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Integrales. Integrales Simples. Integrales Múltiples. Integrales de Superficie. Integrales en Línea. Unidad IV. Integral doble. La integral doble.

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Integrales
Integrales

  • Integrales Simples.

  • Integrales Múltiples.

  • Integrales de Superficie.

  • Integrales en Línea.


Unidad iv

Unidad IV

Integral doble


La integral doble
La integral doble

  • Sea R una región cerrada en el plano xy y sea g(x, y) una función definida en un rectángulo que contiene a R.    Hacemos una partición del rectángulo que contiene a la región R en n x n rectángulos, donde el k-ésimo rectángulo tiene dimensiones  Xkpor  Yk(no necesariamente iguales). Luego evaluamos una función g(x,y) en algún punto (Xk*, Yk*) de cada rectángulo, y formamos la suma...   n2

g(xk*, yk*) D xk  Dyk

k = 1


La integral doble1
La integral doble

  • La suma anterior, como en la integral definida, se llama Suma de Riemann.     A continuación se ilustra lo anterior.

  • Ejemplos:1) Integrando g(x,y) = x + 1

  •         Región R : Área comprendida entre las curvas

  • y = x; y = 4 - x, x = 0.

  •     En las siguientes imágenes se hará una partición del rectángulo en 8 x 8 = 64 rectángulos. Si el punto medio de una subregión queda dentro de R, se le incluye en la partición y por lo tanto en la suma de Riemman.


Funciones x 4 x
Funciones = {x, 4 - x}

  • Gráfica de funciones en el plano xy


La integral doble2
La integral doble

  • Gráfica de la región R


La integral doble3
La integral doble

  • Partición de la región R en 64 rectángulos.


La integral doble4
La integral doble

  • A continuación se muestra el resultado de evaluar la función g(x, y) = x + 1 en el punto medio de cada rectángulo de la partición y el cálculo de la sumatoria de Riemann, n2

    g(xk*, yk*) Dxk Dyk

    k = 1

  • y la integral doble de la función sobre la región R, aunque aún no hemos definido que significa "Integral doble".


La integral doble5
La integral doble

  • Para la función g(x, y) = 1 + xLa suma de Riemann = 6.625 para n = 64 rectángulosIntegral doble = 6.66667

  •       Como habrás observado, el valor de la suma de Riemann está cercano al valor de lo que llamamos "Integral doble".


La integral doble6
La integral doble

  • Enseguida se ilustrará la partición tridimensional de el

  • volumen comprendido entre la superficie

  • z = g(x, y) y la región R.


La integral doble7
La integral doble

  • Se hace las columnas para calcular el volumen.


La integral doble8
La integral doble

  • Volumen de los 64 paralelepipedos es 6.625

  • Volumen exacto = 6.66667


La integral doble9
La integral doble

  • A continuación veremos otro ejemplo de lo anterior para reafirmar el concepto.

  • Ejemplo 2. Integrando g(x,y) = 25 - x8 - y8Región R : área comprendida entre las curvas y = x8 - 4 ; y = 4 - x8.

    En seguida se hará una partición de la región R en 8 x 8 = 64 rectángulos.


La integral doble10
La integral doble

  • Funciones =

  • {- 4 + x2 , 4 - x2}

  • Gráfica de funciones en el plano xy

  • Gráfica de la región R


La integral doble11
La integral doble

  • Partición de la región R en 64 rectángulos


La integral doble12
La integral doble

  • A continuación se muestra el resultado de evaluar la función g(x,y) = 25 - x2 - y2 en el punto mediode cada rectángulo de la partición y el cálculo de la sumatoria de Riemann,

  • Para la función g(x, y) = 25 -  x2 - y2

  • La suma de Riemann = 418.75 para n = 64 rectángulos

  • Integral doble = 438.242


La integral doble13
La integral doble

  • En las siguientes gráficas se ilustrará la partición tridimensional de el volumen comprendido entre la superficie

  • z = g(x,y) y la región R.


La integral doble14
La integral doble

  • La región se divide en partes iguales (en este caso) y se calcula el volumen.


La integral doble15
La integral doble

  • Volumen de los 64 paralelepípedos es 433.484 

  • Volumen exacto 438.248


La integral doble16
La integral doble

  • Definición:Si g(x, y) está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, la Integral Doble de  g(x, y) sobre R se define como: 

  • n2

  • g(x, y) dA =  limg(xk*, yk*)  Dxk Dyk

  • Rn 0

    k = 1

  • cuando la norma de la partición tiende a cero. ( lo que equivale a n 0)


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