CONSEGUENZE FONDAMENTALI DELLA CONTINUITÀ E DELLA DIFFERENZIABILITÀ DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

1. CONSEGUENZE FONDAMENTALI DELLA CONTINUITÀ E DELLA DIFFERENZIABILITÀ DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

2. Argomenti della lezione • Conseguenze della continuità delle funzioni. • Conseguenze della differenziabiltà delle funzioni di più variabili: continuità, derivabilità, gradiente.

3. CONSEGUENZE DELLA CONTINUITÀ

4. Un sottoinsieme A  Rn si dice limitato se esiste un numero reale r > 0, tale che A  {x  Rn : |x|<r } = SOr. Un sottoinsieme K  Rn limitato e chiuso si dice anche un insieme compatto.

5. Teorema (di Weierstrass) Ogni funzione continua f : K  Rn R, con K chiuso e limitato, ha un valore massimo e uno minimo.

6. Un arco di curva continua è una funzione f : I Rn , f = (f1 , .., fn)T,nella quale le singole componenti f1(t), .., fn(t) sono funzioni continue. I = [a,b] è un intervallo della retta reale, per esempio I = [0,1]. Un sottoinsieme A  Rn si dice connesso (per archi) se comunque si prendano due punti x,y  A esiste un arco di curva continua a valori in A che congiunge x con y.

7. f(0)= (f1(0),…, fn(0))T = x y x f(1)= (f1(1),…, fn(1))T = y

8. Teorema (degli zeri) Sia A un insieme connesso in Rn e f : A Rn R, una funzione continua. Se x e y sono punti di A tali che f(x) > 0 e f(y) < 0, allora esiste z  A tale che f(z) = 0.

9. CONSEGUENZE DELLA DIFFERENZIABILITÀ

10. Teorema Ogni funzione differenziabile in un punto x0 è continua nello stesso punto.

11. f : A Rn R Ç si dice differenziabile in x0 = (x01, x02 ,… x0n)T se esiste un’ applicazione lineare L : Rn R tale che f(x) = f(x0)+ L(x-x0)+e(x)|x-x0| cone(x) 0 se x  x0.

12. Un’applicazione lineare L : Rn R si scrive esplicitamente L(x - x0) = L1(x1- x10)+…+ Ln(xn- xn0) con L1, …, Ln numeri reali.

13. ( x0 ) lim ( x ) f f = x x0 ®

14. Teorema Se una funzione è differenziabile in un punto x0, essa ha derivate in ogni direzione in x0. In particolare, ha tutte le derivate parziali.

15. f(x0+vt)-f(x0) |t| _____________________ = L(v)+(x0+vt) t t Sia x = x0 + vt l’equazione della retta per x0 di direzione v. |x - x0| = |t|  |v| = |t|, poiché |v| = 1 (v è un versore).

16. ∂f ∂v (x0) = L(v) = L1v1+…+ Lnvn ∂f ∂ek (x0) = L(ek) = L10+…+ Lk1 + …+ Ln0= Lk = ∂f ∂xk (x0) Dunque In particolare

17. dfx0(x-x0) = L(x-x0) = ∂f ∂xn ∂f ∂x1 (x0)(xn- xn0) (x0)(x1- x10)+…+ ∂f ∂xn ∂f ∂x1 ∂f ∂v (x0)vn (x0) = (x0)v1 +…+ Si dice differenziale di f in x0 La derivata direzionale si scrive

18. ∂f ∂xn ∂f ∂x1 dfx0= (x0)dxn (x0)dx1+…+ Se f, in particolare, è la proiezione sull’asse k-esimo, f(x1,…, xn) = xk, le derivate parziali di f rispetto a xi sono Di f(x0) = ik(0 se i≠k, 1 se i=k), e perciò il suo differenziale in x0è dfx0(x-x0) = xk - xk0. Dunque: dxk (x-x0) = xk - xk0. Da ciò nasce la notazione spesso usata

19. Il vettore che ha come componenti le derivate parziali di f in x0 si dice il gradiente della funzione in x0. (grad f)(x0) = (f )(x0) = =((∂f/∂x1)(x0), …, (∂f/∂xn)(x0))T= =((D1f)(x0) , …, (Dnf)(x0))T

20. CONCLUSIONE Se f è differenziabile in x0 f ha derivate in x0 in ogni direzione e (Dvf)(x0) = (grad f)(x0)v = = (f)(x0)v = (f)(x0), v Nota: il simbolo  si legge “nabla”.

21. Supponiamo |(f)(x0)| ≠ 0. Poiché (Dvf)(x0) = (f)(x0), v = |(f)(x0)||v| cos  Il massimo di (Dvf)(x0) si ha per =0, il minimo per  =. Cioè la derivata direzionale è massima nella direzione di (f)(x0);minima nella direzione opposta -(f)(x0).

22. ULTERIORI CONSEGUENZE DELLA DIFFERENZIABILITÀ Se f è differenziabile in x0 vale f(x) = f(x0)+ L(x-x0)+e(x)|x-x0| cone(x) 0 se x  x0.

23. Il valore di f(x) è dato dalla somma di un termine lineare f(x0)+ L(x-x0) e di un contributo infinitesimo e(x)|x-x0| d’ordine maggiore di uno (rispetto a |x-x0| ). Il termine lineare f(x0)+ L(x-x0) è in Rn l’equazione di un “iperpiano”, che si dice l’iperpiano tangente al grafico di f in x0.

24. ∂f ∂y ∂f ∂x z-z0= (x0)(x-x0)+ (x0)(y -y0) ∂f ∂xn ∂f ∂x1 z-z0= (x0)(xn-xn0) (x0)(x1-x10)+…+ Equazione dell’iperpiano tangente al grafico di f in x0. Equazione del piano tangente al grafico di f(x,y) in (x0,y0).