資料包絡分析法

資料包絡分析法 (Data Envelopment Analysis, DEA) 黃嘉彥教授勤益科技大學研發與科技管理研究所

大綱 • 資料包絡分析法簡介 • DEA基本模式—CCR, BCC • DEA 使用步驟 • DEA的分析工具 • DEA之特性 • 結論 • DEA應用實例

資料包絡分析法簡介 • 多屬性決策分析模式中計算方案之加總價值，都假設方案之價值衡量在每個屬性上都是越大越好，因此加權總價值最高之最佳方案即為該決策的最佳方案 • 有些屬性之客觀結果值越大則主觀價值越高 • 購屋決策中的「室內空間」就是越大越好的屬性。 • 有些屬性之客觀結果值越大則主觀價值卻越低 • 購屋決策中「上班車程時間」是越小越好的屬性。

效率的觀念 • DEA不以加權總價值最高挑選最佳方案，而是以「效率」 (efficiency)的概念作為加總模式 • 將屬性區分為投入項(亦即對目標為負向影響之屬性) ，與產出項(亦即對目標為正向影響之屬性) 。而效率則等於總產出除以總投入，並以效率最大化為目標。 • 例

權重之設定 • DEA不須預設屬性之相對權重，乃是由實證資料中推導產生，每個受評方案的效率衡量乃是分別採取對該受評方案最有利的權重組合。 • DEA模式對不同條件下的受評方案具有相對較公正之基礎。(每個DMU的權重組合不同)

以DEA進行績效評估 吳萬益 • 企業經營之最高指導原則是希望以最小的投入獲得最大之產出，若不能達到領先之地位也希望能夠知道自己必須在哪些方面做何種努力，才能達到與領先者相同之水準。 • 對一個公司經營績效的評估往往是企業經營最重要的因素。 • 標竿管理利用DEA所得之資料作為訂定目標之依據，已成為企業界最常見之管理模式。

績效評估 • 績效評估乃是評估組織或個人如何以較少的投入資源獲得較多之產出結果的多屬性評估 • 通常使用「成本效益分析」之「投入產出比」來同時考慮對目標分別為負向影響與正向影響的投入屬性與產出屬性 • 例如，生產力可以「員工每人營業額」的比例式表達如下：

員工生產效率分析 • 生產力的目標是望大，所以營業額越高越好而員工人數越少越好 B的員工平均每人營業額最高，因此員工生產效率最高 • 某公司分析其八個不同工廠的生產效率以決定從中選擇一間績效最好的工廠 • 以營業額作為產出，員工人數作為投入，標示於二維座標中

其他議題的爭議 • C工廠提出抗議：他們的產品比較成熟所以單價低，因此產出不能光看營業額而必須考慮生產量 • D工廠抗議：他們的設備比較舊，需要的操作人員多，因此投入不能只看員工人數而必須也考慮機器設備的特性 • 即便全體對於評估所採用的投入與產出指標達成共識，但對每個屬性的相對權重該如何決定，依然可能爭論不休。

其他議題的爭議 • 他例，教師績效評量—依教學、服務與研究三方面評分。每個老師依其對學校得貢獻在哪一方面較多，而自行決定其權重(但每項有一定比例上限，例如40%)。合理否? • 決定權重的爭辯理由往往言之成理，可是也讓相對的比較無從進行，因為每個被評估的對象或候選方案的利害關係人都可以找到對自己有利的論點

相對效率 • 針對多個受評單位或備選方案的相對效率分析與比較，學者(Charnes et al., 1978)提出「資料包絡分析法」的相對比較方式。 • 將屬性區分為投入項與產出項，不預先設定權重。分別加總產出屬性值和總投入屬性值，然後總產出除以總投入的比率作為相對效率 • DEA應用目的：評估組織或單位的相對績效，被評估的對象稱為「決策單位」(Decision Making Unit, DMU) 。換言之，參與績效評估的單位是能夠作資源重新分配的決策

相對效率 • 以成本效益的角度來看，效率=總產出/總投入 • 每一個方案的效率如式所示： • 集合O表示結果Yj越大越好的屬性 • 集合I表示結果Xi越小越好的屬性 • uj與vi分別代表集合I與集合O中每個屬性對應的相對權重(未知數) 效率 • 每個決策單位的權重不同 • 比較不同決策單位的相對效率值，找出相對效率值最高的備選方案，並分析效率不佳之方案應減少投入或是提高產出，提出具體的改善方向

