMIRETTE SONO TRA LORO OPPOSTE (HANNO LA STESSA ORIGINE, MA DIREZIONI DIVERSE).

  • LE DUE SEMIRETTE SONO L’UNA IL PROLUNGAMENTO DELL’ALTRA.

  • I PUNTI DI UNA SEMIRETTA DIVERSI DALL’ORIGINE SI DICONO INTERNI, QUELLI CHE NON LE APPARTENGONO SI DICONO ESTERNI.


Definizione di segmento
DEFINIZIONE DI SEGMENTO LA RETTA E’ CONTENUTA O GIACE NEL PIANO.

  • SI DEFINISCE SEGMENTO DI ESTREMI A E B L’INSIEME COSTITUITO DAI PUNTI A E B E DA TUTTI I PUNTI DELLA RETTA AB COMPRESI TRA A E B.

    A B


  • IL SEGMENTO DI ESTREMI LA RETTA E’ CONTENUTA O GIACE NEL PIANO.A E B SI INDICA CON AB;

  • I SUOI PUNTI, DIVERSI DAGLI ESTREMI, SI DICONO PUNTI INTERNI, MENTRE I PUNTI CHE NON APPARTENGONO AL SEGMENTO SI DICONO ESTERNI.

  • SE A E B COINCIDONO (A B) IL SEGMENTO E’ NULLO.


  • PER LA RETTA E’ CONTENUTA O GIACE NEL PIANO.DISTANZA TRA A E B SI INTENDE IL SEGMENTO DI ESTREMI A E B.

  • QUANDO UN SEGMENTO AB E’ SU UNA RETTA ORIENTATA, ANCHE I PUNTI DEL SEGMENTO AB RISULTANO ORDINATI. SI PARLA ALLORA DI SEGMENTO ORIENTATO.

  • SE IL PUNTO A PRECEDE B, IL SEGMENTO SI INDICA CON AB.

  • IL PUNTO A E’ DETTO ORIGINE, MENTRE B E’ DETTO ESTREMO.

    A B






Postulato di partizione di un piano
POSTULATO DI PARTIZIONE DI UN PIANO CHIUSA HANNO UN PUNTO IN COMUNE (

  • UNA RETTA r DI UN PIANO DIVIDE IL PIANO IN DUE PARTI (NON VUOTE) IN MODO CHE:

  • SE I PUNTI A E B APPARTENGONO ALLA STESSA PARTE, ALLORA IL SEGMENTO AB E’ CONTENUTO IN QUESTA PARTE;

    B

    A

    r


  • SE I PUNTI CHIUSA HANNO UN PUNTO IN COMUNE (C E D APPARTENGONO A PARTI DIVERSE, ALLORA IL SEGMENTO CD HA IN COMUNE CON r UN PUNTO DETTO PUNTO DI INTERSEZIONE TRA RETTA PASSANTE PER C E PER D E LA RETTA r.

    C

    r

    D


Definizione di semipiano
DEFINIZIONE DI SEMIPIANO CHIUSA HANNO UN PUNTO IN COMUNE (

  • SI CHIAMA SEMIPIANO AVENTE PER ORIGINE LA RETTA r, LA FIGURA COSTITUITA DALLA RETTA r E DA CIASCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI TALE RETTA DIVIDE IL PIANO.

    r


  • I DUE SEMIPIANI DIVERSI AVENTI LA STESSA ORIGINE SI DICONO CHIUSA HANNO UN PUNTO IN COMUNE (OPPOSTI.

  • I PUNTI INTERNI A UN SEMIPIANO SONO QUELLI CHE APPARTENGONO AL SEMIPIANO, MA NON ALLA SUA ORIGINE.

  • PER ANDARE DA UN SEMIPIANO AL SUO OPPOSTO SI INTERSECA SEMPRE LA RETTA DI ORGINE r, CHE NON E’ AGGIRABILE.

  • SI SUOL DIRE CHE LA RETTA E’ ILLIMITATA.

  • COME CONSEGUENZA DEL POSTULATO DI PARTIZIONE DEL PIANO SI PUO’ DIRE CHE: TRA DUE PUNTI QUALSIASI DI UNA RETTA VI SONO INFINITI PUNTI, LA RETTA E’ DENSA.


