De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn.

1. De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn. algemene vergelijking : y = ax + b a = hellingsgetal of richtingscoëfficient altijd 1 naar rechts a omhoog b = “begingetal” of snijpunt met de verticale as horizontale lijn a = 0  y = getal 2.1

2. voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2 y 1) gebruik het snijpunt met de verticale as en de r.c. 2 teken de rechte lijn · 1 0 1 2 3 4 5 snijpunt (0,-2) x 3 -1 r.c. = ¾ · -2 4 -3 noemer altijd naar rechts teller naar boven of beneden 2.1

3. Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2 voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig 2) maak een tabel met 2 punten y 2 x 0 4 · 1 y -2 1 0 1 2 3 4 5 x teken de grafiek m.b.v. de tabel -1 · -2 -3 2.1

4. · opgave 5 A p y 5 k a teken de lijn p : y = -2,5x + 6 (0, 6) en (2, 1) en de lijn q : y = 1,2x – 3 (0, -3) en (5, 3) b lijn p snijdt de y-as in A lijn k gaat door A en is evenwijdig met de lijn q a = 1,2 en b = 6 k: y = 1,2x + 6 c lijn l gaat door O(0, 0)  b = 0 en is evenwijdig met p  a = -2,5 l : y = -2,5x d lijn q snijdt de y-as in B horizontale lijn m gaat door B m : y = -3 4 q · 3 2 · 1 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 -2 l · B m -3

5. opgave 12 lijn n gaat door het punt A(18, 50) en is evenwijdig met de lijn p: y = -2,5x + 18 a n : y = ax + b a = rcn = rcp = -2,5 n : y = -2,5x + b door A(18, 50) dus n : y = -2,5x + 95 b snijpunt met de x-as , dus y = 0 -2,5x + 95 = 0 -2,5x = -95 x = 38  dus P(38, 0) snijpunt met de y-as , dus x = 0 y = -2,5 . 0 + 95 = 95  dus Q(0, 95) c xR = -20 invullen  yR = -2,5 × -20 + 95 = 145 d los op : -2,5x + 95 = 45 -2,5x = -50 x = 20  dus xS = 20 50 = -2,5 × 18 + b 50 = -45 + b 95 = b

6. werkschema : het oplossen van lineaire vergelijkingen 2.1

7. opgave 16 l : y = 2,4 m : y -1,8x + 6 n : y = 1,2x + 3,6 a bereken snijpunt S van de lijnen m en n -1,8x + 6 = 1,2x + 3,6 -3x = -2,4 x = 0,8 dus xS = 0,8 yS = -1,8 × 0,8 + 6 = 4,56 dus S(0,8 ; 4,56) y 5 · n S 4 3 l 2 1 m 0 1 2 3 4 5 -1

8. opgave 16 l : y = 2,4 m : y -1,8x + 6 n : y = 1,2x + 3,6 b lijn l snijdt de lijnen m en n in de punten A en B bereken lengte AB -1,8x + 6 = 2,4 -1,8x = -3,6 x = 2  xA = 2 1,2x + 3,6 = 2,4 1,2x = -1,2 x = -1  xB = -1 dus AB = 2 - -1 = 3 y 5 n 4 3 B A l 2 1 m 0 1 2 3 4 5 -1

9. opgave 16 l : y = 2,4 m : y -1,8x + 6 n : y = 1,2x + 3,6 c lijn m snijdt de x-as in C en lijn n snijdt de x-as in D bereken lengte CD -1,8x + 6 = 0 -1,8x = -6 x = 3⅓ xC = 3⅓ 1,2x + 3,6 = 0 1,2x = -3,6 x = -3  xD = -3 dus CD = 3⅓ - -3 = 6⅓ y 5 n 4 3 l 2 m 1 D C 0 1 2 3 4 5 -1 -3 -2

10. Richtingscoëfficiënt berekenen rechts ∆x y omhoog ∆y · B yB – yA = ∆y yB dus r.c. = ∆y : ∆x ∆y · A yA ∆x 0 xA xB x xB – xA = ∆x 2.2

11. voorbeeld Gegeven zijn de punten A(1, 4) en B(5, 1).Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B. y · 4 A 4 yB – yA = 1 - 4 rechts ∆x 4 xB – xA = 5 - 1 -3 omhoog ∆y -3 · r.c. = ∆y : ∆x rc = -3/4 = -¾ m: y = ax + b y = -¾x + b door A(1, 4) 4 = -¾ · 1 + b 4 = -¾ + b 4¾ = b  b = 4¾ m : y = -¾x + 4¾ B 1 0 1 5 x Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule, de manier blijft hetzelfde. 2.2