生產邊界衡量效率 • 早期的學者以經濟學觀點來闡釋效率 • 以生產邊界(production frontier)為衡量效率之主要方法有兩種： • 預先設定生產函數。 • 不預先設定生產函數—DEA法 • 若固定某一種生產函數關係L1，只有B是最佳方案，若改變生產函數關係為L2，則只有C是最佳方案 • 例如，校方為鼓勵老師服務，將服務的評分權重固定訂為50%，則教師績效高低顯然受限於服務之多寡

經濟學—生產可能曲線 電腦產量預設生產函數形式 3,000 生產可能曲線 2,200 2,000 1,000 F B A E C D 600 700 300 1,000 0 汽車產量只有汽車與電腦兩種商品下的生產可能曲線 14

生產邊界衡量效率 • DEA法為一種不預設生產函數形式的分析法 • 亦即，不預設投入與產出屬性之相對權重，藉由實際投入產出的資料形成包絡面(envelopment surface)，推測出生產邊界 • DEA法的相對效率衡量係建立在柏拉圖最適邊界(Pareto optimal frontier)之效率觀念上。 (滿足柏拉圖最適邊界者就是最有效率的)

生產邊界衡量效率 • 例如，教師績效評量—假設每位教師給予相同的投入(經費、人力) ，依三方面產出項評分。 • 設有A,B,C三位老師其教學、服務與研究依參考基準計算出點數分別是： • 何者表現較優?自己定權重合理嗎? • 可應依柏拉圖最適邊界的效率觀念比較相對效率

營運效率分析為例 • 例，以營業額和生產量作為衡量的兩項產出屬性 • 以員工人數作為唯一投入屬性，繪出生產曲線為方便分析，固定某投入水準(X=R)來比較不同DMU的Y1與Y2產出情形包絡線=效率前緣(efficiency frontier) 營業額(產出) 不預設生產函數形式，此包絡面係藉由實際投入產出的資料形成員工人數(投入) 生產量(產出) 柏拉圖最適邊界示意圖:在不增加員工數的情況下，唯有減少一個產出項之產量，否則另一個產出項的產量無法被增加。

營運效率分析為例 • 在不增加員工數的情況下 • 出現在柏拉圖最適邊界的A,B,C,D，唯有減少一個產出項之產量(例如將人力移往生產另一項產出項) ，否則另一個產出項的產量無法被增加(已被用到極限，無法再被擠出產出)。 • 例，B的Y2產出高於A，在不增加人力的情況下，若A欲產出與B相同的Y2，只好挪用其生產Y1的人力，也因此使其Y1的產出減少營業額生產量

營運效率分析為例 • E,F,G,H若欲提高產品，並不需增加投入或犧牲部份產出 • 例如可就現有投入人力努力改進就可以提高產出 • 因此，表示其目前未達最佳效率(還可以再擠出產出) 營業額生產量

營業額(產出) 有效率無效率生產量(產出) 營運效率分析為例 • 落在柏拉圖最適邊界的工廠儘管生產組合不同，但是都是相對有效率的工廠，可以連線形成一個包絡線，稱為效率前緣。工廠G(無效率)可以效法工廠B的管理方式而提升效率，同時提高Y1與Y2的產出，而達到效率前緣

DEA基本模式 • DEA兩種主要模式：CCR模式與BCC模式 • CCR模式：Charnes、Cooper及Rhodes (CCR)於1978年將Farrell (1957)的效率評估觀念推廣，並建立一般化之數學規劃模式，以衡量在固定規模報酬下，多項投入與多項產出之生產效率。 • BCC模式：Banker等人於1984年將CCR模式修正為變動規模報酬的假設下衡量決策單位之相對效率

成本 IRS DRS CRS Q CCR 模式 • CCR模式假設固定規模報酬(CRS, constant return to scale)，也就是每一單位投入可得產出量是固定的，不會因規模大小而改變 • DUMk效率定義如下： n個產出項 m個投入項

將目標式分母強制設為1 數學規劃模式 • DEA線性規劃模式乃是以一個決策單位DMUk的效率Ek最大化為目標式 • 尋找最對DMUk最有利的投入項權重組合，以及產出項權重組合，使得Ek達最大值 • 所有DMUk的效率Er≦1 • 決策變數：權重ujk與vjk為待決定之未知數 CCR模式的數學規劃式目標式限制式 R個決策單位

分數規劃的形式 • 若目標式分母強制設為1，可將分數線性規劃問題可轉換為線性規劃問題 • hk為投入導向效率 • 「投入導向模式」的意義是在相同的投入總水準(分母=1)，尋求產出最大化的效率