Continuita della retta
CONTINUITA’ DELLA RETTA CHIUSA HANNO UN PUNTO IN COMUNE (

  • LA RETTA E’ UNA LINEA CONTINUA.

    P

    r

    TOGLIENDO IL PUNTO P DALLA RETTA r NON AVREMO PIU’ UNA LINEA CONTINUA.

    r


Posizioni reciproche tra rette fascio di rette
POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE CHIUSA HANNO UN PUNTO IN COMUNE (FASCIO DI RETTE

  • L’INSIEME DI TUTTE LE RETTE DI UN PIANO CHE PASSANO PER UNO STESSO PUNTO E’ DETTO FASCIO PROPRIO DI RETTE, IL PUNTO E’ DETTO CENTRO DEL FASCIO.

    DUE RETTE DISTINTE O NON HANNO PUNTI IN COMUNE O NE HANNO UNO SOLTANTO.


s



Postulato di euclide
POSTULATO DI EUCLIDE SI DICONO

  • PER UN PUNTO ESTERNO AD UNA RETTA PASSA UNA ED UNA SOLA RETTA PARALLELA ALLA RETTA DATA.

    P

    r



Figura piana
FIGURA PIANA DATA PRENDE IL NOME DI

  • SI DICE PIANA LA FIGURA SE TUTTI I SUOI PUNTI APPARTENGONO ALLO STESSO PIANO.

  • IN CASO CONTRARIO SI DICE SOLIDA.


Figure convesse e concave
FIGURE CONVESSE E CONCAVE DATA PRENDE IL NOME DI

  • UNA FIGURA I CUI PUNTI APPARTENGONO TUTTI A UNO STESSO PIANO SI DICE FIGURA PIANA, IN CASO CONTRARIO LA FIGURA E’ UNA FIGURA SOLIDA.


  • UNA FIGURA SI DICE DATA PRENDE IL NOME DI CONVESSA SE, CONSIDERATI DUE SUOI PUNTI QUALSIASI, IL SEGMENTO CHE LI CONGIUNGE E’ INTERAMENTE CONTENUTO NELLA FIGURA.

    A B

  • SE ESISTE ANCHE UNA SOLA COPPIA DI PUNTI PER CUI TALE PROPRIETA’ NON SI VERIFICA, LA FIGURA E’ DETTA CONCAVA.

    A B



Linee curve
LINEE CURVE DATA PRENDE IL NOME DI

  • UNA LINEA CHE NON SIA UNA LINEA RETTA SI DICE CURVA.

  • UNA CURVA TRACCIATA IN UN PIANO SI DICE CURVA PIANA E IN CASO CONTRARIO SI DICE CURVA SGHEMBA.

  • IL TRATTO DI LINEA COMPRESO TRA DUE PUNTI A E B SI CHIAMA ARCO.

  • UNA CURVA PUO’ ESSERE CHIUSA O APERTA.

  • OGNI LINEA CHIUSA SI PUO’ PERCORRERE IN DUE VERSI L’UNO OPPOSTO ALL’ALTRO.


Angoli
ANGOLI DATA PRENDE IL NOME DI

  • SI DEFINISCE ANGOLO CIASCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI UN PIANO E’ DIVISO DA DUE SEMIRETTE DISTINTE CON L’ORIGINE O IN COMUNE, SEMIRETTE COMPRESE.

  • LE SEMIRETTE a - b SI DICONO LATI DELL’ANGOLO E NE COSTITUISCONO IL CONTORNO.

  • L’ORIGINE COMUNE SI DICE VERTICE DELL’ANGOLO.

    a

    O

    b



  • DEI DUE ANGOLI FORMATI DALLE SEMIRETTE DATA PRENDE IL NOME DI a E b: SI DICE CONVESSO QUELLO CHE NON CONTIENE AL SUO INTERNO I PROLUNGAMENTI DEI LATI (AôB),

  • CONCAVO QUELLO CHE CONTIENE AL SUO INTERNO I PROLUNGAMENTI DEI LATI. O

    a

    O

    b a b


Angolo piatto
ANGOLO PIATTO DATA PRENDE IL NOME DI

  • DUE SEMIRETTE CHE SIANO IL PROLUNGAMENTO L’UNA DELL’ALTRA DETERMINANO DUE ANGOLI, CIASCUNO DEI QUALI SI DICE ANGOLO PIATTO.

