Het Isis-probleem
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 66

Het Isis-probleem PowerPoint PPT Presentation


  • 253 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Het Isis-probleem Van het oude Egypte naar de 21 ste eeuw Dirk De Bock Hogeschool-Universiteit Brussel en K.U.Leuven, België. Het Isis-probleem. Welke rechthoeken, met gehele getallen als zijden hebben de eigenschap dat oppervlakte en omtrek (als getal) gelijk zijn?. Het Isis-probleem. 5.

Download Presentation

Het Isis-probleem

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Het isis probleem

Het Isis-probleemVan het oude Egypte naar de 21ste eeuwDirk De BockHogeschool-Universiteit Brussel en K.U.Leuven, België


Het isis probleem

Het Isis-probleem

Welke rechthoeken, met gehele getallen als zijden

hebben de eigenschap dat

oppervlakte en omtrek (als getal) gelijk zijn?


Het isis probleem1

Het Isis-probleem

5

7

Omtrek: 24

Oppervlakte: 35


Het isis probleem2

Het Isis-probleem

  • Bepaal alle rechthoeken met gehele zijden waarvoor

  • oppervlakte = omtrek

  • 2. Bewijs je bevinding (i.e. dat dit de enige zijn)

  • 3. Ga op zoek naar alternatieve bewijzen

  • AAN HET WERK!!!


Oplossingen

Oplossingen

6

4

4

3

Omtrek: 16

Oppervlakte: 16

Omtrek: 18

Oppervlakte: 18


Het isis probleem

The Egyptians relate that thedeath of Osiris occurred on the seventeenth (of the month), when the full moon is most obviously waning. Therefore the Pythagoreans call this day the "barricading" and they entirely abominate this number. For the number seventeen, intervening between the square number sixteen and the rectangular number eighteen, two numbers which alone of plane numbers have their perimeters equal to the areas enclosed by them, bars, discretes, and separates them one from another...(Plutarch, quoted by Davis and Hersh, 1981)


Het isis probleem

Wat maakt dit probleem voor sommigen interessant?

  • Osiris stierf op de 17de dag van de 3de maand, na 28 jaar koningschap

  • 77: 2 x 30 + 17 = 77ste dag van het jaar

28: maangetal

e: getal van groei  √ e  “root of new growth”

Phi: gulden snede


Het isis probleem

Wat maakt dit probleem VOOR ONS interessant?

• De oplossingen zijn erg eenvoudig. Maar ook het bewijs kan erg eenvoudig.

 Er zijn heel diverse bewijzen / types van argumentatie

  • Balans in routine en creativiteit

    • Toegankelijk voor groot leeftijdsbereik en technische wiskundige kennis

    • Verband met dimensionaliteit

    • Interessante uitbreidingen


Ons onderzoek

Ons onderzoek

Aanpak van verschillende groepen (met verschillende wiskundige expertise)

Spanning tussen routine en creativiteit

Waardering van diverse types bewijs / argumentatie


Opbouw workshop

Opbouw workshop

Inleiding

Aan het werk 1: vind bewijzen

Intermezzo

Aan het werk 2: evalueer bewijzen

Terugkoppeling

Uitbreidingen naar andere figuren

Dimensionaliteit

Onderzoeksresultaten


Opbouw workshop1

Opbouw workshop

Inleiding

Aan het werk 1: vind bewijzen

Intermezzo

Aan het werk 2: evalueer bewijzen

Terugkoppeling

Uitbreidingen naar andere figuren

Dimensionaliteit

Onderzoeksresultaten


Evalueer de bewijzen bundel met 5 bewijzen doornemen rangschikken van beste naar slechtste

Evalueer de bewijzen

Bundel met 5 bewijzen

Doornemen

Rangschikken van “beste” naar “slechtste”


Opbouw workshop2

Opbouw workshop

Inleiding

Aan het werk 1: vind bewijzen

Intermezzo

Aan het werk 2: evalueer bewijzen

Terugkoppeling

Uitbreidingen naar andere figuren

Dimensionaliteit

Onderzoeksresultaten


Het isis probleem

Empirische benadering

Met ruitjespapier

Jonge kinderen kunnen het probleem ontdekken door voorbeelden te zoeken.


