Dachbodenausbau
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Dachbodenausbau. by Michael Lameraner und Florian Kerschbaumer. HLUW Yspertal, 3A, 2008. Aufgabenstellung. Ein Dachboden mit einem Giebeldach hat den Querschnitt eines gleichschenk- ligen Dreiecks. Man möchte den Dach- boden ausbauen und einen Raum ohne

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Presentation Transcript


Dachbodenausbau

Dachbodenausbau

by

Michael Lameraner

und

Florian Kerschbaumer

HLUW Yspertal, 3A, 2008


Aufgabenstellung

Aufgabenstellung

Ein Dachboden mit einem Giebeldach

hat den Querschnitt eines gleichschenk-

ligen Dreiecks. Man möchte den Dach-

boden ausbauen und einen Raum ohne

schiefe Wände gewinnen, der möglichst

groß sein soll.

Wo müssen die Wände eingebaut sein?


Grundlagen

Grundlagen

Diese Aufgabe hat mit „Extremwerten“ zu tun.

Ehe wir in die Welt der Extremwerte eintauchen,

erklären wir auf den nächsten Folien einige wichtige

theoretische Grundlagen.


Was sind extremwerte

Was sind Extremwerte?

  • Der lokal kleinste und der lokal größte Wert einer Funktion y heißt Extremwert

  • Charakteristisch: an diesen Stellen befindet sich eine waagrechte Tangente

  • Das heißt y‘ = 0


Maximum und minimum

Maximum und Minimum

  • Erkennung Maximum: degressive Krümmung (y‘‘ < 0), dh., der Anstieg nimmt von li nach re immer mehr ab.

  • positiv  0  negativ

  • Erkennung Minimum: progressive Krümmung (y‘‘ > 0), d.h., der Anstieg nimmt laufend zu.

  • negativ 0  positiv


Wie werden extremwertaufgaben behandelt

Wie werden Extremwertaufgaben behandelt?

  • Überlegung der Gegebenheit des gestellten Problems

  • Bestimmung des Ziels: Welche Größe soll ein Extremwert sein? zB y

  • Kommen mehrere Variablen vor, so sucht man einen Zusammenhang zwischen ihnen und y

  • Die Funktion y bestimmen und differenzieren. y‘ = 0…Extremwert


Was ist differenzieren

Was ist „Differenzieren“?

Beim Differenzieren sucht man den Anstieg

der Kurve in jedem beliebigen Punkt.

Bei Potenzfunktionen kann dies sehr einfach

mit der angegebenen Formel berechnet werden:

y = xn y‘ = n . xn-1


Nochmals die aufgabe

Nochmals die Aufgabe:

Ein Dachboden mit einem Giebeldach

hat den Querschnitt eines gleichschenk-

ligen Dreiecks. Man möchte den Dach-

boden ausbauen und einen Raum ohne

schiefe Wände gewinnen, der möglichst

groß sein soll.

Wo müssen die Wände eingebaut sein?


Dachbodenausbau

a

h

x

z

c

Ansatz: c und h sind gegeben.

Das Volumen des Dachbodenraums ist:

V = x . z . a  Maximum, x und z…Variable


Strahlensatz

a

h

x

h - z

z

x/2

h

c

z

c/2

Strahlensatz

Mit Hilfe des Strahlensatzes suchen wir den

Zusammenhang der Variablen x und z

c/2 : h = x/2 : (h-z) |.(h-z)

c . (h-z)/2 . h = x/2 |.2

x = c . (h-z)/h


Dachbodenausbau

Nun können wir das Ergebnis in die Volumenformel einfügen.


Zur erinnerung x c h z h

zur Erinnerung: x = c.(h-z)/h

V = x . z . a

V = z . a . c . (h-z)/h

wir multiplizieren z in die Klammer:

V = a . (c/h) . (zh-z²)


Jetzt wird differenziert und z berechnet

Jetzt wird differenziert und z berechnet:

V‘(z) = a . (c/h) (h-2z) = 0

2z = h

z = h/2


Dachbodenausbau

Nun berechnen wir mit dem Ergebnis von

vorhin, wie breit der Dachboden sein soll:

x = c . (h-z)/h

x = c . (h-h/2)/h

x = c . h / (h . 2)

x = c/2

z = h/2


Ergebnis

h/2

x

z

c

Ergebnis

Das größte Volumen wird erreicht, wenn

man den Raum auf halber Höhe des Dach-

bodens mit der halben Länge der Grund-

linie baut.

h


Modell des dachbodens

x

z

c = 11 cm

Modell des Dachbodens

9 cm

18 cm

Dachfläche Seite

h =

5,8 cm

Dachboden vorne


Bilder des modells

Bilder des Modells

Seitlicher Blick ins Haus

Vorderseite


Berechnungen am modell

Berechnungen am Modell

Für unser Modell haben wir folgende Ergebnisse:

z = h/2 → 5,8/2 = 2,9 cm

x = c/2 → 11/2 = 5,5 cm

5,5 cm

x

z =

2,9 cm

c = 11 cm


Dachbodenausbau

V = x . z . a

V = 5,5 . 2,9 . 18

V = 287,1 cm³

Das größtmögliche Volumen des „Dachbodens“ bei unserem Modell beträgt 287,1 cm³.


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