    b a

O


Angolo giro e nullo
ANGOLO GIRO E NULLO DATA PRENDE IL NOME DI

  • L’ANGOLO GIRO E’ L’UNIONE DI DUE ANGOLI PIATTI E COINCIDE CON TUTTO IL PIANO.

    o

  • L’ANGOLO NULLO E’ L’UNIONE DEI PUNTI DI DUE SEMIRETTE SOVRAPPOSTE E SI RIDUCE AD UNA SEMIRETTA. o


Angoli consecutivi
ANGOLI CONSECUTIVI DATA PRENDE IL NOME DI

  • DUE ANGOLI DI UN PIANO SI DICONO CONSECUTIVI QUANDO HANNO LO STESSO VERTICE ED HANNO IN COMUNE SOLAMENTE I PUNTI DI UN LATO.

    AôB + BôC = AôC somma dei due angoli dati (angolo somma)

    C

    B

    O A


Angoli adiacenti
ANGOLI ADIACENTI DATA PRENDE IL NOME DI

  • DUE ANGOLI SI DICONO ADIACENTI QUANDO, OLTRE AD ESSERE CONSECUTIVI, HANNO I LATI NON COMUNI SUL PROLUNGAMENTO L’UNO DELL’ALTRO. LA SOMMA DI DUE ANGOLI ADIACENTI E’ UN ANGOLO PIATTO.

    AôB e BôC = angoli adiacenti

    AôB + BôC = angolo piatto

    B

    C A

    O


Angolo retto
ANGOLO RETTO DATA PRENDE IL NOME DI

  • LA META’ DI UN ANGOLO PIATTO E’ UN ANGOLO RETTO

    B

    AôB= /2

    A


Angolo acuto
ANGOLO ACUTO DATA PRENDE IL NOME DI

  • UN ANGOLO SI DICE ACUTO QUANDO E’ MINORE DI UN ANGOLO RETTO.

    AôB= acuto B

    A


Angolo ottuso
ANGOLO OTTUSO DATA PRENDE IL NOME DI

  • UN ANGOLO SI DICE OTTUSO QUANDO E’ MAGGIORE DI UN ANGOLO RETTO E MINORE DI UN ANGOLO PIATTO.

    B

    AôB= ottuso

    A


  • PUNTI INTERNI AD UN ANGOLO DATA PRENDE IL NOME DI

    UN PUNTO CHE APPARTIENE ALL’ANGOLO MA NON AI SUOI LATI, SI DICE PUNTO INTERNO. B

    .C

    .D

    A

  • TUTTE LE SEMIRETTE DI ORIGINE O COSTITUITE DA PUNTI INTERNI AD UN ANGOLO SI DICONO SEMIRETTE INTERNE.


Poligoni
POLIGONI DATA PRENDE IL NOME DI

  • SI DEFINISCE POLIGONO LA FIGURA FORMATA DA UNAPOLIGONALE CHIUSA (NON INTRECCIATA) E DALLA PARTE DI PIANO DA ESSA DELIMITATA.

  • UN POLIGONO SI DICE CONVESSO SE GIACE TUTTO DA UNA STESSA PARTE RISPETTO A CIASCUNA RETTA OTTENUTA PROLUNGANDO ONGUNO DEI LATI.


  • UN POLIGONO SI DICE DATA PRENDE IL NOME DI EQULIATERO SE HA I LATI TUTTI CONGRUENTI TRA LORO

  • SI DICE EQUIANGOLO SE HA GLI ANGOLI TUTTI CONGRUENTI TRA LORO.

    equilatero equiangolo

    OSSERVAZIONE: POLIGONO EQUIANGOLO non implica che sia equilatero;

    POLIGONO EQUILATERO non implica che sia equiangolo.


  • UN POLIGONO SI DECE DATA PRENDE IL NOME DI REGOLARE SE È SIA EQUILATERO CHE EQUIANGOLO.

  • IL SEGMENTO CHE HA PER ESTREMI DUE VERTICI NON CONSECUTIVI DI UN POLIGONO SI CHIAMA DIAGONALE. SI DEFINISCE CORDA OGNI SEGMENTO CHE HA PER ESTREMI DUE PUNTI QUALUNQUE DEL CONTORNO DEL POLIGONO NON APPARTENENTI A UNO STESSO LATO.


