Économie pour les ingénieurs

1. Économie pour les ingénieurs Chapitre 3 L’application des formules d'équivalence à des transactions commerciales concrètes

2. Objectifs d’apprentissage • Le taux d’intérêt nominal et le taux d’intérêt effectif • Les calculs d’équivalence : quand les périodes de versement et les périodes de capitalisation coïncident • Les calculs d’équivalence : quand les périodes de versement et les périodes de capitalisation diffèrent • Les calculs d’équivalence : quand les versements sont continus X • Les taux d’intérêt variables • Les prêts commerciaux • Les prêts hypothécaires • Les investissements obligataires • Les calculs par ordinateur Économie pour les ingénieurs

3. 1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif • Le taux d’intérêt nominal (r)est la méthode traditionnelle pour exprimer le taux d’intérêt. • C’est le produit du taux d’intérêt par période avec le nombre de périodes dans l’année. • 1 % par mois x 12 mois = 12 % /an… • Le 12 % est le taux d’intérêt nominal et la capitalisation est mensuelle. • (r)ne considère pas les effets de la capitalisation. Économie pour les ingénieurs

4. 1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif • Le taux d’intérêt effectif (i) est le taux d’intérêt qui est réellement chargé ou reçu pendant l’année (ou autre période). • Dans l’exemple précédent, 1% représente le taux d’intérêt effectif par mois. Le taux d’intérêt effectif par année (ia, est le taux d’intérêt annuel qui tient compte des effets de la) capitalisation pendant l’année. • Connaître la distinction entre ret i nous permet de répondre à la question: Lequel des investissements suivant est le plus avantageux ? • i = 12 % / an ou • i = 1%/mois capitalisé (ou composé) par mois pendant 12 mois. Économie pour les ingénieurs

5. 1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif • Les compagnies de carte de crédit expriment le taux d’intérêt comme suit : « 18 % composé par mois » • 18 % est le taux d’intérêt nominal • Fréquence de capitalisation est par mois (M = 12) • Le taux d’intérêt par période de capitalisation est 18 % / 12 = 1,5 % par mois. • Chaque mois l’institution te charge 1,5 % d’intérêt sur le solde impayé. Économie pour les ingénieurs

6. 1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif Cependant le 18 % par année ne traduit pas fidèlement la réalité. On doit se tourner vers le taux d’intérêt effectifpour évaluer l’effet de la capitalisation plus fréquente. Économie pour les ingénieurs

7. 1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif Exemple Vous obtenez un prêt de la banque avec un taux d’intérêt annuel de 12% capitalisé par mois. r = 12% Le taux d’intérêt par mois est : r/M = 12% /12 = 1 % (taux effectif mensuel) Si vous empruntez 1$, alors F = P(1 + i)M = 1$ (1 + 0,01)12 = 1,1268$ I = F - P = 1,1268$ - 1$ = 12,68 cents (1 + ia) = (1 + i)M = > ia = (1 + i)M - 1 Économie pour les ingénieurs

8. 1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif Exemple (suite) On peut exprimer le taux d’intérêt effectif annuel (ia) en terme du pourcentage du principal : ia = (1 + 0,01)12 - 1 = 0,1268 ou 12,68 % Si le même prêt est capitalisé trimestriellement, alors … ia = (1 + 0,03)4 - 1 = 0,1255 ou 12,55 % Économie pour les ingénieurs

9. Annuelle Semestrielle Trimestrielle Mensuelle Quotidienne 4.00% 4.04% 4.06% 4.07% 4.08% 5.00% 5.06% 5.09% 5.12% 5.13% 6.00% 6.09% 6.14% 6.17% 6.18% 7.00% 7.12% 7.19% 7.23% 7.25% 8.00% 8.16% 8.24% 8.30% 8.33% 9.00% 9.20% 9.31% 9.38% 9.42% 10.00% 10.25% 10.38% 10.47% 10.52% 11.00% 11.30% 11.46% 11.57% 11.63% 12.00% 12.36% 12.55% 12.68% 12.75% 1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif Taux d'intérêt effectif Taux d'intérêt Capitalisation : nominal 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% De ce tableau on observe que plus la capitalisation est fréquente, plus les intérêts payés ou (reçus) pendant l’année sont élevés et ce pour un même taux d’intérêt nominal. Économie pour les ingénieurs

10. 1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif Généralisation pour toutes les périodes i= (1 + r/M)C - 1 i= (1 + r/CK)C - 1 M = Périodicité de la capitalisation par année = CK C = Périodicité de la capitalisation par période de versements K = Le nombre de périodes de versements par année. Économie pour les ingénieurs