Het isis probleem

Zelfs heel jonge kinderen zou je, met een set van kartonnen tegeltjes en staafjes, kunnen vragen rechthoeken te vinden waarvoor het aantal tegeltjes gelijk is aan het aantal staafjes.


Het isis probleem

Een systematischere uitwerking van een empirische benadering en een opstap naar een bewijs door een tabel van “oppervlakte – omtrek”.


Het isis probleem

lengte

1

2

3

4

5

6

7

1

-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-4 -4 -4 -4 -4 -4 -4

2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

3

4

-6 -4 -2 0 2 4 6

breedte

-7 -4 -1 2 5 8 11

5

-8 -4 0 4 8 12 16

6

-9 -4 1 6 11 16 21

7


Het isis probleem

x

x

1

y

y

Opp neemt toe met y

Omtr neemt toe met 2

Opp - Omtr neemt toe met y - 2


Het isis probleem

lengte

1

2

3

4

5

6

7

1

-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-4 -4 -4 -4 -4 -4 -4

2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

3

4

-6 -4 -2 0 2 4 6

breedte

-7 -4 -1 2 5 8 11

5

-8 -4 0 4 8 12 16

6

-9 -4 1 6 11 16 21

7


Het isis probleem

De tabel

• Toont de 3 oplossingen

• Is rijk aan “patronen”

• Kan de basis zijn van een rigoureus bewijs dat het de enige oplossingen zijn

• suggereert dat xy sneller toeneemt dan 2x + 2y, en dus een fundamenteel principe van dimensionaliteit


Het isis probleem

Dus, jonge kinderen kunnen het probleem al exploreren, en

• gaandeweg meer systematisch exploreren, patronen ontdekken

• begrijpen hoe oppervlakte sneller groter wordt dan omtrek

• een begrip opbouwen van wat een bewijs is


Het isis probleem

Algebraische benaderingenIemand die een beetje algebra kent, zal misschien routinematig de vergelijking schrijven: xy = 2x + 2yMaar wat dan? De uitdrukking moet herschreven worden om de gehele oplossingen te vinden.


Het isis probleem

Twee stappen kunnen “routinematig” worden gezet.

Mogelijkheid 1.

Druk één variabele uit in functie van de andere:

y = 2x / (x-2) of nog y = 2 + 4/(x-2)

Iemand kan inzien dat dit de vergelijking van een hyperbool is. De oplossingen kunnen dan snel gevonden worden, en ook het bewijs...


Het isis probleem

Mogelijkheid 2.

“Breng alles naar de linkerkant” :

xy - 2x - 2y = 0

Maar wat dan? Hier zou je analoog aan het “vervolledigen van het kwadraat (vierkant)” kunnen denken aan

“vervolledigen van de rechthoek” :

xy - 2x - 2y + 4 = 4


Het isis probleem

Dat geeft via factoriseren:

(x - 2)(y - 2) = 4

Nu kan je redeneren dat, als x - 2 en y - 2 getallen zijn (als x en y gehele getallen zijn) de enige oplossingen zijn: 1 x 4, 2 x 2, 4 x 1

 Het resultaat is duidelijk…


Het isis probleem

y = 2 + 4/(x - 2)

(x - 2)(y - 2) = 4

xy = 2x + 2y

xy - 2x - 2y = 0


Het isis probleem

Er zijn oneindig veel manieren om

xy = 2x + 2y

te herschrijven

De truuk is om nuttige manieren te vinden

Bijvoorbeeld: Wat is het nut van het herschrijven als :

yx + xy = 4x + 4y


Het isis probleem

Als je flexibel denkt dat y in yx en x in xy coëfficiënten zijn in plaats van variabelen, dan wordt uit de vergelijking

yx + xy = 4x + 4y

duidelijk dat x en y niet tegelijk groter dan 4 kunnen zijn … en zo kan je gaan bewijzen


Het isis probleem

2

= 4

1/x + 1/y

Of nog ….

xy = 2x + 2y

  • Het harmonisch gemiddelde van x en y is 4

  • x en y allebei 4

  • of ene >4 en andere <4  uittesten van alle gevallen


Het isis probleem

Of ….

xy = 2x + 2y

1/x + 1/y = 1/2


Het isis probleem

Deze vorm van uitdrukking met stambreuken geeft aan dat

Ofwel 1/x en 1/y allebei = ¼

Ofwel is de ene > ¼ en de andere < ¼ .

