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Integrales. Integrales Simples. Integrales Múltiples. Integrales de Superficie. Integrales en Línea. Unidad IV. Integral doble. La integral doble.

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integrales
Integrales
  • Integrales Simples.
  • Integrales Múltiples.
  • Integrales de Superficie.
  • Integrales en Línea.
unidad iv

Unidad IV

Integral doble

la integral doble
La integral doble
  • Sea R una región cerrada en el plano xy y sea g(x, y) una función definida en un rectángulo que contiene a R.    Hacemos una partición del rectángulo que contiene a la región R en n x n rectángulos, donde el k-ésimo rectángulo tiene dimensiones  Xkpor  Yk(no necesariamente iguales). Luego evaluamos una función g(x,y) en algún punto (Xk*, Yk*) de cada rectángulo, y formamos la suma...   n2

g(xk*, yk*) D xk  Dyk

k = 1

la integral doble1
La integral doble
  • La suma anterior, como en la integral definida, se llama Suma de Riemann.     A continuación se ilustra lo anterior.
  • Ejemplos:1) Integrando g(x,y) = x + 1
  •         Región R : Área comprendida entre las curvas
  • y = x; y = 4 - x, x = 0.
  •     En las siguientes imágenes se hará una partición del rectángulo en 8 x 8 = 64 rectángulos. Si el punto medio de una subregión queda dentro de R, se le incluye en la partición y por lo tanto en la suma de Riemman.
funciones x 4 x
Funciones = {x, 4 - x}
  • Gráfica de funciones en el plano xy
la integral doble2
La integral doble
  • Gráfica de la región R
la integral doble3
La integral doble
  • Partición de la región R en 64 rectángulos.
la integral doble4
La integral doble
  • A continuación se muestra el resultado de evaluar la función g(x, y) = x + 1 en el punto medio de cada rectángulo de la partición y el cálculo de la sumatoria de Riemann, n2

g(xk*, yk*) Dxk Dyk

k = 1

  • y la integral doble de la función sobre la región R, aunque aún no hemos definido que significa "Integral doble".
la integral doble5
La integral doble
  • Para la función g(x, y) = 1 + xLa suma de Riemann = 6.625 para n = 64 rectángulosIntegral doble = 6.66667
  •       Como habrás observado, el valor de la suma de Riemann está cercano al valor de lo que llamamos "Integral doble".
la integral doble6
La integral doble
  • Enseguida se ilustrará la partición tridimensional de el
  • volumen comprendido entre la superficie
  • z = g(x, y) y la región R.
la integral doble7
La integral doble
  • Se hace las columnas para calcular el volumen.
la integral doble8
La integral doble
  • Volumen de los 64 paralelepipedos es 6.625
  • Volumen exacto = 6.66667
la integral doble9
La integral doble
  • A continuación veremos otro ejemplo de lo anterior para reafirmar el concepto.
  • Ejemplo 2. Integrando g(x,y) = 25 - x8 - y8Región R : área comprendida entre las curvas y = x8 - 4 ; y = 4 - x8.

En seguida se hará una partición de la región R en 8 x 8 = 64 rectángulos.

la integral doble10
La integral doble
  • Funciones =
  • {- 4 + x2 , 4 - x2}
  • Gráfica de funciones en el plano xy
  • Gráfica de la región R
la integral doble11
La integral doble
  • Partición de la región R en 64 rectángulos
la integral doble12
La integral doble
  • A continuación se muestra el resultado de evaluar la función g(x,y) = 25 - x2 - y2 en el punto mediode cada rectángulo de la partición y el cálculo de la sumatoria de Riemann,
  • Para la función g(x, y) = 25 -  x2 - y2
  • La suma de Riemann = 418.75 para n = 64 rectángulos
  • Integral doble = 438.242
la integral doble13
La integral doble
  • En las siguientes gráficas se ilustrará la partición tridimensional de el volumen comprendido entre la superficie
  • z = g(x,y) y la región R.
la integral doble14
La integral doble
  • La región se divide en partes iguales (en este caso) y se calcula el volumen.
la integral doble15
La integral doble
  • Volumen de los 64 paralelepípedos es 433.484 
  • Volumen exacto 438.248
la integral doble16
La integral doble
  • Definición:Si g(x, y) está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, la Integral Doble de  g(x, y) sobre R se define como: 
  • n2
  • g(x, y) dA =  limg(xk*, yk*)  Dxk Dyk
  • Rn 0

k = 1

  • cuando la norma de la partición tiende a cero. ( lo que equivale a n 0)
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