11. 1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif Exemple • Vous effectuez des dépôts trimestriels dans un compte d’épargne qui paye 9 % capitalisé par mois. Quel est le taux d’intérêt effectif par trimestre ? • r = 9 % • C = 3 périodes de capitalisation par trimestre • K = 4 paiements trimestriels par année • M = 12 périodes de capitalisation par année Économie pour les ingénieurs

12. 1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif Exemple (suite) i = (1 + 0,09/12)3 - 1 = 2,27 % par trimestre 9 % / 12 = 0,75 % par mois 4ème trim. 1er trim. 0,75% 0,75% 0,75% 0,75% 0,75% 0,75% 2,27% 2,27% ia= (1 + 0,0075)12 - 1 = 9,38 % par année Économie pour les ingénieurs

13. Capitalisation continue Économie pour les ingénieurs

14. 1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif • Pour obtenir le taux d’intérêt effectif annuel… K = 1 Exemple : 12 % capitalisé continuellement est ia= e0,12 - 1 = 12,7497 % Économie pour les ingénieurs

15. Versements et la capitalisation diffèrent • Dans bon nombre de situations, les intervalles auxquels ont lieu les flux monétaires diffèrent des périodes de capitalisation. • Règle : Quand les périodes de versements et la période de capitalisation ne coïncident pas, on doit modifier l’une ou l’autre de façon à ce que les deux partagent la même unité de temps. • EX : Paiements trimestriels avec de la capitalisation mensuelle… trouvez le taux d’intérêt effectif par trimestre. • EX : Paiements mensuels avec de la capitalisation trimestriel… trouvez le taux d’intérêt équivalent par mois. Économie pour les ingénieurs

16. Versements et la capitalisation diffèrent Capitalisation plus fréquente que les paiements Démarche : • Identifiez la périodicité de la capitalisation par année (M), le nombre de périodes de paiements par année (K), et le nombre de périodes de capitalisation par période de versements (C). • Calculez le taux d’intérêt effectif par période • Trouvez le nombre total de périodes de paiementsN= Kx (nombre d’années) • Utilisez iet Ndans la bonne formule Économie pour les ingénieurs

17. Versements et la capitalisation diffèrent Exemple Vous déposez à chaque trimestre 1 000 $ dans un fonds qui paye des intérêts à un taux de 12 % / an capitalisé par mois. Quel est le solde du compte à la fin de l’année 2 ? • A = 1 000 $ par trimestre, r = 12 % par an, M = 12 périodes de capitalisation par année et N = 8 trimestres. Économie pour les ingénieurs

18. Versements et la capitalisation diffèrent Exemple (suite) • Identifiez les paramètres • M = 12 périodes de cap. par année • K = 4 périodes de paiements par année • C = 3 périodes de cap. par période de paiements. • i = (1 + 0,12/12)3 - 1 = 3,030 % par tr. • Trouvez N… le nombre total de périodes de paiement … N = 4 x 2 = 8 • La bonne formule… • F = 1000$(F/A, 3,030%, 8) = 8 901,81 $ Économie pour les ingénieurs

19. 1 000$ 1 000$ 1 000$ 1 000$ 1 000$ 1 000$ 1 000$ 1 000$ Exemple (suite) F 12 % se composant mensuellement 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 22 23 24 i = (1 + 0,12/12)3 = 3,030 % / tr. F = 1 000 $(F/A, 3,03 %, 8) = 8 901,81$ Économie pour les ingénieurs

20. Versements et la capitalisation diffèrent Capitalisation moins fréquente que les paiements • Il y a deux hypothèses sous-jacentes aux deux exemples suivants. • Exemple 1… le dépôt commence à payer des intérêt dès que le dépôt est effectué (au début de la période). • Exemple 2… les dépôts qui sont effectués à l’intérieur du trimestre commencent à payer des intérêts seulement à la fin de ce trimestre. Économie pour les ingénieurs

21. Versements et la capitalisation diffèrent Exemple 1 Vous effectuez des dépôts mensuels de 500$ dans un compte qui paye des intérêts à un taux de 10 % capitalisé trimestriellement. Calculez le solde de ce compte à la fin de 10 ans. • M = 4 périodes de capitalisation par année • K = 12 paiements par année • C = 1/3 période de capitalisation par période de paiement • i = (1 + 0,10/4)1/3 - 1 = 0,826 % par mois • N = (12)(10) = 120 périodes de paiements • F = 500$ (F/A, 0,826%,120) = 101 907,89$ Économie pour les ingénieurs

