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平面向量基本定理 PowerPoint PPT Presentation


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P. f. - f. G. 必修系列. 数学 4. 平面向量基本定理. 问题情境. v. v. v 1. 2011 年 11 月 3 日 1 时 43 分,神舟八号与天宫一号第一次交会对接圆满成功,中国成为世界第三个独立掌握无人和载人空间对接技术的国家。承担“神舟八号”飞船和“天宫一号”目标飞行器发射任务的是 “长征二号 F” 运载火箭 。. v 2. 给定平面内两个不共线的向量 e 1 , e 2 , 可表示平面内任一向量 a 吗?. 依照速度的分解,平面内任一向量 a 可作怎样的分解呢?. 探究 :. 平行四边形法则.

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平面向量基本定理

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Presentation Transcript


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P

f

- f

G

必修系列

数学4

平面向量基本定理


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问题情境

v

v

v1

2011年11月3日1时43分,神舟八号与天宫一号第一次交会对接圆满成功,中国成为世界第三个独立掌握无人和载人空间对接技术的国家。承担“神舟八号”飞船和“天宫一号”目标飞行器发射任务的是“长征二号F”运载火箭。

v2


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给定平面内两个不共线的向量e1, e2,可表示平面内任一向量a吗?

依照速度的分解,平面内任一向量a可作怎样的分解呢?

探究:

平行四边形法则


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给定平面内两个不共线的向量e1, e2,

可表示该平面内任一向量a吗?

活动探究

M

C

A

O

N

B


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给定平面内两个不共线的向量e1, e2,

可表示该平面内任一向量a吗?

活动探究

N

A

B

C

O

M


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活动探究

共线,则

使

使


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如果

是同一平面内两个不共线向量,

那么对于这一平面的任意向量

一对实数,

使

把不共线的向量

( 2)

基底:

叫做这一平面内

思考:

上述表达式中的

是否唯一?

所有向量的一组基底.

建构数学

(1)平面向量基本定理

唯 一 性

存 在 性

有且只有

存在


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平面向量基本定理

二维平面

一维直线

思想有多远,就能走多远!


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想一想

无数

(1)一个平面内,可作为基底的向量有对。

(1)(3)


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A

2、作 OACB.

O

3、 就是求作的向量

例1.已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2

作法:1、任取一点O,作

C

B


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数学应用

例2

因为平行四边形的对角线互相平分


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F

s

B

F

O

S

A

我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)

思考:


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正交分解:

一个平面向量用一组基底

( 3 )

表示成:

称它为向量的分解.

互相垂直时,称为向量的正交分解.

平面向量的正交分解

即把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解


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y

P

a

x

o

探索1:

以O为起点, P 为终点的向量能否用坐标表示?如何表示?


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一 一 对 应

向量

P(x,y)

向量的坐标表示


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a

a

探索2:

在平面直角坐标系内,起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?

y

A

解决方案:

可通过向量的平移,将向量的起点移到坐标的原点O处.

x

o


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y

A

x

O


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如图, 是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量,若以 为基底,则

这里,我们把(x,y)叫做向量 的坐标,记作

其中,x叫做 在x轴上的坐标,y叫做 在y轴上的坐标,①式叫做向量的坐标表示。

平面向量的坐标表示


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y

o

x


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例题

例1.如图,分别用基底 , 表示向量 、 、 、 ,并求出

它们的坐标。

A2

解:如图可知

A

A1

同理


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C

D

M

A

B

N

数学应用

例2、如图,已知梯形ABCD,AB//CD,

且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点.

例3


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D

B

A

C

数学应用

例3


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例2如图, 、 不共线, , 用 、 表示 .

P

解:

B

A

O


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C

E

D

A

B

F

例3 ABCD中,E、F分别是DC和AB的中点,试判断AE,CF是否平行?

解:

取基底

则有

∵ 共线,又无公共点,


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A

B

C

D

课堂练习

(2)


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C

D

P

Q

A

B

课堂练习


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C

D

P

Q

A

课堂练习

B

E


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(2)实数对 的存在性和唯一性

课堂小结

1、平面向量基本定理

2、对基本定理的理解

(1)基底不唯一,关键是不共线

3、应用定理的关键是掌握向量的加法法则和向量共线定理


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