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液体的恒定流连续性方程是物质质量守恒原理在液体恒定流动中的具体表现,现采用一元流动分析法讨论如下

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第七讲. 第三节 恒定流连续性方程. 液体的恒定流连续性方程是物质质量守恒原理在液体恒定流动中的具体表现,现采用一元流动分析法讨论如下. 在恒定总流中任取一元流流段,如图. 设进出口断面面积分别为 dA 1 和 dA 2 ,相应的流速分别为 u 1 和. u 2 , 因为液体一般可视密度  为常数; 恒定流中,元流的形状和位置不随时间而改变;在元流的侧壁上不会有液体的流入和流出。. 所以,根据质量守恒原理,在 dt 时段内,流入 dA 1 和流出 dA 2 的质量应相等,即. 化简得. 或. 上式为恒定元流的连续性方程。将其对相应的总流过水断面积分. 即. 或.

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第七讲

第三节 恒定流连续性方程

液体的恒定流连续性方程是物质质量守恒原理在液体恒定流动中的具体表现,现采用一元流动分析法讨论如下液体的恒定流连续性方程是物质质量守恒原理在液体恒定流动中的具体表现,现采用一元流动分析法讨论如下

在恒定总流中任取一元流流段,如图

设进出口断面面积分别为dA1和dA2 ,相应的流速分别为u1和

u2,因为液体一般可视密度为常数;恒定流中,元流的形状和位置不随时间而改变;在元流的侧壁上不会有液体的流入和流出。

所以,根据质量守恒原理,在dt时段内,流入dA1和流出dA2的质量应相等,即

化简得

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上式为恒定元流的连续性方程。将其对相应的总流过水断面积分

式中的v1与v2分别为总流过水断面的断面平均流速。因为两个积分断面是任取的,故上式亦可表示为更一般的形式

上述三个公式,就是恒定总流连续性方程的三种形式

它们表明:在不可压缩恒定总流的同一流股中,任意过水断面上的流量都相等,或断面平均流速与过水断面面积成反比。

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恒定流连续性方程的形式尽管很简单,但它在分析液体运动时却极为重要,它是不涉及任何作用力的反映液体运动规律的基本方程,对于理想液体和实际液体都适用。恒定流连续性方程的形式尽管很简单,但它在分析液体运动时却极为重要,它是不涉及任何作用力的反映液体运动规律的基本方程,对于理想液体和实际液体都适用。

若流量在两断面间有流入或分出,则连续性方程应作相应的变化.

图(a)有流量汇入时,其连续性方程为

图(b)有流量分出时,其连续性方程为

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第四节 恒定流能量方程

恒定流能量方程从动力学的角度给出了运动液体的动能、压能和位能之间的相互关系,是物质能量转化与守恒原理在恒定液体恒定流动中的具体表现。它在水力学中有着极其重要的意义。

一、恒定元流(微小流束)能量方程

如图,当管端阀门E关闭时,水箱和管道系统中的水处于静止状态,管中各点的测压管水面与水箱水面同高(如图中虚线)

1. 液体静与动的现象对比

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这反映了水静力学的规律,即

当阀门E打开时,各测压管水面都出现了相应的下降。若阀门E开度一定,并维持水箱水位不变,水作恒定流动

时,各测压管水面均在一定的高度上稳定下来。

观察可发现,各测压管水面稳定后,与水静止时相比较,流速大处,测压管水面下降幅度也大(如图中C点、D点处的测压管水面较A点、B点处的下降幅度要大一些);同时在流速相同处,下游的测压管水面也比上游的测压管水面稍低一些(如图中A点与B点处和C点与D点处测压管水面的情况)。

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上述现象表明,液体有了流动,其势能就要减小,而且流速愈大势能减小就愈多;在流速相同的情况下,势能的减小幅度还沿流程而增加。这里涉及到了液体机械能的转化与损失问题。

2. 恒定元流能量方程

上式即为恒定元流能量方程,又称元流的伯努利方程。下面分析方程中各项的能量意义和几何意义。

z —代表了液体在元流计算断面上的单位位能;几何上称为位置水头,单位为m。

—代表了液体在元流计算断面上的单位压能;几何上称为

压强水头,当p为相对压强时,又称为测压管高度,单位为m。

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—代表了液体在元流计算断面上的单位势能;当p为相—代表了液体在元流计算断面上的单位势能;当p为相

对压强时,在几何上称为测压管水头,单位为m。

—代表了单位重量液体在元流计算断面上所具有的动能,

简称单位动能几何上称为流速水头,单位为m。

—代表了单位重量液体在元流计算断面上所具有的

势能与动能之和,即为单位重量液体所具有的机械能,简称单位机械能;几何上称为总水头,单位为m。

—代表了单位重量液体从断面1-1流动到断面2-2的机械能

损失,简称单位机械能损失;几何上称为水头损失,单位为m。

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元流能量方程: 在不可压缩的恒定流中,元流过水断面上机械能的三种形式是可以相互转化的,但上游断面的单位机械能(总水头)应等于下游断面的单位机械能(总水头)与两断面之间的单位机械能损失(水头损失)之和。