12. opgave 22b R is een lineaire functie van tmet de punten (35,10) en (60,35) R · rechts ∆t 25 35 omhoog ∆R 25 ∆R = 35 - 10 25 r.c. = ∆R : ∆t rc = 25/25 = 1 R = at + b R = 1t + b door (35, 10) 10 = 1 × 35 + b 10 = 35 + b -25 = b  b = -25 R = t - 25 · 10 25 0 35 60 t ∆t= 60 - 35

13. opgave 24 a formule : B = aw + b met a = bij w = 89 hoort B = 120,13 bij w = 112 hoort B = 145,89 B = 1,12w + b w = 89 en B = 120,13 dus B = 1,12w + 20,45 b het vastrecht is € 20,45 de prijs per m3 water is € 1,12 c w = 97 geeft B = 1,12 × 97 + 20,45 = 129,09 ze moeten € 129,09 betalen d 1,12w + 20,45 = 161,57 1,12w = 141,12 w = 126  ze hebben 126 m3 water verbruikt ∆B∆w 145,89 – 120,13 ∆B∆w a = = = 1,12 112 - 89 120,13 = 1,12 × 89 + b 120,13 = 99,68 + b 20,45 = b

14. Formules van lijnen bij het opstellen van een lineaire formule kunnen de volgende situaties voorkomen : 1 de formule volgt uit de tekst 2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de r.c. af te lezen 3 een punt en de r.c. zijn gegeven 4 twee punten zijn gegeven 2.2

15. 1 de formule volgt uit de tekst Een zwembad wordt gevuld met water op t = 0 is de waterhoogte 5 cm. iedere minuut stijgt het water met 7 cm. in de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minuten de formule wordt dan : h = 5 + 7t of h = 7t + 5 2.2

16. 2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de r.c. af te lezen delen door hetzelfde getal altijd 1 naar rechts y 2 : 2 · 2 1 rechts 2 1 omhoog -3 -1,5 0 1 2 3 4 5 x -3 -1 : 2 · dus r.c. = -1,5 snijpunt met de verticale as is (0, 1) de formule wordt dan y = -1,5x + 1 -2 -3 2.2

17. 3 een punt en de r.c. zijn gegeven de lijn m gaat door het punt A(2, 6) en r.c.m = -4 alg. verg. : y = ax + b r.c.m = a = -4 y = -4x + b de lijn gaat door het punt (2, 6) 6 = -4 ·2 + b 6 = -8 + b 6 + 8 = b 14 = b b = 14 dus m : y = -4 x + 14 y 8 · A 1 6 -4 4 · 2 0 1 2 3 4 5 x -2 2.2

18. 4 twee punten zijn gegeven · : 20 N 80 rechts 20 1 60 omhoog 60 3 60 40 : 20 · 20 dus r.c. = 3 snijpunt met de verticale as is (0, 20) de formule wordt dan N = 3t + 20 20 0 5 10 15 20 25 t 2.2

19. Opties van de GR • Op de GR kun je formules invoeren en vervolgens de grafieken plotten. • De GR bezit opties om : • bij een gegeven x de y-waarde te berekenen • de coördinaten van snijpunten te berekenen • de coördinaten van toppen te berekenen • de coördinaten van de snijpunten van een grafiek met de x-as te berekenen • bij een formule een tabel laten maken 2.3

20. Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR ? 1 noteer de formules die je invoert, dus schrijf op y1 = … en y2 = … 2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat 3 beantwoord de gestelde vraag 2.3

21. Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming. praktisch probleem met gegevens en tabellen wiskundig model pas het model toe stel het model bij voorspellingen en conclusies gegevens en tabellen controle 2.3

22. opgave 41 kaars I : L = 18 – 1,5t√t kaars II : L = 15 – 1,9t t = 0  20.00 uur a voer de formules in t = 4  I(6cm),II(7,4cm) b plot de grafieken c 20.30 uur  t = 0,5 Lkaars1 ≈ 17,5 cm. 21.50 uur  t = 1⅚ Lkaars1 ≈ 14,3 cm. d 22.40 uur  t = 2⅔ Lkaars2 ≈ 9,9 cm. 20  lengte in cm ∙ ∙ 16 ∙ ∙ 12 8 4 ∙ ∙ 0 2 4 6 8 10  tijd in uren

