posibilidad y probabilidad conteo permutaciones combinaciones probabilidad y esperanza matem tica
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Profa . Sheila Rosario, MA 10 de noviembre de 2012 Matemática Intermedia

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Universidad de Puerto Rico de Aguadilla División de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP) Propuesta: CeCiMaT - Segundo Generación, Tercer Año (Centro para el Entendimiento en las Ciencias y las Matemáticas con la Tecnología) Programa Titulo II-B.

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posibilidad y probabilidad conteo permutaciones combinaciones probabilidad y esperanza matem tica

Universidad de Puerto Rico de Aguadilla

División de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP)

Propuesta: CeCiMaT - Segundo Generación, Tercer Año

(Centro para el Entendimiento en las Ciencias y las Matemáticas con la Tecnología)

Programa Titulo II-B

Posibilidad y Probabilidad.Conteo, permutaciones, combinaciones, probabilidad y esperanzamatemática

Profa. Sheila Rosario, MA

10 de noviembre de 2012

Matemática Intermedia

definici n
Definición
  • Posibilidad
    • Aptitud, potencia u ocasión para que
    • algo exista o suceda.
slide3

Definición

  • Probabilidad
    • Es la posibilidad o la oportunidad de que ocurra un evento específico.
    • La probabilidad es una proporción o fracción cuyo valor se encuentra entre 0 y 1 inclusive.
slide4

Definición

  • Probabilidad
    • Se observa que un evento que no tiene posibilidad de ocurrir ( es decir, el evento imposible) tiene probabilidad 0, mientras que un evento que ocurrirá con seguridad (es decir, el evento seguro) tiene probabilidad de 1
slide5

Tipos de Muestreo

Probabilístico

cuando todos los elementos

de la población tienen la

misma probabilidad de ser

Seleccionados.

No probabilístico

cuando no todos los elementos

de la población tienen la misma

probabilidad de ser seleccionados.

definiciones
Definiciones
  • Suceso- es cualquier conjunto de resultados o consecuencias de un procedimiento.
  • Suceso o Evento Simple – es un resultado o un suceso que ya no puede desglosarse en componentes mas simples. Puede describirse por una sola característica.
slide7

Definición

  • Espacio muestral– de un procedimiento se compone de todos los sucesos simples posibles. Es decir, el espacio muestral esta formado por todos los resultados que ya no pueden desglosarse mas. Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.
ejemplo de espacio muestral
Ejemplo de espacio muestral
  • El espacio muestral se determina como:

2 n

(En la mayoría de los casos de evento simple)

Ejemplo:

a.) Describe el espacio muestral al lanzar tres monedas.

b.) Extracción de dos canicas de una caja que contiene cuatro canicas blancas y tres negras.

int ntalo
Inténtalo
  • ¿Cuál seria es espacio muestral del tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos?
probabilidad cl sica o priori
Probabilidad Clásica o Priori
  • Probabilidad Simple
    • La probabilidad de éxito se basa en el conocimiento previo del proceso implicado. Es aquello que se puede deducir usando sólo la razón, sin recurrir a la experiencia.
    • Es donde cada resultado es igualmente posible.

P(A) = Número de eventos clasificables como A

Número total de eventos posibles

ejemplos
Ejemplos

Ej. 1:

¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 al

lanzar un dado?

Ej. 2:

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número

par al lanzar un dado?

ejemplos1
Ejemplos

Ej. 3:

¿Cuál es la probabilidad de obtener un numero

primo al lanzar un dado?

Ej. 4:

¿Cuál es la probabilidad de extraer un A de un

paquete de 52 cartas? (casino)

Ej. 5:

Supón que se extraen 2 cartas de un paquete de

52. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean

espadas?

ejemplos2
Ejemplos

Ej. 6:

Se extrae una baraja de 40 cartas (españolas).

¿Cuál es la probabilidad de que…

a) una carta que sea denominada con el numero 1?

b) que la carta sea oro?

Ej. 7:

¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 8 al

lanzar 2 dados? (Encuentra primero el espacio

muestral)

la regla de suma
La Regla de Suma

La regla de la suma sirve para determinar la probabilidad de que ocurra algunos de varios eventos posibles al mismo tiempo.

Para comenzar nuestro análisis, supongamos que sólo existen dos eventos posibles: A y B

sucesos complementarios
Sucesos Complementarios

El complemento de un suceso A, denotado por Ã, consiste en todos los resultados en los cuales el suceso A no ocurre.

slide17

Ejemplo 8

Genero al nacer

En realidad nacen mas niños que niñas. En un

Grupo típico , hay 205 bebes recién nacidos y

105 de ellos son niños. Si un bebe del grupo

es seleccionado al azar, ¿Cuál es la

probabilidad de que no sea un niño?

definici n1
Definición
  • Probabilidad compuesta para sucesos excluyentes

Los sucesos A y B son disjuntos (o mutuamente

excluyentes) cuando ambos no pueden ocurrir al

mismo tiempo. (Es decir, los sucesos disjuntos no

se traslapan).

definici n2
Definición
  • Probabilidad compuesta para sucesos excluyentes

La probabilidad de ocurrencia de A ó B es igual a la

probabilidad de que ocurra A más la probabilidad

de que ocurra B menos la probabilidad de que

ocurran ambos, A y B.

slide20

Ejemplo 9

Supongamos que queremos determinarla probabilidad de sacar una A o un trébol de una baraja de cartas ordinarias.