22. Intérêt mensuel équivalent i = (1 + 0,025)1/3 - 1 = 0,826 % par mois 12 mois i = 10 % / 4 = 2,5 % par trimestre Exemple (diagramme) F = 500 $(F/A, 0,826%, 120) = 101 907,89 $ 0 1 2 3 4 Versements mensuels = 500 $ Période de capitalisation réelle (trimestrielle) Économie pour les ingénieurs

23. Versements et la capitalisation diffèrent Exemple 2 Même chose que l’exemple 1 mais cette fois les dépôts qui sont effectués dans le trimestre ne payent pas d’intérêt avant la fin du trimestre. • i = 10 %/4 = 2,5% par trimestre • A = 3 x 500$ = 1 500$ par trimestre • N = 4 (10) = 40 périodes de paiements • F = 1 500$(F/A, 2,5%, 40) = 101 103,83$ Économie pour les ingénieurs

24. F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 111 120 A = 500 $ / mois F 0 1 2 3 4 40 Exemple (diagramme) A = 1 500 $ / tr. Économie pour les ingénieurs

25. Taux d’intérêt variables • Jusqu’à maintenant…les taux d’intérêt dans les calculs d’équivalence étaient constants. • Pas toujours réaliste… puisque les taux peuvent varier avec le temps. • Marge de crédit • Prêts à taux variables • Hypothèques Économie pour les ingénieurs

26. Taux d’intérêt variables Exemple 1 • Vous déposez 2 000 $ dans un RÉER qui rapporte des intérêts de 12 % se composant trimestriellement durant les deux premières années, et des intérêts de 9 % se composant trimestriellement durant les trois années suivantes. Déterminez le solde à la fin de 5 ans. F = ? 12 % cap. trim 1 2 3 4 5 9 % cap. trim Économie pour les ingénieurs

27. Taux d’intérêt variables Exemple 1 (suite) • On calcule la valeur de F en 2 étapes: • Étape 1 : Calcul du solde à la fin de 2 ans • B2= 2 000 $(F/P, 12 %/4, 8) = 2 000 $(1,2668) = 2 533,60$ • Étape 2 : Calcul du solde final • F = B2(F/P, 9 %/4,12) = 2533,60$(1,3060) = 3 309$ Économie pour les ingénieurs

28. 250$ 200$ 100$ i1 = 5 % i2 = 7 % i3 = 9 % 0 1 2 3 Taux d’intérêt variables Exemple 2 A = ? Économie pour les ingénieurs

29. A A A i1 = 5 % i2 = 7 % i3 = 9 % 0 1 2 3 Taux d’intérêt variables Exemple 2 (suite) Économie pour les ingénieurs

30. Taux d’intérêt variables Exemple 2 (suite) P = 100$(P/F, 5%,1) + 200$(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1) + 250$(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1)(P/F, 9%,1) = 477,41 $ On trouve la valeur présente… Ensuite on trouve A 477,41$ = A(P/F, 5%,1) + A(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1) + A(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1)(P/F, 9%,1) = 2,6591A • A = 179,54$ Économie pour les ingénieurs

31. Prêts commerciaux • Les plus populaires : Prêts amortis • Prêts qui sont remboursés avec des versements périodiques égaux • Prêts autos, hypothèques, prêts étudiants, etc... • Aspect important • Composante intérêt • Composante principal Économie pour les ingénieurs

32. Prêts commerciaux Supposez qu’on emprunte un montant P, au taux d’intérêt i, et qu’on décide de rembourser ce montant P, avec intérêt, sur N périodes. • La valeur des remboursements est • A = P(A/P, i, N) • Les remboursements sont divisés en 2 composantes • Paiement d’intérêt • Remboursement du principal Économie pour les ingénieurs

33. Prêts commerciaux Laissons… Bn = Solde du prêt à la fin de la période n, avec B0 = P In = Paiement d’intérêt à la période n, avec In = Bn-1 i PPn = Paiement du principal à la période n Alors le paiement est A = PPn + In Économie pour les ingénieurs

34. Prêts commerciaux Pour calculer PP et I… L’intérêt de la première période est I1 = B0i = Pi Le paiement du principal à ce moment sera PP1 = A - Pi Le solde du prêt après le premier versement sera B1 = B0 - PP1 = P - PP1 L’intérêt de la deuxième période est I2 = B1i = (P - PP1)i Le paiement du principal à ce moment est PP2 = A - (P - PP1)i = (A - Pi) + PP1i = PP1(1 + i) Le solde du prêt après le deuxième versement est B2 = B1 - PP2 = P - (PP1 + PP2) Économie pour les ingénieurs