23. opgave 41 e optie intersect x = 3,43 en y = 8,5 bij t ≈ 3,43hoort 23.25uur de kaarsen zijn dan 8,5cm lang f voer in y3 = 12 optie intersect met y2 en y3 geeft x ≈ 1,58 1,58 uur = 1 uur en 35 minuten kaars I is dan 15,0 cm lang g optie zero (of ROOT) kaars I  x = 5,24 na 5 uur en 14 min is kaars I op kaars II  5,0 cm. h t = 2,5  lengte kaars I = 12,1cm. en lengte kaars II = 10,3 cm. dus het lengteverschil is 1,8 cm. 20  lengte in cm ∙ ∙ 16 ∙ ∙ 12 12 8,5 8 4 ∙ ∙ 0 2 4 6 8 10 1,58 3,43  tijd in uren

24. opgave 36 N N = 480t² - 40t³ t = 0 om 9.00 uur de dierentuin sluit om 21.00 uur a voer in y1 = 480x² - 40x³ 12.50 uur  3.50 uur later t = 3⅚  N = 4800,2 dus 4800 mensen b het drukst  maximum optie maximum  top ( 8 , 10240 ) 8 uur later dus om 17.00 uur dan zijn er 10240 bezoekers (8,10240) 8000 0 t 12 5,58 10 c voer in y2 = 8000 optie intersect x ≈ 5,58 v x = 10 0,58 uur = 0,58 x 60 ≈ 35 minuten 5 uur en 35 min. later  14.35 uur 10 uur later  19.00 uur dus om 14.35 uur of 19.00 uur je moet de uitkomsten van een model ‘terugvertalen’ naar de gegeven situatie

25. opgave 39 a voer in y1 = -45x3 + 2500x2 – 275000 b voer in y2 = 500 000 optie intersect x ≈ 23 en x ≈ 48,1 de reclamekosten zijn ongeveer € 230 000 of € 481 000 c voer in y3 = 600 000 optie intersect x ≈ 25,4 en x ≈ 46,6 de reclamekosten liggen tussen € 254 000 en € 466 000 d optie maximum x = 37,0 en y = 868 118 de maximale winst is ongeveer € 868 000 e x = 23 geeft y1 = 499985 x = 46 geeft y1 = 634880 x 100% = 26,98% dus een toename van 27,0% W ∙ 500000 100000 ∙ 23 48,1 50 x ∙ 634880 - 499985 499985

26. Algebraïsch oplossen van kwadratische vergelijkingen 1 het type x² = getal 2 ontbinden in factoren 3 de abc-formule 2.4

27. 1 x² = getal • x = √getal v x = -√getal • voorbeeld 1 • x² = 7 • x = √7 v x = -√7 • voorbeeld 2 • x² = -16 • x = √-16  k.n. heeft dus geen oplossingen • voorbeeld 3 • (x + 5)² = 16 • x + 5 = √16 v x + 5 = -√16 • x + 5 = 4 v x + 5 = -4 • x = 4 – 5 v x = -4 – 5 • x = -1 v x = -9 a x² = positief getal 2 oplossingen b x² = 0 x = 0  1 oplossing c x² = negatief getal k.n.  geen oplossing 2.4

28. 2 Ontbind in factoren a maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengen b vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijk c ontbind het linkerlid in factoren d A · B = 0  A = 0 v B = 0 voorbeeld 1 x² - 3x = 5x – 15 x² - 3x – 5x + 15 = 0 x² - 8x + 15 = 0 ( x – 3 )( x – 5 ) = 0 x – 3 = 0 v x – 5 = 0 x = 3 v x = 5 prod=+15 ad a opgeteld = -8 +1 +15 ad b -1 -15 ad c product = +15 +3 +5 ad d -3 -3 -5 -5 ad d 2.4

29. 3 De abc-formule bij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc – formule als ontbinden in factoren niet lukt de vergelijking eerst gelijk aan 0 stellen x = - b + √D v x = - b - √D 2a 2a D = b² - 4ac D > 0  2 oplossingen D = 0  1 oplossing D < 0  0 oplossingen 2.4

30. De vergelijking x² = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen 1 algebraïsch x² = 2x + 3 x² - 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x + 1 = 0 v x - 3 = 0 x = -1 v x = 3 prod= -3 +1 -3 +1 -3 -1 +3 2.4