Proprieta1
PROPRIETA’ DATA PRENDE IL NOME DI

  • UN POLIGONO HA SEMPRE UN EGUAL NUMERO DI LATI E DI VERTICI (ANGOLI).

  • In generale, i lati e gli angoli interni di un poligono si chiamano SUOI ELEMENTI.


  • UN POLIGONO E’ DATA PRENDE IL NOME DI CONCAVO SE IL PROLUNGAMENTO DI UN SUO LATO LO DIVIDE IN DUE PARTI.

  • I LATI E GLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO SI DICONO I SUOI ELEMENTI.


Triangolo
TRIANGOLO DATA PRENDE IL NOME DI

  • POLIGONO A TRE LATI, HA SEI ELEMENTI: TRE LATI E TRE ANGOLI.

  • OGNI LATO SI DICE OPPOSTO ALL’ANGOLO IL CUI VERTICE NON APPARTIENE AL LATO E ADIACENTE AGLI ALTRI DUE ANGOLI.

  • OGNI ANGOLO E’ OPPOSTO AL LATO CHE NON CONTIENE IL SUO VERTICE ED E’ ADIACENTE AGLI ALTRI DUE LATI.


Angolo esterno
ANGOLO ESTERNO DATA PRENDE IL NOME DI

C

A B K

- ANGOLI INTERNI AL TRIANGOLO: ABC, BCA, CAB

- ANGOLI ESTERNI AL TRIANGOLO: KBC


Congruenza tra figure piane
CONGRUENZA TRA FIGURE PIANE DATA PRENDE IL NOME DI

  • DUE FIGURE SI DICONO CONGRUENTI O ISOMETRICHE O SOVRAPPONIBILI, QUANDO E’ POSSIBILE TRASPORTARE, CON UN MOVIMENTO RIGIDO (IN BASE AL QUALE UNA FIGURA PUO’ CAMBIARE POSIZIONE SENZA DEFORMARSI) LA PRIMA FIGURA IN MODO CHE COINCIDA CON LA SECONDA.

    F1  F2

    F1 F2


Punti corrispondenti od omologhi
PUNTI CORRISPONDENTI OD OMOLOGHI DATA PRENDE IL NOME DI

  • LA CONGRUENZA TRA DUE FIGURE E’ UNA PARTICOLARE CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA I LORO PUNTI.

    ab +bc  de

    c

    b

    a d e

  • UGUAGLIANZA: DUE FIGURE SONO UNA MEDESIMA FIGURA.

  • CONGRUENZA: DUE FIGURE SONO SOVRAPPONIBILI.


Proprieta delle congruenze
PROPRIETA’ DELLE CONGRUENZE DATA PRENDE IL NOME DI

  • OGNI FIGURA E’ CONGRUENTE A SE STESSA: F  F (proprietà riflessiva)

  • SE UNA FIGURA E’ CONGRUENTE A UN’ALTRA, ANCHE LA SECONDA E’ CONGRUENTE ALLA PRIMA: F  F1, F1  F (proprietà simmetrica)

  • DUE FIGURE CONGRUENTI AD UNA STESSA FIGURA SONO CONGRUENTI FRA LORO: F1  F, F2  F, F1  F2 (proprietà transitiva)


Proposizioni dedotte
PROPOSIZIONI DEDOTTE DATA PRENDE IL NOME DI

  • TUTTE LE RETTE SONO CONGRUENTI FRA LORO.

  • TUTTE LE SEMIRETTE SONO CONGRUENTI FRA LORO.

  • TUTTI I PIANI SONO CONGRUENTI FRA LORO.

  • TUTTI I SEMIPIANI SONO CONGRUENTI FRA LORO.

  • TUTTI GLI ANGOLI PIATTI SONO CONGRUENTI FRA LORO.


Postulato del trasporto dei segmenti
POSTULATO DEL TRASPORTO DEI SEGMENTI DATA PRENDE IL NOME DI

  • DATI UNA SEMIRETTA DI ORIGINE O E UN SEGMENTO, ESISTE SULLA SEMIRETTA UN SEGMENTO E UNO SOLO DI ORIGINE O E CONGRUENTE AL SEGMENTO DATO.

