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第三章 指數與對數

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第三章 指數與對數 - PowerPoint PPT Presentation


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第三章 指數與對數. 習題 3-5 指數與對數的應用. 一、觀念題. 對的在題號前打「  」 , 錯的在題號前打「  」 .  設 為正數 x 的科學記號 , 則 且 n 為整數 .  若 , 則 log x 的首數為 , 尾數為 0.4231. 解: 解析: 若 為正數 x 的科學記號中 , 則 n 必須為整 數 , 且 .

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第三章指數與對數

習題

3-5 指數與對數的應用

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一、觀念題

對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.

設 為正數 x 的科學記號, 則 且 n 為整數.

若 , 則 logx 的首數為 , 尾數為0.4231.

  • 解:
  • 解析:

若 為正數 x 的科學記號中, 則n必須為整 數, 且 .

 log x的首數為 , 尾數為0.5769.



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一、觀念題

對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.

 log1.37 與 log13700 的尾數相同.

  • 解:



  • 解析:

 , 所以log1.37 與 log13700的尾數相同.

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一、觀念題

對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.

設 log a 的尾數是 log b的尾數的2倍, 則 log b的尾數小於 .

  • 解: 
  • 解析:

因為尾數必須不小於 0 且小於 1,令 logb的尾數為 d,

因 loga 的尾數為 logb 的尾數的 2 倍, 則 loga 的尾數為 2d,

所以 , 故

 

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一、觀念題

對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.

若logx2與 的尾數相同, 則logx3為整數.

  • 解:



  • 解析:

log x2 與 的尾數相同, 則 為整數,所以log x3為整數.

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一、觀念題

對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.

若 , 其中n為正整數, 且則 x 的整數部分的位數有 位.

  • 解:



  • 解析:

若 , 其中 n 為正整數, 且 ,則 , 且所以 x 的整數部分的位數有 位.

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一、觀念題

對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.

若 , 其中n為負整數, 且 則x為純小數, 且小數點後第 位始出現不為 0 的 數字.

  • 解:



  • 解析:

若 , 其中n為負整數, 且,則 , 所以x為純小數, 且小數點後第 位始出現不為 0 的數字.

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一、觀念題

對的在題號前打「  」, 錯的在題號前打「  」.

若 x 為 m 位正整數, 則

若 x 為純小數, 且自小數點後第 m 位始出現不為 0 的數字, 則  

  • 解:
  • 解析:

若x為m位正整數, 則   , 所以

若x為純小數且自小數點後第m位始出現不為 0 的數字, 所以 logx 的首數為 , 故 



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二、基礎題

1.利用對數表, 寫出下列對數值:

log5.46.log27.3.log0.0436.

  • 解:

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二、基礎題

2.利用對數表, 求(2.7)100乘開後的整數部分是幾位數?又其最高位數字為何?

  • 解:
    • 因為
    • 所以
    • 故(2.7)100乘開後的整數部分為44位數, 且最高位數字為1.
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二、基礎題

3. 表成小數時, 在小數點後第幾位數字開始不為0?又此不為0的數字為何?

  • 解:
    • 因為
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二、基礎題

3. 表成小數時, 在小數點後第幾位數字開始不為0?又此不為0的數字為何?

  • 解:
    • 所以
    • 故 表成小數時, 在小數點後第 9 位始出現不為 0 的數字 6.
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二、基礎題

4.已知47100為168位數, 試問4727是幾位數?

  • 解:
    • 因為47100為168位數,
    • 所以
    • 於是知
    • 因此得
    • 所以 log4727 的首數為 45 , 故 4727 是 46 位數.
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二、基礎題

5.在1999年6月1日, 數學家利用電腦驗證出是一個質數. 若想要列印此質數至少需要多少張A4紙?假定每張A4紙可列印出3000個數字. 在下列選項中, 選出最接近的張數.(已知 )(A)50(B)100(C)200(D)500(E)700.

【89推甄】

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二、基礎題
  • 解:
    • 因為
    • 所以
    • 又2的乘冪的個位數會由「2, 4, 8, 6」每4個循環一次, 所以 26972593 的個位數字為2,
    • 故 與 26972593 均為 2098751 位數
    • 故想要列印此質數至少需要700張A4紙, 所以選(E).
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二、基礎題

6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加 k 倍, 且已知3日後細菌數為600,000, 日後細菌數為19200,000, 試求 k 值.