31. f(x) = 0  nulpunten berekenen optie zero of ROOT 2 grafisch-numeriek (m.b.v. GR) de oplossingen van de vergelijking x² = 2x + 3 zijn de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = x² en g(x) = 2x + 3 voer in y1 = x² en y2 = 2x + 3 optie intersect geeft x = -1 v x = 3 2.4

32. y 10 y1 Grafisch-numeriek 8 x² = 2x + 3 y1 = x² y2 = 2x + 3 optie intersect x = -1 v x = 3 6 4 2 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 3 4 x -2 y2 -4 -6

33. y voorbeeld 0,5x² - 7x = 5 y1 = 0,5x² - 7x y2 = 5 optie intersect x ≈ -0,681 v x ≈ 14,681 y1 y2 -0,681 0 14,681 x

34. werkschema bij het oplossen van ongelijkheden 1 schets de grafieken van f en g 2 los de vergelijking f(x) = g(x) op 3 lees uit de schets de oplossingen af Los algebraïsch op y x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 f(x) = g(x) x² = 2x + 3 x²- 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x = -1 v x = 3 aflezen uit de schets -1 < x < 3 f Lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g. -1 0 3 x g

35. voorbeeld Wanneer ligt de dalparabool onder de bergparabool ? x2 – 4x ≤ -x2 – 5x + 6 x2 – 4x = -x2 – 5x + 6 x2 + x2 – 4x + 5x – 6 = 0 2x2 + x – 6 = 0 D = 12 – 4 · 2 · -6 D = 1 + 48 = 49 x = (-1 ± √49) : 4 x = 1,5 v x = -2 -2 ≤ x ≤ 1,5 -2 1,5 2.4

36. opgave 49 y h > 9 -5t² + 15t > 9 voer in y1 = -5x² + 15x y2 = 9 optie intersect x ≈ 0,83 v x ≈ 2,17 aflezen uit de schets 0,83 < x < 2,17 de bal is 2,17 – 0,83 = 1,3 seconden hoger dan 9 m. y1 y2 0 0,83 2,17 x

37. Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporen hoogste punt  maximum max.  grootste functiewaarde max. is een y-coördinaat laagste punt  minimum max. en min. heten uiterste waarden of extremen 2.5

38. Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR 1 voer de formule in bij y1 2 schets de grafiek 3 gebruik de opties maximum en/of minimum bij het berekenen van de extreme waarden 4 zet in je schets de coördinaten van de toppen 5 noteer de extreme waarden in de vorm : min. is f(…) = … of max. is f(…) = … 2.5

39. Werkschema: het tekenen van de grafiek van een functie 1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster, waarbij het verloop van de grafiek goed zichtbaar is. 2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift. 3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen. 2.5

40. opgave 52 y 8 • f(x) = -0,4x² + 2,4x + 3 • a teken mbv GR • b optie maximum • max. van f is f(3) = 6,6 • c symmetrieas : x = 3 • d f(-3,6) = -10,824 • f(1,7) = 5,924 • e voer in y2 = 4 • optie intersect • x ≈ 0,45 en x ≈ 5,55 (3 ; 6,6) 6 f 4 4 2 -2 0 2 4 6 8 0,45 3 5,55 x -2

41. opgave 56 h = 0,021x(192 – x) a h = 0  0,021x(192 – x) = 0 x = 0 v x = 192 er zit 192 m. tussen de uiteinden op de grond voer in y1 = 0,021x(192 – x) met Xmin = 0 , Xmax = 200 , Ymin = 0 en Ymax = 200 optie maximum x = 96 en y = 193,536 dus de boog is 193,5 m. hoog c voer in y2 = 165 optie intersect x ≈ 59,14 en x ≈ 132,86 de afstand is 132,86 – 59,14 ≈ 73,7 m. 193,536 165 96 192 0 59,14 132,86 2.5

42. opgave 60 a p = aq + b met a = = = -0,125 p = -0,125q + b p = 20 en q = 300 dus p = -0,125q + 57,5 b R = pq R = (-0,125q + 57,5) · q R = -0,125q2 + 57,5q c -0,125q2 + 57,5q = 0 q2 – 460q = 0 q(q – 460) = 0 q = 0 v q = 460 voer in y1 = -0,125x2 + 57,5x met Xmax = 460 optie maximum x = 230 en y = 6612,5 q = 230 p = -0,125 · 230 + 57,5 = 28,75 de ritprijs bij maximale dagopbrengst is €28,75 ∆p ∆q 2,50 -20 20 = -0,125 · 300 + b 20 = -37,5 + b 57,5 = b