Profa . Sheila Rosario, MA 10 de noviembre de 2012 Matemática Intermedia

1. Universidad de Puerto Rico de Aguadilla División de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP) Propuesta: CeCiMaT - Segundo Generación, Tercer Año (Centro para el Entendimiento en las Ciencias y las Matemáticas con la Tecnología) Programa Titulo II-B Posibilidad y Probabilidad.Conteo, permutaciones, combinaciones, probabilidad y esperanzamatemática Profa. Sheila Rosario, MA 10 de noviembre de 2012 Matemática Intermedia

2. Definición • Posibilidad • Aptitud, potencia u ocasión para que • algo exista o suceda.

3. Definición • Probabilidad • Es la posibilidad o la oportunidad de que ocurra un evento específico. • La probabilidad es una proporción o fracción cuyo valor se encuentra entre 0 y 1 inclusive.

4. Definición • Probabilidad • Se observa que un evento que no tiene posibilidad de ocurrir ( es decir, el evento imposible) tiene probabilidad 0, mientras que un evento que ocurrirá con seguridad (es decir, el evento seguro) tiene probabilidad de 1

5. Tipos de Muestreo Probabilístico cuando todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser Seleccionados. No probabilístico cuando no todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados.

6. Definiciones • Suceso- es cualquier conjunto de resultados o consecuencias de un procedimiento. • Suceso o Evento Simple – es un resultado o un suceso que ya no puede desglosarse en componentes mas simples. Puede describirse por una sola característica.

7. Definición • Espacio muestral– de un procedimiento se compone de todos los sucesos simples posibles. Es decir, el espacio muestral esta formado por todos los resultados que ya no pueden desglosarse mas. Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

8. Ejemplo de espacio muestral • El espacio muestral se determina como: 2 n (En la mayoría de los casos de evento simple) Ejemplo: a.) Describe el espacio muestral al lanzar tres monedas. b.) Extracción de dos canicas de una caja que contiene cuatro canicas blancas y tres negras.

9. Ejemplo de espacio muestral

10. Inténtalo • ¿Cuál seria es espacio muestral del tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos?

11. Probabilidad Clásica o Priori • Probabilidad Simple • La probabilidad de éxito se basa en el conocimiento previo del proceso implicado. Es aquello que se puede deducir usando sólo la razón, sin recurrir a la experiencia. • Es donde cada resultado es igualmente posible. P(A) = Número de eventos clasificables como A Número total de eventos posibles

12. Ejemplos Ej. 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 al lanzar un dado? Ej. 2: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado?

13. Ejemplos Ej. 3: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un numero primo al lanzar un dado? Ej. 4: ¿Cuál es la probabilidad de extraer un A de un paquete de 52 cartas? (casino) Ej. 5: Supón que se extraen 2 cartas de un paquete de 52. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean espadas?

14. Ejemplos Ej. 6: Se extrae una baraja de 40 cartas (españolas). ¿Cuál es la probabilidad de que… a) una carta que sea denominada con el numero 1? b) que la carta sea oro? Ej. 7: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 8 al lanzar 2 dados? (Encuentra primero el espacio muestral)

15. La Regla de Suma La regla de la suma sirve para determinar la probabilidad de que ocurra algunos de varios eventos posibles al mismo tiempo. Para comenzar nuestro análisis, supongamos que sólo existen dos eventos posibles: A y B

16. Sucesos Complementarios El complemento de un suceso A, denotado por Ã, consiste en todos los resultados en los cuales el suceso A no ocurre.

17. Ejemplo 8 Genero al nacer En realidad nacen mas niños que niñas. En un Grupo típico , hay 205 bebes recién nacidos y 105 de ellos son niños. Si un bebe del grupo es seleccionado al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un niño?

18. Definición • Probabilidad compuesta para sucesos excluyentes Los sucesos A y B son disjuntos (o mutuamente excluyentes) cuando ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo. (Es decir, los sucesos disjuntos no se traslapan).

19. Definición • Probabilidad compuesta para sucesos excluyentes La probabilidad de ocurrencia de A ó B es igual a la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que ocurra B menos la probabilidad de que ocurran ambos, A y B.

