Programação Linear

1. Programação Linear ADSA António Câmara

2. Programação linear • Formulação de modelos de programação linear • Resolução gráfica • Método simplex • Análises de sensibilidade e paramétrica • Problemas na aula

3. Formulação de modelos • Problemas de programação linear • Pretende-se maximizar (lucros) ou minimizar (custos) • Variáveis de decisão que assumem valores maiores do que zero • Critério para seleccionar os melhores valores das variáveis de decisão é uma função linear (função objectivo) • Regras operacionais que governam o processo podem ser expressas como um conjunto de equações ou inequações linears (conjunto de restrições)

4. Formulação de modelos • Formalmente: MAX (ou MIN): fobj(X1, X2, …, Xn) sujeito a: f1(X1, X2, …, Xn)  b1 … fk(X1, X2, …, Xn)  bk … fm(X1, X2, …, Xn)  bm

5. Resolução gráfica • Exemplo: Z= Min (40 X1 + 36 X2) s. às r. X1<8 X2<10 5 X1 + 3 X2> 45 X1, X2> 0

6. Resolução gráfica • Identificar todos os valores das variáveis de decisão que satisfazem as restrições. O conjunto de todas as soluções exequíveis constitui a região exequível. • Encontrar a melhor solução exequível (solução óptima) • Quando a função objectivo é igualada a um valor fixo a priori representa uma linha recta

7. Resolução gráfica • Podemos fazer Z= 600 por exemplo e mudando os valores de Z até atingir região exequível e definir a solução óptima (um vértice) • Neste caso obtemos X1= 8, X2= 5/3 com um valor de Z igual a 380.

8. Resolução gráfica X2 15 X2=10 10 (3.10) Z=600 5 X1=8 5X1+3X2=45 (8,5/3) x1 10 15 5

9. Resolução gráfica • Soluções óptimas alternativas- função objectivo paralela a uma das restrições • Soluções ilimitadas- a região exequível não é limitada

10. Método Simplex • Princípios básicos: • soluções óptimas podem ser encontradas nos vértices da região exequível • método de busca convergente • critério de paragem

11. Análises de sensibilidade e paramétrica • Análise de sensibilidade- variar coeficientes da função objectivo de forma a estabelecer os seus limites sem que se altere a solução final (cost ranging). Análise util para fixar os custos unitários de produtos e actividades • Análise paramétrica- alterar as constantes do lado direito das restrições nos valores da função objectivo

12. Problemas na aula • Formule e resolva gráficamente um dos três problemas seguintes

13. Problema 1 Admitamos que existe um predador com o ninho no lugar A e com duas presas potenciais X1 e X2 em áreas B e C, respectivamente. Em cada viagem a cada um das áreas captura apenas uma unidade de cada presa. Os tempos de viagem de ida e volta às áreas B e C estão estimados em 2 e 3 minutos respectivamente. Na área B, o predador leva 2 minutos a capturar uma unidade de X1, enquanto que na área C, leva apenas 1 minuto para capturar uma unidade de X2. O valor energético de uma unidade de X1 está estimado em 25 calorias e o valor energético de uma unidade de X2 é de 30 calorias.

14. Problema 1 (cont.) O objectivo do predador consiste em maximizar o numero de calorias obtidas por dia, sabendo que que não pode dispender mais de 120 minutos por dia em viagens de ida e volta entre o ninho e qualquer um dos locais B e C, e que não pode gastar mais do que 80 minutos por dia à procura da presa.

15. Problema 2 Admitamos que temos uma área de 50 hectares de terra que vai ser utilizada por uma Câmara Municipal para construção de um bairro residencial com dois tipos de habitações (A e B) possíveis. A densidade prevista para as habitações do tipo A é de 10 unidades por hectare e do tipo B de 5 unidades por hectare. Cada unidade do tipo A custa 2000 contos à Camara Municipal; cada unidade do tipo B custa 6000 contos. O orçamento da Câmara para a construção deste bairro é de 120.000 contos. As rendas das casas tipo A e tipo B irão ser de 190 e de 470 contos por ano, respectivamente. O problema consiste em determinar a combinação de casas tipo A e tipo B, por forma a obter a máxima renda annual para a Câmara.

16. Problema 3 Em 1000 ha de terra nas margens de um reservatório pretendem-se desenvolver duas culturas agrícolas. Cada hectare da cultura 1 perde 0.9 kg/ano de pesticida para o lago. Cada hectare da cultura 2 perde 0.5 kg/ano. As perdas totais de pesticida, devido aos seus impactes desfavoráveis no lago, não podem exceder 632.5 kg/ano. Os rendimentos provenientes das culturas 1 e 2 são de 300 c/ha e 150c/ha para as culturas 1 e 2 respectivamente. Os custos destas culturas são de 160 c/ha para a cultura 1 e 50 c/ha para a cultura 2. O problema consiste em determinar a combinação de culturas que maximiza os lucros do agricultor tendo em conta a restrição das perdas de pesticida para o lago.