二次函数
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二次函数. 复习课. 25. 1. 1. ( — , -— ). x=—. 4. 2. 2. 二次函数 y=x 2 -x-6 的图象顶点坐标是 __________ 对称轴是 _________ 。. 例 1:. 二次函数的解析式 :. (a≠0). 顶点式 y=a(x-h) ² +k. 对称轴 : 直线 x=h 顶点 :(h,k). 一般式 y=ax ² +bx+c. 二次函数的图象 :. 是一条抛物线. 二次函数的图象的性质 :. 开口方向 ; 对称轴 ; 顶点坐标 ; 增减性 ; 最值. 25.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


3787030

二次函数

复习课


3787030

25

1

1

(—,-—)

x=—

4

2

2

二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________

对称轴是_________。

例1:

二次函数的解析式:

(a≠0)

顶点式y=a(x-h)²+k

对称轴:直线x=h 顶点:(h,k)

一般式y=ax²+bx+c

二次函数的图象:

是一条抛物线

二次函数的图象的性质:

开口方向; 对称轴; 顶点坐标;

增减性; 最值


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25

25

1

1

1

1

(—,-—)

(—,-—)

x=—

x=—

4

4

2

2

2

2

y

0

x

二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________

对称轴是_________。

例1:

画二次函数的大致图象:

①画对称轴

②确定顶点

③确定与y轴的交点

④确定与x轴的交点

⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点

⑥连线

(-2,0)

(3,0)

(1,-6)

(0,-6)


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25

25

1

1

1

1

(—,-—)

(—,-—)

x=—

x=—

4

4

2

2

2

2

y

0

x

二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________

对称轴是_________。

例1:

增减性:

当 时,y随x的增大而减小

当 时,y随x的增大而增大

最值:

(-2,0)

(3,0)

当 时,y有最 值,是

(1,-6)

函数值y的正负性:

(0,-6)

当 时,y>0

当 时,y=0

当 时,y<0

x<-2或x>3

x=-2或x=3

-2<x<3


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例2:

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示,则在下列

各不等式中成立的个数是____________

y

①abc<0

②a+b+c < 0

③a+c > b

④2a+b=0

-1

0

1

x

开口方向:向上a>0;向下a<0

对称轴:在y轴右侧a、b异号; 在y轴左侧a、b同号

与y轴的交点:在y轴正半轴c>0;在y轴负半轴c<0

与x轴的交点:两个不同b2-4ac>0;唯一b2-4ac=0;没有b2-4ac<0

a+b+c由当x=1时的点的位置决定;a-b+c由当x=-1时的点的位置决定


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将 向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的关系式是

例3:

各种顶点式的二次函数的关系

左加右减上加下减

y = a( x – h )2 + k

上下平移

左右平移

(h,k)

y = ax2 + k

y = a(x – h )2

(h,0)

(0,k)

上下平移

左右平移

y = ax2

(0,0)


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抛物线 关于x轴对称的抛物线解析式是

例4:

解题思路:

关于x轴对称:

①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k

②写出顶点(h,k)

③写出顶点(h,k)关于x轴的点的坐标(h,-k)

则关于x轴对称的抛物线解析式是y=-a(x-h)2-k

关于y轴对称:

①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k

②写出顶点(h,k)

③写出顶点(h,k)关于y轴的点的坐标(-h,k)

则关于x轴对称的抛物线解析式是y=a(x+h)2+k


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y

y

o

x

o

y

x

y

D

C

o

x

o

x

A

B

例5:

如图,在同一坐标系中,函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是( )


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y

P

A

D

o

B

C

M

x

施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,

例6:

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标

(2)求出这条抛物线的函数关系式

(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D两点在抛物线上,B、C两点在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮忙计算一下.

解:(1)点M的坐标是(12,0),点P的坐标是(6,6)

(2)设此抛物线解析式为y=a(x-6)2+6

又因为它经过(0,0),则0=a(0-6)2+6


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y

P

A

D

o

B

C

M

x

施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,

例6:

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标

(2)求出这条抛物线的函数关系式

(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D两点在抛物线上,B、C两点在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮忙计算一下.