35. Prêts commerciaux Au nième versement… Bn = P - (PP1 + PP2 + … + PPn) Bn = P - [PP1 + PP1(1 + i) + … + PP1(1 + i)n-1] Bn = P - PP1(F/A, i, n) Bn = P - (A - Pi)(F/A, i, n) … In = (Bn-1) i et… PPn = A - In Économie pour les ingénieurs

36. Prêts commerciaux Exemple • Tu as emprunté 5 000$ de la banque pour effectuer des réparations à la maison. La banque te propose la modalité de remboursement suivante : • Valeur du contrat : 5 000 $ • Période du contrat : 24 mois • Taux d’intérêt annuel : 12 % • Paiement mensuel : 235,37$ Économie pour les ingénieurs

37. 5 000 $ 1 % par mois 6 mois 24 mois Prêts commerciaux Exemple (suite) Économie pour les ingénieurs

38. Prêts hypothécaires Hypothèques • Prêts amortis à long terme • Typiquement sur des propriétés • Association canadienne des banquiers • WWW.CBA.CA • Société canadienne d’hypothèques et de logement • www.cmhc-schl.gc.ca/hf-fl/fr/acheter_maison/index.html • Montant du prêt = principal • Différence prix de la propriété et le solde = équité Économie pour les ingénieurs

39. Prêts hypothécaires Exemple • Maison = 125 000$ avec mise de fonds de 25 000$ • Hypothèque conventionnelle de 100 000$ avec un terme de 3 ans et un taux d’intérêt de 8 % par année de la Banque TD. • Question 1 : Quels sont les versements si la personne rembourse l’hypothèque selon la modalité suivante ? • Paiements mensuelles • Question 2 : Quel est le solde à la fin du terme ? Économie pour les ingénieurs

40. Prêts hypothécaires Question 1 P = 100 000$, r = 8 %, M = 2 périodes de capitalisation par année, amortissement de 25 ans, et le terme est de 3 ans. Calcul pour paiement mensuel i = (1 + 0,08/2)1/6 -1 = 0,6558 % A = 100 000$ (A/P, 0,6558 %, 300) = 763,20$ Économie pour les ingénieurs

41. Prêts hypothécaires Question 2 Calcul pour paiement mensuel… n = 3 x 12 = 36 i = 0,6558 % B = 100 000$(F/P, 0,6558 % , 36) - 763,20$ (F/A, 0,6558% , 36) = 95 655.54$ Économie pour les ingénieurs

42. Les investissements obligataires Promesses de remboursement selon un échéancier précis, et dont les intérêts sont d’ordinaire capitalisés semestriellement. Elles sont émises par l’emprunteur sur le marché primaire des capitaux. Elles peuvent s’échanger après coup, entre détenteurs, sur le marché secondaire, tout en demeurent en circulation. Économie pour les ingénieurs

43. Les investissements obligataires Terminologie • Débentures - obligations hypothécaires • Valeur nominale • Date à échéance • Taux d’intérêt du coupon • Taux d’intérêt du marché • Cours de l’obligation • Obligation vendue avec escompte d’émission • http://www.finance-net.com/placements/obligations/obligations.phtml Économie pour les ingénieurs

44. Les investissements obligataires Exemple 1… le cours • Une obligation de 10 ans est caractérisée par une valeur nominale de 5 000$ et un taux annuel d’intérêt du coupon de 8 % payable trimestriellement. L’acheteur potentiel exige un rendement de 12 % sur ses investissements. Quel est le cours de cette obligation ? • P = 5 000$ (P/F, 3, 40) + 100$ (P/A, 3, 40) = 3 844$ 5000$ (0,08/4) = 100$ Économie pour les ingénieurs

45. Les investissements obligataires Exemple 2… Taux exigé du marché • L’intérêt qui assure l’équivalence entre les recettes futures découlant de l’obligation et le prix du marché de l’obligation. • VN = 1 000$, P = 1 088$, Intérêt du coupon par semestre = 4,625% x 20 périodes. • 1 088$ = 46,25$(P/A, i%, 20) + 1 000$(P/F, i%, 20) Économie pour les ingénieurs

46. 1084,94$ 4% 1088,00$ ? 1241,76$ 3% Les investissements obligataires Exemple 2 … suite VP des recettes i par semestre Économie pour les ingénieurs

47. Les investissements obligataires Exemple 3… rendement courant Est l’intérêt annuel reçu exprimé en % du cours actuel du marché de l’obligation. Des données de l’exemple précédent… 46,25$/1088$ = 4,25% semestriellement 2 x 4,25% = 8,5% annuellement Rendement courant effectif : ia= (1 + 0,0425)2 - 1 = 8,68 % Économie pour les ingénieurs

48. Exemple d’une hypothèque Économie pour les ingénieurs