这也表明,液流的单位机械能(总水头)沿流程总是逐渐减小的,但在整个流动过程中总单位能量保持守恒。

对于理想液流,不存在内摩擦阻力,所以,元流能量方程变为

上式即为理想液体恒定元流能量方程。该方程表明,理想液体在流动过程中单位机械能量守恒。

对于静止液体,u=0,且液体中不出现内摩擦阻力,

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则元流能量方程变为

可见,水静力学基本方程是恒定流能量方程的一个特例。

三、恒定总流能量方程

,得到液体在单位时间内

将元流能量方程两端同乘以

通过元流两过水断面的能量关系式

注意到

将上式在相应的总流过水断面上积分,

可以得到液体在单位时间内,通过总流两过水断面能量的关系式

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按能量性质,可将上式中的积分划分为三种类型,现分别讨论如下:按能量性质,可将上式中的积分划分为三种类型,现分别讨论如下:

1.势能项积分

表示了液体在单位时间通过总流过水断面的势

能总和。

若将其选取在总流的渐变流(或均匀流)过水断面上,则

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于是可得

2.动能项积分

表示了液体在单位时间通过总流过水

断面的动能总和。

采用一元流动分析法,用断面平均流速v 代替断面上的u。

根据数学知识可知,多个数平均值的立方总是小于多个数立方的平均值。根据平均流速v的概念可得

引入一大于1的修正系数,使

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则动能项积分可写成

式中的称为动能修正系数,其表示式为

对于实际液体,是一个大于1的数,其大小决定于过水断面的流速分布。流速分布愈均匀,值愈接近于1。

精确的值一般不

容易得到,在一般的渐变流中1.05~1.10。

因此,除流速分布很不均匀的特殊情况外,在工程实际中为计算方便,通常取α≈1.0。

3.损失项积分

表示单位时间内,上下游两总流过水断面间的液体

设hw为总流在这一运动过程

在运动过程中机械能损失的总和,

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中的平均单位机械能损失,

将势能项积分

动能项积分

损失项积分

代入能量方程的积分式

并将等式两端同除ρg以可得

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这就是实用中极为重要的恒定总流能量方程,又称为总流伯努利方程。

恒定总流能量方程中各项的意义与恒定元流能量方程基本相同。

z和

—分别代表了液体在总流计算断面上某一点的单位

位能和单位压能;几何上分别称为液体在总流计算断面上相应点

的位置水头和压强水头,它们的单位都是m。

都不相同,

—虽然液体在总流计算断面上各点的z和

但恒定总流能量方程的计算断面应取在渐变流的过水断面上,断面上任一点的

所以

代表了液体在总流计算

断面上的平均单位势能;

当p为相对压强时,在几何上称

为液体在相应断面上的测压管水头,单位为m。

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—代表了液体在总流计算断面上的平均单位动能;几何—代表了液体在总流计算断面上的平均单位动能;几何

上称为液体在相应断面上的平均流速水头,单位为m。

—代表了液体在总流计算断面上的平均单位机械能;

几何上称为液体在相应断面上的总水头,单位为m。常用E或H表示。

—代表了液体从总流的上游计算断面流动到下游计算断面

的平均单位机械能损失;几何上称为水头损失,单位为m。

与元流能量方程类似,总流能量方程同样反映了在不可压缩的恒定流中,各断面上三种形式机械能的转化与损失规律。不同的是方程中的

具有平均含义 。

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四、能量方程的几何表示——水头线

如果将沿流程各过水断面相应的水头都用图形(即水头线)表示出来,就可使液体沿流程能量的转化与损失情况直观、形象地反映出来。

实用中常有以下三种水头线,如下图。

(1)位置水头线:图中,选定了基准面后,沿流程个断面位置水头z的连线(即管流的轴线)称为该管流的位置水头线。

反映了液体的断面平均单位位能沿流程的变化情况。

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(2)测压管水头线

沿流程各断面测压管水头

的连线

反映了液体断面平均单位势能沿流程的变化情况。

测压管水头线与位置水头线(即管流的轴线)之间的铅直距离,反映了液体的断面平均相对压强(即断面的平均单位压能)沿流程的变化情况。

测压管水头线在管流轴线之上的区域,管内的

液体为正压,形成正压区;测压管水头线在管流轴线之下的区域。

管内的液体为负压,形成负压区。如图中的ab区间即为负压区。

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(3)总水头线:沿流程各过水断面总水头

的连线。

它反映了液体的平均单位机械能沿流程的变化情况。

任意两个过水断面间总水头线的下降高度,就是这两个过水断面间液流的水头损失hw

实际液流总是有水头损失的,所以总水头线总是沿流程下降的(除非有外加能量)

总水头线沿流程下降的快慢程度,可以用水力坡度J来表示。

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水力坡度是液体在单位流程上的水头损失(即总水头线坡度),即

式中的dH为总水头在dl 流程上的增量,由于dH总为负值,为使水力坡度J为正值,上式中要加一负号。

因为势能和动能沿流程可以相互转化,所以测压管水头线沿流程可以下降、也可以升高或是水平的。

它沿流程的变化情况,可以用测压管水头线坡度Jp表示.是液体在单位流程上的测压管水头降低值,即

式中的

是测压管水头在dl流程上的增量。

按上述定义,测压管水头线下降时Jp为正,上升时Jp为负,所以式中要加一负号。

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测压管水头线与总水线平行时,表明液流的断面平均流速沿流程不变;若两条水头线间距减小,表明液流断面平均流速沿流程减小,反之,则表明断面平均流速沿流程增加。

能量方程的这种几何表示法,使液流各项单位能量沿流程的变化与损失情况一目了然。它是工程实际中分析液流现象和进行有关水力计算的有利工具。

小结:

1. 恒定流连续性方程

2.恒定流能量方程

3.水头线

作业6:

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