(3)设点A的横坐标为m,则点A的纵坐标是

∴AD=BC=12-2m,AB=CD=

∴AB+AD+DC=

当m=3时,即OB=3米时,3根木杆长度之和的最大值为15米.


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施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,

例6:

y

P

A

D

如果现有一辆宽4米,高4米的卡车准备要通过这个隧道,问它能顺利通过吗?

o

B

C

M

x

解:当x=4时,

即当这个隧道在中心两旁4米宽时的顶的高度达到了5米多,

而车的高度只有4米,所以这两卡车能顺利通过.


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有 关 练 习

练习1、 在 y=-x2, y=2x2- +3 ,

y=100-5x2, y=-2x2+5x3-3 中

有个是二次函数。

2

-2

点评:定义要点

(1)a≠0. (2)最高次数为2.(3)代数式一定是整式.


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3、抛物线     的对称轴及顶点坐标分别是( )

A、y轴,(0,-4) B、x=3,(0,4)

C、x轴,(0,0)  D、y轴, (0,3)

D

4、二次函数        图象的顶点坐标和对称轴方程为(  )

A、(1,-2), x=1B、(1,2),x=1

C、(-1,-2),x=-1 D、(-1,2),x=-1

A


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5、函数     的开口方

向,顶点坐标是,对

称轴是.

当x时.y随x的增大而减小。

当x时.y有最为.

向上

<-1

=-1

顶点坐标公式


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①、

y

②、

x

o

③、

④、

⑤、

点评:二次函数的几种表现形式及图像

(顶点式)

(一般式)


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6、将抛物线y=-3x2-1向上平移2个单位, 再向右平移 3个单位, 所得的抛物线的表达式为,

7.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得抛物线y=x2-2x+2,

则b=,c= ,

-8

15

注意:顶点式中,上+下-,左+右-


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y

y

y

y

x

x

x

x

o

o

o

o

(D)

(A)

(C)

(B)

8、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是( )

C


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y

x

9、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例:

1)、当x=1 时,

2)、当x=-1时,

3)、当x=2时,

4)、当x=-2时,

a+b+c

>0

y=

a-b+c

<0

y=

-1

o

2

-2

1

>0

4a+2b+c

y=

<0

4a-2b+c

y=

5)、b²-4ac0.

6)、2a+b0.


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选择合适的方法求二次函数解析式:

10、抛物线经过(2,0)(0,-2)(-1,0)三点。

11、抛物线的顶点坐标是(6,-2),且与

X轴的一个交点的横坐标是8。


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三种思路:

已知任意三点坐标

已知顶点坐标、对称轴或最值

已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0).(x2,0)


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12.已知抛物线y=x²-mx+m-1.

= 1

(1)若抛物线经过坐标系原点,则m______;

>1

(2)若抛物线与y轴交于正半轴,则m______;

= 0

(3)若抛物线的对称轴为y轴,则m______。

= 2

(4)若抛物线与x轴只有一个交点,则m_______.


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13、不论x为何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0

)的值永远为正的条件是____     _

a>0, b²-4ac<0

(-1,8)

14、求抛物线        

①与y轴的交点坐标;

②与x轴的两个交点间的距离.

③x取何值时,y>0?

6

-3

1

-1


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15、如图①, 已知抛物线 y=ax²+bx+3(a≠0)与 x轴交于点A(1,0)和点B (-3,0),与y轴交于点C.

(1) 求抛物线的解析式;

(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M, 问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(4) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.


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15.如图①, 已知抛物线y=ax²+bx+3 (a≠0)与 x轴交于点A(1,0)和点B (-3,0),与y轴交于点C.

(1) 求抛物线的解析式;

y=-x²-2x+3

(0,3)

Q

(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

(-3,0)

(1,0)

Q(-1,2)


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(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

以M为圆心,MC为半径画弧,与对称轴有两交点;以C为圆心,MC为半径画弧,与对称轴有一个交点(MC为腰)。

作MC的垂直平分线与对称轴有一个交点(MC为底边)。

(0,3)

(-3,0)

(1,0)

(-1,0)


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(4) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.

(m,-m²-2m+3)

E

(0,3)

(1,0)

F

(-3,0)


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