20. Ejemplo 9 Supongamos que queremos determinarla probabilidad de sacar una A o un trébol de una baraja de cartas ordinarias. ¿Por qué tenemos que restar la probabilidad de obtener un A y un trébol a la vez?

21. Ejemplos Ej. 10: ¿Cuál es la probabilidad de elegir un 10 o un 4 al extraer una carta de una baraja ordinaria? Ej. 11: Al lanzar un dado calibrado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 1 ó un número par?

22. Definición • Probabilidad compuesta para sucesos independientes • Dos sucesos A y B son independientes cuando la • ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de la • ocurrencia del otro. (De manera similar, muchos • otros sucesos son independientes si la ocurrencia • de cualquiera no afecta las probabilidades de la • ocurrencia de los demás). Si A y B no son • independientes, se dice que son dependientes. P(A y B)=P(A)●P(B)

23. Ejemplos Ej. 12: Una bolsa contiene 3 canicas rojas y 5 azules. Se extrae una canica y después se reemplaza. Luego se extrae otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas ocasiones se extraiga una canica azul? Ej. 13: Se lanzan 2 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambos lanzamientos se obtengas caras?

24. Ejemplos Ej. 14: Un dado tiene las letras A, B, C, D, E y F sobre sus caras. Otro dado tienes los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 sobre sus caras. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar ambos dados se obtenga la letra D y un numero impar? ¿Cuál es la probabilidad de obtener una vocal junto con el número 6?

25. Worksheets

26. Definición • Conteo (Regla fundamental del conteo) Para una secuencia de dos sucesos en la que el primero puede ocurrir de m formas y el segundo puede ocurrir de n formas, los sucesos juntos pueden ocurrir un total de m●n formas.

27. Definiciones • En matemáticas se utiliza un lenguaje preciso: • Si el orden no importa, es una combinación. • Si el orden sí importa es una permutación.

28. Definición • Permutación Todas las posibles combinaciones de un conjunto de cosas. Una permutación es una combinación ordenada. ¡Así que esto se podría llamar "cerradura de permutación"!

29. Tipos de permutaciones • Debemos recordar: "Permutación... Posición“ • Se permite repetir: • como en la cerradura, podría ser "333". • Sin repetición: • por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

30. Tipos de permutaciones 1. Permutaciones con repetición • Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son: n × n × ... (r veces) = n r • Por ejemplo en la cerradura, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos: 10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

31. Tipos de permutaciones 2. Permutaciones sin repetición • En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso. • Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?

32. Fórmula • donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(No se puede repetir, el orden importa)

33. Función factorial • La función factorial (símbolo:  ) significa que se multiplican números descendentes. • Ejemplos: • 4! = • 7! =

34. Ejemplos Ej. 15: Elige en orden 3 bolas de 16 Ej. 16: ¿De cuantas maneras se pueden dar el primer y segundo premio entre 10 personas?

35. Worksheets

36. Definición • Combinación La selección de un grupo de objetos a partir de un conjunto sin importar el orden. • Existen dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa) • Se puede repetir: • como monedas en tu bolsillo: 5, 5, 5, 10, 25 • Sin repetición: • Como números de lotería: 2, 14, 15, 27, 30, 31

37. Tipos de combinaciones 1. Combinaciones con repetición

38. Ejemplo Ej. 17: Digamos que tenemos cinco sabores de helado: Banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 de esos sabores. ¿Cuántas variaciones hay?

39. Tipos de combinaciones 2. Combinaciones sin repetición Imaginemos que son permutaciones pero no nos importa el orden. En el ejemplo utilizado de las bolas de billar si queremos sacar 3 sin importar en orden podemos Ver estas opciones: 123, 132, 213, 231, 312, 321 = 6 posibilidades = 3!

40. Fórmula • A esta formula también se le llama “coeficiente binomial” • Donde n es el numero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (no se puede repetir, el orden no importa)

41. Ejemplo Ej. 17: Elige en orden 3 bolas de 16

42. Worksheets

43. Esperanza Matemática - Valor Esperado:Se define como esperanza matemática de una variable aleatoria a la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicada por el resultado del mismo.