ボース・アインシュタイン凝縮体での時空アナロジー

『アインシュタインの物理』でリンクする研究・教育拠点研究会 2009. 10. 24　於　大阪市立大学ボース・アインシュタイン凝縮体での時空アナロジー栗田泰生 (神奈川工科大学）共同研究者の皆様: 小林未知数 (東京大学)、　坪田誠 (大阪市立大学) 石原秀樹 (大阪市立大学)、森成隆夫 (京大基研)

目次 1．BECの動的な振舞い 2．動的なBECで期待される粒子生成 3．曲った時空上の場の量子論との対応（アナロジー） 4．曲った時空上の場の量子論としての粒子生成 5．まとめ

冷却原子気体 Bose-Einstein condensates • ボース粒子たちは、同じ量子状態を占めることができる. • 閉込ポテンシャル中では超低温で, 多くのボ－ス粒子が基底状態 ⇒　凝縮 • 冷却原子気体BECは実験的に実現している. • Gross-Pitaevskii (GP) 方程式に定量的に従う. • GP 方程式を解くことで凝縮体のダイナミクスがわかる. Atomic interaction Trapping potential 400nK, 200nK, 50nK 凝縮体波動関数 M.H.Anderson et al., Science 269, 198 (1995)

Gross-Pitaevskii 方程式 凝縮体のダイナミクスを記述する方程式： Trapping potential Atomic interaction とすると連続の式ここで凝縮体の位相が速度ポテンシャル

Gross-Pitaevskii 方程式 凝縮体のダイナミクスを記述する方程式： Trapping potential Atomic interaction とすると連続の式オイラー型の式ここで凝縮体の位相が速度ポテンシャル凝縮が起こったとき凝縮体は完全流体的に振舞うが満たされて、完全流体と同様になることがわかる

励起場の量子論 励起場に対する方程式（Bogoliubov-de Gennes) 場の演算子 BdG ハミルトニアンの対角化 • ・準粒子状態はエネルギー固有状態 • ・生成・消滅演算子は、ハミルトニアンを対角化場の展開準粒子の生成・消滅演算子完全系

励起量子のスペクトル 凝縮体が定常なときに励起場のスペクトルを調べると、低エネルギー励起は　　音波（フォノン）的！冷却原子気体凝縮系は、やはり完全流体的に振舞う．

Bogoliubov 準粒子 励起場に対する方程式（Bogoliubov-de Gennes) 凝縮体の量 BdG ハミルトニアンの対角化 • ・準粒子状態はエネルギー固有状態 • ・生成・消滅演算子は、ハミルトニアンを対角化場の展開準粒子の生成・消滅演算子完全系

時間発展する BEC • 初期にハミルトニアンを対角化する生成消滅演算子は、時間発展後のハミルトニアンを一般には対角化しない • 時間発展後のハミルトニアンは、別な演算子たちで対角化される. • つまり、準粒子を定義する演算子が変わる！

粒子生成 二つの演算子たちは線形変換で結ばれる: 初期に準粒子状態は真空だったとしましょう：時間発展後の粒子数期待値: Particle creation（粒子生成）! 時間発展 BdG方程式を解くことで、求めることができる

膨張・収縮するBEC 凝縮体の大きさ横軸：半径縦軸：密度横軸：半径縦軸：音速流速時間

膨張BECでの粒子生成数値計算例 初期条件初期時刻　　　　　　　　に粒子は存在しないという状態を用意．では粒子が生成されている！凝縮体の大きさ Number 自発的な粒子生成 20 5 時間 Kurita, Kobayashi, Morinari, Tsubota, Ishihara : Phys. Rev. A 79, 043616 (2009)

ここまでのまとめ • 凝縮体は、完全流体的に振舞う． • 凝縮体が動くと、一般にはBogoliubov 準粒子が生成されると理論的に予想される． • 粒子生成は、自発的に起こる．（最後に再び議論します．） • 実は、 BEC系での粒子生成は、曲った時空上の場の量子論が予言する粒子生成とみなせる．

曲がった時空上の物質場の量子論 非自明な重力場（古典場）特徴：　時空がダイナミカルに変化 ⇒ 粒子生成 WMAPによるＣＭＢ例・インフレーションなどの宇宙膨張・重力崩壊によるブラックホール形成 Hawking 輻射（ブラックホールから熱輻射が出る！）曲がった時空上の場の理論の直接検証は難しい