    A B AB  CD

    C  A D  B


Confronto tra segmenti
CONFRONTO TRA SEGMENTI DATA PRENDE IL NOME DI

  • Confrontare due segmenti significa stabilire se sono congruenti o non lo sono.

  • Nel caso in cui non siano congruenti significa stabilire quale tra i due sia il maggiore.

  • Per confrontarli bisogna operare un movimento rigido in modo che l’estremo A coincida con l’estremo C e la semiretta A-B coincida con C-D.


1° CASO DATA PRENDE IL NOME DI

Il 2° estremo B coincide con D, quindi il segmento AB  CD ; C  A, D  B

B

A

2° CASO C D

L’estremo B è un punto interno al segmento CD

AB < CD A B

C

3° CASO D

L’estremo B è esterno al segmento CD

AB > CD A B

C

D


Legge di tricotomia
LEGGE DI TRICOTOMIA DATA PRENDE IL NOME DI

  • Dati sue segmenti AB e CD, si avrà:

  • 1. AB  CD

  • 2. AB < CD

  • 3. AB > CD


Punto medio di un segmento
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO DATA PRENDE IL NOME DI

  • Si chiama punto medio di un segmento un punto interno al segmento che lo divide in due parti congruenti.

  • Si dice che A e B sono SIMMETRICI rispetto a M.

    A M B

    AM  MB  1/2 AB


Postulato del trasporto degli angoli
POSTULATO DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI DATA PRENDE IL NOME DI

  • DATA IN UN PIANO UNA SEMIRETTA, ESISTE UN ANGOLO E UNO SOLO CONGRUENTE A UN ANGOLO DATO, CHE ABBIA UNO DEI LATI COINCIDENTI CON LA SEMIRETTA, IL VERTICE NELL’ORIGINE DELLA SEMIRETTA E CHE GIACCIA DA UNA PARTE PREFISSATA RISPETTO AD ESSA. b

    O a

    c


Somma e differenza di segmenti
SOMMA E DIFFERENZA DI SEGMENTI DATA PRENDE IL NOME DI

  • SE DUE SEGMENTI AB E BC SONO ADIACENTI, IL SEGMENTO AC COSTITUISCE LA LORO SOMMA:

    AC= AB+BC

  • SI DICE DIFFERENZA DI DUE SEGMENTI, DI CUI IL PRIMO E’ MAGGIORE O CONGRUENTE AL SECONDO, IL SEGMENTO CHE ADDIZIONATO AL SECONDO DA PER SOMMA IL PRIMO:


Proprieta della somma
PROPRIETA’ DELLA SOMMA DATA PRENDE IL NOME DI

  • COMMUTATIVA: LA SOMMA DI DUE O PIU’ SEGMENTI E’ INDIPENDENTE DALL’ORDINE DEGLI ADDENDI.

  • ASSOCIATIVA: LA SOMMA DI PIU’ SEGMENTI NON MUTA SE A PIU’ ADDENDI SI SOSTITUISCE LA LORO SOMMA.

  • SOMME DI SEGMENTI ORDINATAMENTE CONGRUENTI SONO CONGRUENTI.

  • DIFFERENZE DI SEGMENTI RISPETTIVAMENTE CONGRUENTI SONO CONGRUENTI.


Multipli e sottomultipli di un segmento
MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI UN SEGMENTO DATA PRENDE IL NOME DI

  • SI DEFINISCE MULTIPLO DI UN SEGMENTO A SECONDO IL NUMERO NATURALE n  2, LA SOMMA DI n SEGMENTI CONGRUENTI AD A.

    A

    B = 4A

  • A E’ DETTO SOTTOMULTIPLO DI B SECONDO n.


Postulato di divisibilita dei segmenti
POSTULATO DI DIVISIBILITA’ DEI SEGMENTI DATA PRENDE IL NOME DI

  • OGNI SEGMENTO E’ DIVISIBILE IN UN NUMERO n DI PARTI CONGRUENTI.


Punto medio di un segmento1
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO DATA PRENDE IL NOME DI

  • SI CHIAMA PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO IL PUNTO, INTERNO AL SEGMENTO, CHE LO DIVIDE IN DUE PARTI CONGRUENTI.

    B

    M

    A

  • A E B SONO SIMMETRICI RISPETTO AD M, QUANDO M E’ IL PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO AB.