「一投入一產出」之CCR模式 • 九個決策單位其投入產出如表由於只有一投入一產出，故投入權重只有一個v1k，產出權重也只有一個u1k。(m=1,n=1) 1≦k≦R，k代表決策單位其中一個(此例R=9) 產出投入

九個決策單位之CCR模式解

投影點 (1.5,3) 在X-Y二維平面上尋找一條通過原點之包絡線 • 因為，Y越大X越小，斜率Y/X大表示效率高，因此，尋找的方向由Y軸開始順時鐘旋轉，直到與第一個決策單位相交才停止，即為有效率的決策單位。產出藍線即為效率前緣投入

利用DEA結果進行改善 • 不同於其他給定權重的分析方法(諸如AHP，GRA，TOPSIS等)，DEA的權重是由實際投入產出的資料計算而得 • 由DEA分析結果可得出許多改善的契機 • 對於相對無效率的決策單位，可以找出其在效率前緣的投影點，作為改善的參考方向，並與投影點的效率比較可得相對效率。

投影點 (1.5,3) 以DMUF為例 • 以DMUF為例，在效率前緣的投影點為F*=(1.5,3)，就是在相同的產出水準下，欲達有效率需減少投入水準達F*，故的相對效率DMUF為F點與F*點之效率比，其中點與點的效率分別為 • DMUF的相對效率為0.3 與數學規劃模式求解之結果相同產出投入

BCC模式 • 在不同的生產規模下，規模報酬將會隨之改變，於初創期生產規模小時，投入產出比會隨著規模增加而提升，稱為規模報酬遞增(Increasing Returns to Scale, IRS) • 達到高峰期時，產出與規模成正比而達到最適生產規模，稱為規模報酬固定(CRS) • 當生產規模過於龐大時，產出減緩，則稱為規模報酬遞減(Decreasing Returns to Scale, DRS)，也就是投入增加時，產出增加的比例會少於投入增加的比例 • Banker等人將CCR模式修正為變動規模報酬(Variable Returns to Scale, VRS)的假設下衡量DMU之相對效率，稱之為BCC模式(Banker et al., 1984)

BCC模式 • BCC模式將DMU是否達到有效的生產規模也納入評估，故可同時衡量規模效率與技術效率比CCR多此項

與DMUA相切之線段L1未通過原點，且截距 代表其規模報酬遞增( X軸截距 ) 與DMUC相切之線段L2未通過原點，且截距代表其規模報酬遞減 ( X軸截距 ) BCC模式—規模報酬示意圖 • 顯示一投入一產出下三個決策單位之相對位置產出與DMUB相切之線段L3達到有效率，其他決策單位都是相對無效率投入

總效率與技術效率關係 • DMU未達相對有效率可能是技術無效率或者是規模無效率 • CCR模式中各個DMU生產規模已調整至規模效率，故求得之相對效率hk為總效率(overall efficiency) • BCC模式模式中各個DMU的規模效率並不一致，求得之相對效率tk為技術效率 • 其總效率乃是技術效率與規模效率之乘積 OE=TE x SE

九個決策單位之BCC模式解

BBC模式示意圖 Y/X越大，表示效率越高，因此由Y軸順時針轉會先碰到CCR • 考慮DMUF • CCR模式效率為0.3，也就是總效率OE=0.3 • 而BCC模式效率為0.333，也就是技術效率TE=0.3，規模效率SE=OE÷TE=0.901 • 截距u0=－0.133<0，代表DMUF乃是規模報酬遞增，可再增加其生產規模而達到最適規模 • 比較F與F’可知，若生產規模相當時，技術有效率的決策單位僅需投入XF’即可獲得與DMUF相同的產出水準(XF’ << XF) 產出投入

DMUF的效率 • DMUF技術效率 • DMUF規模效率 • DMUF總效率為技術效率與規模效率之乘積 • 當不確定是否已達規模效率，不知該用CCR或BCC時，不妨分別計算CCR與BCC，比較tk與hk就可知規模效率SE 由BCC獲得 =0.333 =0.901 亦由CCR獲得 =0.3

交叉模式 • CCR模式與BCC模式均採取「自我評估」之觀點，也就是受評之DMU會找尋對自己最有利之權重組合 • 當一DMU之相對效率達到1時，仍須觀察該DMU被其他無效率DMU參考的次數，以免造成孤芳自賞的情形，而無法達成單一總體衡量指標的目標 • 因此，可將評估相對效率同為1的DMU進一步區分其效率。

交叉模式 • Doyle and Green (1994)提出一種「同儕評估」(peer evaluation)的方式 • 以DEA模式求得每個DMU對自己有利的權重組合後，取其他R-1個DMU之權重組合，計算數平均數作為之交叉效率CE 不含自己的效率值