Unruh PRL (1981) 流体上の時空アナロジー • BECに限らず、一般の流体の話． • 流体上を伝播するフォノンは、時空上を伝播する場とみなせる．曲った時空（重力場）流れる流体物質の量子場 (量子・フォトン) 音波の場 (フォノン)

流体を用いたアナロジー • 流体（空気）上の場（音波）の伝播：）））音波（速度ポテンシャル）が従う式：

曲った時空上スカラー場のE.O.M. • 一般の時空の線素 (無限小離れた2点間の距離)： • この時空上のスカラー場の作用：曲がった時空上の場の運動方程式

流体を用いたアナロジー • 流体（空気）上の場（音波）の伝播：）））音波（速度ポテンシャル）が従う式：アナロジー時空計量

特にBECの場合 BEC上量子の生成・消滅演算子 • 場: • 展開関数系： satisfy (1) E.O.M. (2) Orthonormal relation BdGの直交性曲った時空上の場の量子論とBdG理論は、とてもよく対応する Kurita, Kobayashi, Morinari, Tsubota, Ishihara : Phys. Rev. A 79, 043616 (2009)

BEC理論でのアナロジー • GP方程式　⇒　完全流体的な振舞い • 励起場に対する BdG方程式 ⇒ 音波的な振舞い • アナロジーとして冷却原子BEC系（BdG理論）は曲がった時空上の場の理論と対応が非常によい． • BdGハミルトニアンの再対角化によって計算される粒子生成は、　　アナロジー時空上の場の理論を用いて計算したものと一致する． • BEC系で粒子生成が実験的に検証できれば、曲がった時空上の場の量子論の粒子生成が検証されると思える．

膨張・収縮するBEC 動的凝縮体の準備凝縮体の大きさ（１）振動数who = whoiの　　閉込ポテンシャルで　　定常状態を用意（２） t = 0 において whof = 0.707 whoi とした．パラメーター：87Rb GP方程式を解いた！

膨張・収縮宇宙のアナロジー 膨張BECは膨張宇宙に対応音波で測った時空の大きさが大きくなる：このBECは非一様な膨張・収縮宇宙に対応

膨張BEC（膨張宇宙）での粒子生成 ある時刻　　　　　に粒子（フォノン）は存在しなかったと初期状態を設定それでも　　　　　では粒子が生成されている！ Number 20 5 = 5 nK

凝縮体への反作用 • BdG理論では、凝縮体だけで保存則を満たす．　　⇒　粒子生成による凝縮体への反作用は取り扱えない．　　　　（粒子生成による時空への反作用） • 動的問題に適用できる平均場理論が提唱されている．　　（ゴールドストーンモードを保持、保存則を満たす） • この理論でも曲がった時空上の場の量子論的な見方ができる．　　（粒子生成の計算法については、現在研究中）厳密な理論に期待される性質 Kita :JPSJ 74 pp.1891 (2005), JPSJ 75, 044603 (2006) 　他

まとめ • 曲った時空上の場の量子論は、BEC上の励起場の量子論と非常に良く対応する． • BECを用いて曲った時空上の場の量子論的効果を検証できると期待． • また、BEC系の北理論では、粒子生成による凝縮体への反作用を扱うことができると期待． • 物性系においても、粒子生成は面白い．その理由は・・・

粒子生成の特徴 • 例として球対称な凝縮体変化を考えましょう！　　球対称な摂動　⇒　球対称な励起　　場の理論における粒子生成　　　　　　⇒　球対称も非球対称もすべてのモードが励起 • 別な例：　　一様等方な宇宙膨張での粒子生成は非一様・非等方成分も生みだす．球面調和展開例：球対称重力崩壊で形成されたブラックホールからの　 Hawking 輻射物理過程として純粋に面白い

動的カシミール効果 • 凝縮体全体を励起させて時間発展させると、やがて凝縮体は静的状態（基底状態）に落ち着く．　　このとき、準粒子を放出させる現象を動的カシミール効果と呼ぶらしい． • 粒子生成は、この効果の機構となっていると思われる．

北理論での初等的アナロジー • アナロジーで現れる有効計量：励起場の生成演算子反作用の効果： • 反作用に効くのは、アノマラスな項のみ． • 　反作用の影響は、原子間相互作用の強さに吸収できる．

BEC上の励起場 • BEC上の励起場は、Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式に従う． • BdG方程式：場を展開としましょう。ただし係数関数が満たすべき方程式：

ボース・アインシュタイン凝縮体での時空アナロジー