  • 解:
    • 設原有細菌數為 , x日後細菌數為f(x),
    • 由題意知

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二、基礎題

6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加 k 倍, 且已知3日後細菌數為600,000, 日後細菌數為19200,000, 試求 k 值.

  • 解:
    • 所以
    • 於是得
    • 故知

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二、基礎題

6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加 k 倍, 且已知3日後細菌數為600,000, 日後細菌數為19200,000, 日後細菌數為多少?

  • 解:

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二、基礎題

6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加k倍, 且已知3日後細菌數為600,000, 日後細菌數為19200,000, 幾日後細菌數為9600,000?

  • 解:
    • 設t日後細菌數為9600000, 則

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二、基礎題

6.設某項新試驗中, 細菌數一日後增加k倍, 且已知3日後細菌數為600,000, 日後細菌數為19200,000, 幾日後細菌數為9600,000?

  • 解:
    • 所以
    • 故知

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二、基礎題

7.阿源將一百萬元以定期存款存入銀行, 年利率為1.8%, 每年複利計息一次, 試問至少幾年(取整數)後, 阿源可得本利和兩百萬元?

  • 解:
    • 設 n 年後阿源可得本利和為Pn, 則
    • 所以 
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二、基礎題

7.阿源將一百萬元以定期存款存入銀行, 年利率為1.8%, 每年複利計息一次, 試問至少幾年(取整數)後, 阿源可得本利和兩百萬元?

  • 解:
    • 故至少40年後, 阿源可得本利和超過兩百萬元.
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三、進階題

1.假設世界人口自西元1980年起, 五十年內每年的增長率均固定. 已知西元1987年7月11日世界人口達50億人(聯合國將7月11日定為「世界人口日」), 1999年第60億人誕生在東歐賽拉耶佛. 試根據上述資料, 推估在哪一年, 世界人口將達70億人?

  • 解:
    • 設每年的增長率為r, 由已知得
    • 設西元 n 年世界人口將達 70 億人, 則
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三、進階題

1.假設世界人口自西元1980年起, 五十年內每年的增長率均固定. 已知西元1987年7月11日世界人口達50億人(聯合國將7月11日定為「世界人口日」), 1999年第60億人誕生在東歐賽拉耶佛. 試根據上述資料, 推估在哪一年, 世界人口將達70億人?

  • 解:
    • 所以
    • 兩邊取常用對數得
    • 整理得 
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三、進階題

1.假設世界人口自西元1980年起, 五十年內每年的增長率均固定. 已知西元1987年7月11日世界人口達50億人(聯合國將7月11日定為「世界人口日」), 1999年第60億人誕生在東歐賽拉耶佛. 試根據上述資料, 推估在哪一年, 世界人口將達70億人?

  • 解:
    • 所以,
    • 故推估在西元2010年, 世界人口將達70億人.
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三、進階題

2.根據統計資料, 在 A 鎮裡, 某件訊息發布後, t 小時內聽到該訊息的人口占全鎮人口的 , 其中 k 是大於 0 的常數.今有某項訊息, 發布 3 小時內已經有 70% 的人口聽到此訊息, 試問最快要多少小時(四捨五入至小數第一位)才能使全鎮99% 的人口聽到該訊息?

  • 解:
    • 由已知得
    • 所以 , 即
    • 設 t 小時可使全鎮 99% 的人口聽到該訊息,
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三、進階題

2.根據統計資料, 在 A 鎮裡, 某件訊息發布後, t 小時內聽到該訊息的人口占全鎮人口的 , 其中 k 是大於 0 的常數.今有某項訊息, 發布 3 小時內已經有 70% 的人口聽到此訊息, 試問最快要多少小時(四捨五入至小數第一位)才能使全鎮99% 的人口聽到該訊息?

  • 解:
    • 則 , 化簡得 
    • 由指數律得 , 即
    • 兩邊取常用對數得
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三、進階題

2.根據統計資料, 在 A 鎮裡, 某件訊息發布後, t 小時內聽到該訊息的人口占全鎮人口的 , 其中 k 是大於 0 的常數.今有某項訊息, 發布 3 小時內已經有 70% 的人口聽到此訊息, 試問最快要多少小時(四捨五入至小數第一位)才能使全鎮99% 的人口聽到該訊息?

  • 解:
    • 所以
    • 故最快要11.5小時才能使全鎮 99% 的人口聽到該訊息.

End

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