正弦定理的证明解读
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正弦定理的证明解读. 克拉玛依市高级中学 曾艳. 一、论文的主要内容. 1 、总结正弦定理的证明方法. 2 、正弦定理证明方法的内在联系剖析. 3 、自己对定理证明的一些思考. 二、写论文的目的. 1 、定理本身是解三角形问题的重要方法. 2 、证明方法本身也是我们研究三角形问题以及其它 数学问题的重要工具. 3 、从证明方法总结出来的各种结论也是我们研究三 角形问题的重要工具. 4 、使我在教学的时候更能根据自己学生的实际情 况选择自己最适合的证明方法. 三、正弦定理证明方法. 1. 利用三角形的高证明正弦定理. 2. 利用三角形面积证明正弦定理.

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正弦定理的证明解读

克拉玛依市高级中学 曾艳


一、论文的主要内容

1、总结正弦定理的证明方法.

2、正弦定理证明方法的内在联系剖析.

3、自己对定理证明的一些思考.

二、写论文的目的

1、定理本身是解三角形问题的重要方法.

2、证明方法本身也是我们研究三角形问题以及其它

数学问题的重要工具.

3、从证明方法总结出来的各种结论也是我们研究三

角形问题的重要工具 .


4、使我在教学的时候更能根据自己学生的实际情

况选择自己最适合的证明方法

三、正弦定理证明方法

1.利用三角形的高证明正弦定理

2.利用三角形面积证明正弦定理

3.向量法证明正弦定理

4.外接圆证明正弦定理


当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据

锐角三角函数的定义,有

C

b

a

B

A

D

C

b

a

A

D

B

由此,得

同理可得

故有

从而这个结论在锐角三角形中成立.

同理可得这个结论在钝角三角形中仍然成立

从而得到:在一个三角形中,各边和它所对角的正

弦的比值相等,即

.


1’用知识的最近生长点来证明:

实际应用问题中,我们常遇到问题:

已知点A,点B之间的距|AB|,可测量角A与角B,

需要定位点C,即:

在如图△ABC中,已知角A,角B,|AB|=c,

求边AC的长b

解:过C作CDAB交AB于D,则

推得:

同理可证:


A

B

C

D

已知△ABC,设BC=a, CA=b,AB=c,作AD⊥BC,

垂足为D.则Rt△ADB中,

∴AD=AB·sinB=csinB.∴S△ABC=

同理,可证 S△ABC=

.∴ S△ABC=

∴absinc=bcsinA=acsinB,在等式两端同除以abc,可得

.


△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于

C

j

,则j与

的夹角为90°-A,j与

B

由向量的加法原则可得

A

的夹角为90°-C.

为了与图中有关角的三角函数建立联系,

j的数量积运算,

我们在上面向量等式的两边同取与向量

由分配律可得

得到

∴|j|

Cos90°+|j|

Cos(90°-C)=|j|

Cos(90°-A).

.

.

∴asinC=csinA.∴

.

另外,过点C作与

垂直的单位向量j,则j与

的夹角为

90°+C,j与

的夹角为90°+B,可得

在顿角三角形中同样可证


在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,

O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据

直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可

以得到∠BAB′=90°,∠C =∠B′

这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式


四、剖析四种证明方法的本质联系

虽然每种证明方法都用不同的数学知识从不同的角度

去证明了正弦定理,但是仔细观察会发现有一条纽带

一直联系在正弦定理的各种证明方法之间,可以说每

一种证明方法离开这条纽带都是没办法成立的,这条

纽带就是:直角三角形思想。正弦定理的四种证明方法

(在正弦定理的第一种证明方法中,用到的就是最基本

的通过三角形作高把斜三角形转化为直角三角形。第二

面积法,三角形的面积等于低乘高,也是把一般的三角

形问题转化为垂直关系来研究。第三种向量法用到的也

是向量的垂直关系。第四种外接圆法也借助了直径所对

的圆周角等于 这个特殊的直角三角形)都是利用了直

角三角形;余弦定理的平面几何证明方法,也是利用三

角形做高转化成直角三角形来证明;


在没学正余弦定理之前,学生直接利用初中的知识来解斜三角形,也是转化成直角三角形来解。从这其中我们可以发现直角三角形它那不可替代的特殊作用。所以,我觉得正弦定理的四种证明方法的本质联系就是:直角三角形。在没学正余弦定理之前,学生直接利用初中的知识来解斜三角形,也是转化成直角三角形来解。从这其中我们可以发现直角三角形它那不可替代的特殊作用。所以,我觉得正弦定理的四种证明方法的本质联系就是:直角三角形。

五、对正弦定理的思考

对于正弦定理的四种证明方法,我认为作高法和面积法

是学生比较容易接受的方法,因为正弦定理的发现也好,

或是初中同学们对三角形的认识也好,对于一般三角形

问题通过作高转化成直角三角形问题是大家都很熟悉的,

所以接受起来特别的容易,所以用作高来证明正弦定理

是最容易被学生接受和掌握的方法。而有了作高证明正

弦定理的方法以后,要用面积法学生接受起来也就不会

存在很大的困难,因为所有的学生都知道,三角形的面


积等于低乘高,所以作出三角形的高以后,通过老师的积等于低乘高,所以作出三角形的高以后,通过老师的

恰当引导,学生很容易就能联想到三角形的面积等于低

乘高,从而也就较容易接受和掌握面积法证明正弦定理。

从教学实际上来看,学生求解更容易让学生接受,而且

我们可以从知识的最近生长点(三角变换与解直角三角

形)来引入解斜三角形,可能证明1’并不是最简单的证

明,但它扎根于学生已有的知识,更符合学生的认知水

平,而且正弦定理最终是为解三角形实际问题服务的,

让学生从解决实际问题入手,能培养学生实际应用能力,

正是基于从这个角度的思考,在实际上课的过程中,使

用这种方法引入,可能更容易被学生接受,在实际操作

过程中,如果对于A班教学我更倾向于,用1’引入问题,

用向量法证明,如果对于B班教学,则选择实际问题引入

用做高法完成证明。


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