Er zijn dan nog weinig mogelijkheden, die je allemaal kan testen.


Het isis probleem

Als x = y, dan volgt uit xy = 2x + 2y onmiddellijk dat x = y = 4 de oplossing is.

Als x ≠ y veronderstel je – zonder verlies aan algemeenheid – dat y < x.

Uit xy = 2x + 2y en y < x volgt dan dat

xy < 2x + 2x en dus dat y < 4. Er blijven dan nog drie gevallen te onderzoeken, opnieuw dus een bewijs door uitputting.


Het isis probleem

2

= 4

1/x + 1/y

y = 2 + 4/(x - 2)

(x - 2)(y - 2) = 4

xy = 2x + 2y

xy - 2x - 2y = 0

1/x + 1/y = 1/2

yx + xy = 4x + 4y


Het isis probleem

Meetkundige oplossingen

Idee: deel een figuur op in driehoeken en vierkanten die evenveel bijdragen tot de omtrek en de oppervlakte van de gehele figuur.


Het isis probleem

2

2

2

2


Het isis probleem

x

2

2

y

2

2


Het isis probleem

En nu onze persoonlijke favoriet


Het isis probleem

“dikke omtrek”


Het isis probleem

Opp. = G + W

Omtr. = G + 4

Als opp. = omtr.

W = 4


Opbouw workshop3

Opbouw workshop

Inleiding

Aan het werk!

Terugkoppeling

Uitbreidingen naar andere figuren

Dimensionaliteit

Onderzoeksresultaten


Het isis probleem

Uitbreidingen

• Naar ruimtefiguren (balken, …), met oppervlakte = volume

• Naar andere vlakke figuren: driehoeken, cirkels, veelhoeken


Het isis probleem

Manteloppervlak

=

volume

  • 2yz + 2zx + 2xy = xyz

  • te herschrijven met stambreuken

    1/x + 1/y + 1/z = 1/2

  • Dan geldt ofwel x = y = z = 6, óf, zonder aan algemeenheid in te boeten, x < 6


Het isis probleem

Opp. = Omtr.

= 24

10

8

6

Bewijs mogelijk – maar redelijk lastig – op basis van de formule van Heron

Oppervlakte =


Het isis probleem

Uitbreiding naar andere vlakke figuren mogelijk, bijv. elke regelmatige veelhoek met straal ingeschreven cirkel = 2 heeft de eigenschap (maar, voorzover we konden nagaan, heeft geen enkele ervan gehele zijden). De cirkel met straal twee is dus een limietgeval!


Opbouw workshop4

Opbouw workshop

Inleiding

Aan het werk!

Terugkoppeling

Uitbreidingen naar andere figuren

Dimensionaliteit

Onderzoeksresultaten


Dimensionaliteit

Dimensionaliteit

xy ‘groeit’ sneller dan 2x + 2y

In het bijzonder, als x en y beide verdubbelen, dan neemt xy toe met factor 4, terwijl 2x + 2y slechts verdubbelt.


Dimensies

Dimensies

Inzicht dat bij lineaire vergroting oppervlakte kwadratisch toeneemt en volume met derde macht

In Vlaamse eindtermen

Blijkbaar zeer moeilijk voor leerlingen (onterecht lineair redeneren)

Zeer mooie toepassingen/voorbeelden in

(fysica/biologie)


Dimensionaliteit en biologie fysica

Dimensionaliteit en biologie/fysica

Haldane (1928) : “On being the right size”

Ieder dier heeft zijn optimale grootte

Groter of kleiner worden  ook zijn vorm moet veranderen!

Grote vogels hebben relatief grotere vleugels, oude bomen dikkere stammen, kleine vogels eten de hele tijd, …


Opbouw workshop5

Opbouw workshop

Inleiding

Aan het werk!

