Фактор-критические графы

1. Фактор-критические графы Лекция 9

2. Необходимость • Необходимое условие для графа иметь совершенное паросочетание – это четное число вершин в каждой компоненте связности. • Однако это условие не является достаточным.

3. Нечетные связные компоненты

4. # нечетных связных компонент Пусть X  V(G), иqG(X) ― числонечетных связных компонентв G – X. Если qG(X) > |X| для некоторогоX  V(G), тоGне имеет совершенного паросочетания.

5. Условие Татта Определение9.1 • Граф G удовлетворяет условиюТатта,если qG(X) ≤ | X | для всехX  V(G). • Непустое множество вершин X  V(G)называется барьером,если qG(X) = | X |.

6. Фактор-критический граф Утверждение 9.2 Для любого графа G и любого X  V(G) имеемqG(X) – | X | ≡ |V(G)| (mod 2). Определение 9.3 • Граф G называетсяфактор-критическим, еслиG – v имеет совершенное паросочетание для каждого v V(G). • Паросочетаниеназывается почти совершенным,если оно покрывает все вершины кроме одной.

7. Упражнение 9.1 • Доказать, что фактор-критический граф всегда является связным.

8. Теорема Татта Теорема 9.4 (Tutte [1947] ) Граф G имеетсовершенное паросочетание тогда и только тогда, когдаон удовлетворяет условиюТатта: qG(X) ≤ | X | для всехX  V(G).

9. qG(X) ≤ | X | для всехX  V(G) • Докажем достаточность индукцией по |V(G)|. • Утверждение очевидно для |V(G)| ≤ 2. • Пусть Gудовлетворяет условию Татта. •  в нем четное число вершин (иначе qG()≥ 1). • Утверждение 9.2 |X| –qG(X) четно для всех X  V(G). • Четность и условие Татта  одновершинное множество является барьером. • Выберем максимальный по мощности барьер X.

10. qG(X) ≤ | X | для всехX  V(G) • Выберем максимальный по мощности барьер X. • G– Xимеет |X| нечетных связных компонент. • В G– X нет четных связных компонент. • Докажем, что каждая нечетная связная компонента в G– X является фактор-критической (для любой v ∈G– X, G– X –v имеет совершенное паросочетание).

11. qG(X) ≤ | X | для всехX  V(G) • Пусть C нечетная связная компонента G– Xи v ∈ V(C), такие что в C– v нет совершенного паросочетания. • По индукции Y V(C)\{v} такой что qC–v(Y)> |Y |. • Утверждение 9.2 qC–v(Y)– |Y | четно qC–v(Y)≥ |Y |+2. • Так как X, Y, {v} попарно не пересекаются, то qG(XUYU{v}) = qG(X) – 1 + qC(YU{v}) = = |X | – 1 +qC–v(Y) ≥ ≥ |X | – 1 +|Y | +2 = = |XUYU{v}|. • XUYU{v} – барьер, что противоречит максимальности X.

12. Доказательство • Осталось найти паросочетание между вершинами Xи представителями связных нечетных компонент. • Двудольный граф G' : V (G' ) = XUZ,где Z множество вершин, соответствующих связным нечетным компонентам Czв G– X. • Вершины x  X и z  Zсвязаны ребром {x,z}  E(G' ), если  ребро из x в одну из вершин Cz . • Если в G'нет совершенного паросочетания, то Теорема Фробениуса  A Z такое, что |G' (A)| < |A|. • qG(G' (A)) ≥ |A| > |G' (A)|  противоречие.

13. Теорема Татта Теорема 9.4 (Tutte [1947] ) Граф G имеетсовершенное паросочетание тогда и только тогда, когдаон удовлетворяет условиюТатта: qG(X) ≤ | X | для всехX  V(G).

14. Формула Бержа-Татта Теорема 9.5 (Berge [1948] )

15. Доказательство ≤ • Для любого X  V(G), любое паросочетание должно оставлять по крайней мере qG(X) – | X | вершин не покрытыми. •  2ν(G) + qG(X) – | X | ≤ | V(G) |.

16. Доказательство ≥ H k G Если в Hестьсовершенное паросочетание, то 2ν(G) + k ≥ 2ν(H) – k = |V(H)| – k = |V(G)|.

17. Пусть в Hнетсовершенного паросочетания. • Теорема Татта   Y  V(H), такое что q(Y) > |Y|. • Утверждение 9.2  kимеет ту же четность как и V(G) V(H)– четно. •  Y ≠ и qH(Y)> 1. • Yсодержит все новые вершины. • qG(Y∩V(G)) = qH(Y) > |Y| = |Y∩V(G)| + k. • Противоречие с определением k.

18. Формула Бержа-Татта Теорема 9.5 (Berge [1948] )

19. Ушки Определение 9.6 • Декомпозицией графа G на множество ушек называетсяпоследовательность r, P1,...,Pkс G=({r},) + P1 + ... + Pk, такая чтокаждыйPiестьлибо путь с граничными точками из{r}UV(P1) U... UV(Pi–1), либоцикл, в котором ровно одна из еговершин принадлежит{r}UV(P1)U...UV(Pi–1) (i{1,...,k}). • P1,...,Pk называютсяушками. Если k ≥ 1, P1 ―циклдлины не меньше 3, иP2,...,Pk―пути,тодекомпозицияназываетсясовершенной.

20. Декомпозиция P2 P3 P5 P4 P1

21. Нечетнаядекомпозиция Определение 9.7 • Декомпозицияназываетсянечетной, есликаждое ушко имеет нечетную длину. Теорема 9.8 (Lovász [1972] ) Граф являетсяфактор-критическимтогда и только тогда, когдаон имеетнечетнуюдекомпозицию. Более того, начальная вершина в декомпозиции может быть выбрана произвольна.

22. Доказательство • Пусть Gграф с фиксированной нечетной декомпозицией. • Докажем что G фактор критический индукцией на число ушек. • Пусть P последнее ушко в нечетной декомпозиции.

23. Индукция G G P P

24. Доказательство • Выберем произвольную вершину z,как начальную вершину декомпозиции. • Пусть Mпочти совершенное паросочетание в G покрывающее V(G)/{z}. • Предположим, что мы построили нечетную декомпозицию для ĜGтакую, что zV(Ĝ), и M ∩ E(Ĝ) является почти совершенным паросочетанием в Ĝ.

25. Доказательство • Пусть G ≠ Ĝ. • G – связный, то {x,y} E(G) \ E(Ĝ), и xV(Ĝ). • Если yV(Ĝ) ,то {x,y} следующее ушко. • Иначе, пусть Nпочти совершенное паросочетание в G покрывающее V(G)/{y}. • Тогда M∆N содержит путь Pиз yв z. • Пусть wбудет ближайшая к y вершина в P, которая принадлежит Ĝ.

26. M∆N и P[y,w] G M P z N w x y Ĝ