¿Por qué tenemos que restar la probabilidad de obtener un A y un trébol a la vez?

ejemplos3
Ejemplos

Ej. 10:

¿Cuál es la probabilidad de elegir un 10 o un

4 al extraer una carta de una baraja ordinaria?

Ej. 11: Al lanzar un dado calibrado, ¿cuál es la

probabilidad de obtener un 1 ó un número

par?

slide22

Definición

  • Probabilidad compuesta para sucesos independientes
  • Dos sucesos A y B son independientes cuando la
  • ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de la
  • ocurrencia del otro. (De manera similar, muchos
  • otros sucesos son independientes si la ocurrencia
  • de cualquiera no afecta las probabilidades de la
  • ocurrencia de los demás). Si A y B no son
  • independientes, se dice que son dependientes.

P(A y B)=P(A)●P(B)

ejemplos4
Ejemplos

Ej. 12:

Una bolsa contiene 3 canicas rojas y 5 azules.

Se extrae una canica y después se reemplaza.

Luego se extrae otra canica. ¿Cuál es la probabilidad

de que en ambas ocasiones se extraiga una canica

azul?

Ej. 13:

Se lanzan 2 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de

que en ambos lanzamientos se obtengas caras?

ejemplos5
Ejemplos

Ej. 14:

Un dado tiene las letras A, B, C, D, E y F sobre

sus caras. Otro dado tienes los números

1, 2, 3, 4, 5 y 6 sobre sus caras. ¿Cuál es la

probabilidad de que al lanzar ambos dados se

obtenga la letra D y un numero impar? ¿Cuál

es la probabilidad de obtener una vocal junto

con el número 6?

definici n3
Definición
  • Conteo (Regla fundamental del conteo)

Para una secuencia de dos sucesos en la que el

primero puede ocurrir de m formas y el segundo

puede ocurrir de n formas, los sucesos juntos

pueden ocurrir un total de m●n formas.

definiciones1
Definiciones
  • En matemáticas se utiliza un lenguaje preciso:
    • Si el orden no importa, es una combinación.
    • Si el orden sí importa es una permutación.
definici n4
Definición
  • Permutación

Todas las posibles combinaciones de un conjunto de cosas. Una permutación es una combinación ordenada.

¡Así que esto se podría llamar

"cerradura de permutación"!

tipos de permutaciones
Tipos de permutaciones
  • Debemos recordar: "Permutación... Posición“
  • Se permite repetir:
    • como en la cerradura, podría ser "333".
  • Sin repetición:
    • por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
tipos de permutaciones1
Tipos de permutaciones

1. Permutaciones con repetición

  • Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = n r

  • Por ejemplo en la cerradura, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

slide31

Tipos de permutaciones

2. Permutaciones sin repetición

  • En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
  • Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
f rmula
Fórmula
  • donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(No se puede repetir, el orden importa)
funci n factorial
Función factorial
  • La función factorial (símbolo:  )

significa que se multiplican números descendentes.

  • Ejemplos:
    • 4! =
    • 7! =
ejemplos6
Ejemplos

Ej. 15:

Elige en orden 3 bolas de 16

Ej. 16:

¿De cuantas maneras se pueden dar el primer y segundo premio entre 10 personas?

definici n5
Definición
  • Combinación

La selección de un grupo de objetos a partir de un

conjunto sin importar el orden.

    • Existen dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa)
      • Se puede repetir:
      • como monedas en tu bolsillo:

5, 5, 5, 10, 25

      • Sin repetición:
        • Como números de lotería:

2, 14, 15, 27, 30, 31

slide37

Tipos de combinaciones

1. Combinaciones con repetición

ejemplo
Ejemplo

Ej. 17:

Digamos que tenemos cinco sabores de helado:

Banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes

tomar 3 de esos sabores. ¿Cuántas variaciones

hay?

slide39

Tipos de combinaciones

2. Combinaciones sin repetición

Imaginemos que son permutaciones pero no nos

importa el orden.

En el ejemplo utilizado de las bolas de billar si

queremos sacar 3 sin importar en orden podemos

Ver estas opciones:

123, 132, 213, 231, 312, 321 = 6 posibilidades = 3!

f rmula1
Fórmula
  • A esta formula también se le llama “coeficiente binomial”
  • Donde n es el numero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (no se puede repetir, el orden no importa)
ejemplo1
Ejemplo

Ej. 17:

Elige en orden 3 bolas de 16

slide43
Esperanza Matemática - Valor Esperado:Se define como esperanza matemática de una variable aleatoria a la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicada por el resultado del mismo.
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