Confrontare due angoli
CONFRONTARE DUE ANGOLI DATA PRENDE IL NOME DI

  • SIGNIFICA STABILIRE SE SONO CONGRUENTI O NON LO SONO.

  • PER CONFRONTARE DUE ANGOLI  E , BISOGNA OPERARE UN MOVIMENTO RIGIDO CHE FACCIA SOVRAPPORRE O COINCIDERE I DUE VERTICI E UN LATO (UNO DEI DUE LATI DELL’ANGOLO).


1° CASO DATA PRENDE IL NOME DI

Se il lato B coincide con B1 allora

  

 

2° CASO

Se il lato B è esterno all’angolo 

 <  B

3° CASO

Se il lato B risulta interno all’angolo  B

 > 


Legge di tricotomia1
LEGGE DI TRICOTOMIA DATA PRENDE IL NOME DI

  • Dati due angoli  e , si avrà:

  • 1. ,

  • 2.  < ,

  • 3.  > ,


Somma e differenza di angoli
SOMMA E DIFFERENZA DI ANGOLI. DATA PRENDE IL NOME DI

  • SE DUE ANGOLI AôB E BôC SONO CONSECUTIVI, L’ANGOLO AôC COSTITUISCE LA LORO SOMMA.

    AôC = AôB + BôC

  • SI DICE DIFFERENZA DI DUE ANGOLI, DI CUI IL PRIMO E’ MAGGIORE O CONGRUENTE AL SECONDO, L’ANGOLO CHE ADDIZIONATO AL SECONDO DA PER SOMMA IL PRIMO. C

    BôC = AôC - AôB

    O B

    A



Angoli esplementari
ANGOLI ESPLEMENTARI CONGRUENTI.

  • DUE ANGOLI SI DICONO ESPLEMENTARI SE HANNO PER SOMMA UN ANGOLO GIRO (360°).


Angoli supplementari
ANGOLI SUPPLEMENTARI CONGRUENTI.

  • DUE ANGOLI LA CUI SOMMA SIA UN ANGOLO PIATTO (180°) SI DICONO SUPPLEMENTARI.

  • ANGOLI SUPPLEMENTARI DI UNO STESSO ANGOLO SONO CONGRUENTI FRA LORO.


Angolo retto1
ANGOLO RETTO CONGRUENTI.

  • LA META’ DI UN ANGOLO PIATTO SI DICE ANGOLO RETTO: 1/2 π , π /2


Angolo acuto1
ANGOLO ACUTO CONGRUENTI.

  • UN ANGOLO MINORE DI UN ANGOLO RETTO SI DICE ACUTO.

  • UN ANGOLO CONVESSO MAGGIORE DI UN RETTO SI DICE OTTUSO.


Angoli complementari
ANGOLI COMPLEMENTARI CONGRUENTI.

  • DUE ANGOLI LA CUI SOMMA SIA CONGRUENTE A UN ANGOLO RETTO SI DICONO COMPLEMENTARI:

    π/2 - 


Rette perpendicolari
RETTE PERPENDICOLARI CONGRUENTI.

  • DUE RETTE SI DICONO PERPENDICOLARI (r  s) SE, INCONTRANDOSI, FORMANO QUATTRO ANGOLI RETTI.


Teorema proiezione di un punto su una retta
TEOREMA CONGRUENTI.: PROIEZIONE DI UN PUNTO SU UNA RETTA

Da un punto appartenente ad una retta o esterno ad essa si può condurre una ed una sola retta perpendicolare a quella data.

H= Piede della perpendicolare ad R, condotta dal punto P

H= Proiezione ortogonale di P sulla retta R

Il segmento P-H si chiama Distanza di P dalla retta R. P

R H


Proiezione di un segmento
PROIEZIONE DI UN SEGMENTO CONGRUENTI.

  • SI DICE PROIEZIONE DI UN SEGMENTO SOPRA UNA RETTA IL SEGMENTO CHE HA PER ESTREMI LE PROIEZIONI SULLA RETTA DEGLI ESTREMI DEL SEGMENTO DATO.

    B B A

    A

    B

    A


Angoli opposti al vertice
ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE CONGRUENTI.

  • DUE ANGOLI CONVESSI SI DICONO OPPOSTI AL VERTICE SE I LATI SONO I PROLUNGAMENTI DEI LATI DELL’ALTRO.

    s r1

    o

    r s1


ad