Terugkoppeling

Uitbreidingen naar andere figuren

Dimensionaliteit

Onderzoeksresultaten


Het isis probleem

Studie met leraren-in-opleiding

Leuven (N = 8) Dirk Janssens

Antwerpen (N = 8) Johan Deprez

Hasselt (N = 17) Michel Roelens

Brussel (N = 6) Roger Van Nieuwenhuyze


Het isis probleem

Deel 1

Los het probleem op en probeer meerdere bewijzen te vinden

Deel 2

Bestudeer de vijf bewijzen, rangschik ze volgens ‘kwaliteit’ (niet gedefinieerd) en becommentarieer


Het isis probleem

Volledig Partieel

Ontbinden

1

Tegels

3

Grafiek

5

Deelbaarheid

5

3

(x - 2) deelt 2x

Uitputting

1

6

2x/(x - 2)

Plus ...


Het isis probleem

Een “betere” student!

Xander Verbeke (Leuven) vond niet minder dan 5 bewijzen, allemaal helder en volledig beargumenteerd. Naast het bewijs met ontbinden, tegels en deelbaarheid, produceerde hij er nog twee “nieuwe”.


Het isis probleem

Xanders vierde bewijs

De vierkantsvergelijking z2 - cz + 2c = 0 heeft wortels x en y zo dat xy = 2c en x + y = c (en bijgevolg geldt dat xy en 2(x+y) gelijk zijn!)

Opdat x en y natuurlijke getallen zouden zijn, moet c2 - 8c een volkomen kwadraat zijn. Voor welke waarden van c is c2- 8c een volkomen kwadraat?


Het isis probleem

Xanders vijfde bewijs

Stel de zijden a en a + x en maak opnieuw een vierkantsvergelijking waarvan de discriminant een volkomen kwadraat moet zijn

(Multiplicatieve varianten zijn mogelijk door de zijden gelijk te stellen aan a en ax, of 2m.a en 2n.b met a en b oneven getallen…)


Het isis probleem

Beoordelen van bewijzen

De studenten rangschikten de bewijzen (ontbinden, tegels, stambreuken, grafiek, tabel) van best (1) naar slechtst (5).

Wat werd bedoeld met “best” en “slechtst” werd opengelaten.


Het isis probleem

Commentaren bij de bewijzen

• Voorkeur van vele studenten voor algebraïsche bewijzen (ontbinden en stambreuken)

“Het bewijs met de stambreuken en met ontbinden in factoren zijn de beste. Je hebt er geen tekening voor nodig”

“De tegels zijn minder duidelijk. Enkel om het voor te stellen, is dat wel handig, maar je bewijst het pas echt via ontbinding of met stambreuken”.


Het isis probleem

• Verwerping van empirie

Lage beoordeling van het bewijs met de tabel (in sommige gevallen werd het zelfs als bewijs verworpen).

(b) Verwarring tussen een bewijs door uitputting en “trial and error”.

“Bewijzen met een tabel lukt hier omdat men slechts een beperkt aantal mogelijkheden moet bekijken. In het algemeen is echter ‘bewijzen door opsomming’ geen goede techniek. Eigenlijk is het geen ‘mooi’ bewijs”.


Het isis probleem

• Ambivalente reacties op het bewijs met tegels

“Bewijs met tegels : Dit is een beter bewijs, omdat het duidelijk is en er van start tot einde netjes wiskundig geredeneerd wordt. Toch mis ik enkele vergelijkingen” (Xander)

“Dit is een heel mooi bewijs : snel, je hoeft er geen ‘echte’ wiskunde voor te kennen. Anderzijds: het is heel erg toegespitst op het concrete probleem. Het is ad hoc, niet onmiddellijk te veralgemenen naar andere problemen”


Het isis probleem

• Emotionele en esthetische reacties

“Nagaan met ‘trial and error’ welk getal wél en niet kan [werken] vind ik niet aangenaam. Het is wel een bewijs, maar ik hou er niet van”

“Het bewijs met ontbinden in factoren is heel eenvoudig, helder én mooi”

“Het bewijs met de tegels komt een beetje speels over”, “Het bewijs met de stambreuken is vergezocht”


Het isis probleem

• Bewijzen die logisch correct zijn versus bewijzen die “verhelderen”

“Het bewijs met de tegels is het meest visuele: je bent niet enkel overtuigd van de juistheid ervan, het hebt ook het gevoel te ‘zien’ waarom het zo is”


  • Login