交叉模式—平均效率 其他DMU的權重 • 其中乃是以DMUr所選之最佳權重來衡量DMUk之投入產出之效率值，計算方式如式 • 平均效率：同時考慮交叉效率CEk以及對DMUk最有利之效率hk (由CCR模式或其他DEA模式求得) ： • 使用平均效率的指標來比較所有DMU將更具有一致的衡量基準 (包含自我評估與同儕評估之平均) 表示也用別人的權重來評自己

一投入二產出交叉模式之範例 可將相對效率同為1的決策單位進一步區分其效率

交叉模式—平均效率 • 交叉效率乃是同儕評估，而不是採用對自己最有利的權重組合 • 一個確實有效率的DMU，其不論在同儕評估或自我評估都將呈現較佳的相對效率 • 例如，教師評量除以最有利於自己的自定權重計算外，若以別人之權重計算績效結果也很好，表示績效確實很好 • 若自我評估良好但同儕評估不佳，代表對該DMU最有利的權重組合乃是偏頗的，僅適用於該DMU ，而不能適用於全體 • 交叉效率可進一步衡量DMU之相度效率的穩健度。

DEA 使用步驟 • DEA方法使用程序 (Golany& Roll，1989) • 四個大步驟 (1)問題定義與DMU之選取 (2)投入產出項之選取 (3)DEA模式之選取 (4)評估結果之分析

區分投入屬性或產出屬性 • 將評估屬性區分為與目標正相關且為望大的產出項屬性，以及與目標負相關且為望小的投入項屬性值 • 各個投入屬性與產出屬性必須符合正向性或同向性之關係，即增加某個投入屬性的數量時，產出數量不能反而減少

決定哪些投入與產出屬性 • 可利用「後向消去法」(backward elimination)逐一檢視並消去對效率較無影響之投入或產出因子 • DEA模式結果的相對權重值越小，通常表示該投入項或產出項對效率的影響越小，後向消去法乃是影響最小的投入或產出屬性開始刪除 • 也可採「前向選擇法」(forward selection)，也就是由影響最大的投入或產出屬性開始逐一檢視並選入模式之中

投入與產出屬性之個數限制 • 就屬性總數而言，DEA方法在處理多項投入多項產出時雖有其優越處，但其所能處理之投入產出項個數並非毫無限制 • 每增加一項投入或產出屬性，則會新增數個投入產出比率，導致DEA模式之鑑別力降低 • 根據經驗法則，受評決策單位的個數不能低於投入屬性個數與產出屬性個數乘積的兩倍

評估結果分析與詮釋 • DEA計算結果的分析與詮釋，可以由下列四個方向來討論： • 效率分析： • 差額變數分析 • 規模報酬分析 • 敏感度分析

評估結果分析與詮釋 • 效率分析： • 由DEA之評估相對效率的結果，除了可以利用CCR模式計算總效率及BCC模式計算技術效率，並可以推導規模效率 • DEA是一種採用實證資料的標竿比較，評估結果乃是相對效率而非絕對效率，因此效率為1並不代表沒有改進之處 • 同樣是相對有效率的DMU可比較其被其他DMU參考的次數，被參考的次數越多，則表示該DMU為相對有效率的衡量穩健度(robustness)越高

評估結果分析與詮釋 • 差額變數分析： • 針對無效率的DMU或方案，可以透過DEA模式的差額變數分析(slack variable analysis)瞭解投入資源使用狀況，找出無效率之來源及對應的屬性值應該改善的大小程度

評估結果分析與詮釋 • 規模報酬分析： • 決策單位之無效率可能是源自於技術效率或不同規模報酬的規模效率 • 在規模報酬固定的CCR模式下，評估結果為為相對總效率。而規模報酬變動的BCC模式，則是考慮不同DMU間的規模差異，評估結果為相對技術效率，並可判斷該DMU是屬於規模報酬遞增、遞減或固定。 • 通常建議兩種模式並用，如此可以同時分析總效率、技術效率與規模效率。

評估結果分析與詮釋 • 敏感度分析： • 因為DEA模式的結果容易受到考慮的投入產出屬性以及DMU的資料影響，為了提高研究的效度，使評估結果更具效果，因此必須進一步利用敏感度分析可以由三方面著手 • 投入與產出屬性增減變化對評估結果的影響 • DMU數量變化時對評估結果的影響 • 各方案的投入與產出屬性值變化時對評估結果的影響。(考量將某些特別高或特別低的屬性值捨棄)

資料包絡分析法