M todos num ricos para edo s
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 20

Métodos Numéricos para EDO’s PowerPoint PPT Presentation


  • 57 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Métodos Numéricos para EDO’s. Métodos Numéricos para EDO’s. Esta parte compreende métodos que aproximam uma equação diferencial por uma equação de diferenças. Uma equação de diferenças de ordem n é uma sequência de equações da forma

Download Presentation

Métodos Numéricos para EDO’s

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


M todos num ricos para edo s

Métodos Numéricos para EDO’s


M todos num ricos para edo s1

Métodos Numéricos para EDO’s

  • Esta parte compreende métodos que aproximam uma equação diferencial por uma equação de diferenças.

    • Uma equação de diferenças de ordem n é uma sequência de equações da forma

      gk(yk+n, yk+n-1, … yk) = 0 k= 0, 1, 2, … (9)

      yi= i i = 0, 1, 2, …, n-1

    • Os gksão funções de n+1 variáveis e os valores i, i = 0(1)n-1, são específicos. Uma solução de tal equação é uma sequência {y0, y1, y2, y3, …, yn-1, yn} que satisfaz a (9).


M todos num ricos para edo s2

Métodos Numéricos para EDO’s

  • Note que determinar numericamente uma solução de uma equação diferencial é encontrar os valores y1, y2, …, yn através de uma aproximação da equação de diferenças.

    • Essa aproximação introduz um erro de truncamento e um erro de arredondamento


M todos num ricos para edo s3

Métodos Numéricos para EDO’s

  • Os métodos de passos simples necessitam apenas dos resultados de yk,do passo anterior, para determinar a aproximação de yk+1.

  • Os métodos de passos múltiplos servem para determinar a aproximação yk+1 a qual depende dos valores de yk, yk-1 . . .


M todos de euler

Métodos de Euler

  • O método de Euler é um método mais simples que oferece solução para EDOs com condições iniciais.

  • A simplicidade do método serve ilustrar técnicas usadas em outros métodos.

  • Ele consiste em aproximar a solução y ( x ), no sentido de uma linearização, por meio de suas tangentes (vide próximo slide).


M todos de euler1

y = F(x)

y2

y1

y0

x0

x1

x2

Métodos de Euler

  • Vamos resolver uma EDO de primeira ordem da forma y’(x) = f(x,y) sujeita à condição inicial y(x0) = y0 .

  • Suponha que y = F(x) e que a solução analítica seja a curva ilustrada abaixo.


M todos de euler2

y = F(x)

y2

y1

y0

x0

x1

x2

Métodos de Euler

  • Para fazer uma estimativa de y1, vamos considerar que:

    (dy/dx)|(x0, y0) = f(x0,y0)

  • Disso resulta:

    (y - y0)/(x - x0) = f(x0,y0)


M todos de euler3

Q = (x1,y)

y

P1 = (x1,y1)

y1

y0

x0

x1

Métodos de Euler

  • Considerando que se h = x1 - x0 tender a zero, teremos que a ordenada do ponto Q, y tende a y1 e daí:

    y = y0 + hf(x0,y0) ou

    y1y0 + hf(x0,y0)

Generalizando, obtemos a seguinte equação de diferenças:

yk+1= yk + hf(xk,yk)

que é a expressão do Método de Euler.


M todos de euler 2

Métodos de Euler (2)

  • Outra interpretação do método de Euler

  • Considere o problema

  • i.e., são dados um ponto de partida, (x0,y0), e uma direção a ser tomada, f (x, y ).

  • Desejamos determinar y (z ).


M todos num ricos para edo s

Interpretação geométrica do Método de Euler

Figura 1

y

y1

y ( x )

y0

x

h

x0

z = x1

Métodos de Euler (2)

Considere a Figura 1. A interpretação geométrica da figura nos permite escrever a equação:

F ’(x 0 ) = y’ (x0) = f (x0 , y 0)

Fazendo x1 – x0 = h

Obteremos y1 = y0 + h f (x0 , y 0)

ou

F(x 1) F(x0) + F ’(x0) (x1 – x0 )

(Taylor).


M todos num ricos para edo s

Interpretação geométrica do Método de Euler

Figura 1

y

y1

y ( x )

y0

x

h

x0

z = x1

Métodos de Euler (2)

F(x 1) F(x 0) + F ’(x 0) (x1 – x0 )

(Taylor).

Podemos dizer, portanto, que:

y1F(x 1) = F( z )

Note que estamos substituindo a função desconhecida y( x ) por, simplesmente uma reta em todo intervalo [x0; z] e calculando a imagem de z sobre ela o que pode ser uma aproximação ruim para y( z ).


M todos num ricos para edo s

Método de Euler considerando dois subintervalos

Figura 2

y

y ( x )

y2

y1

y0

x

h

h

z = x2

x0

x1

Métodos de Euler (2)

  • Todavia, note que podemos melhorar esta aproximação. Para isso, devemos subdividir o intervalo [x0; z] em subintervalos de amplitude constante, genericamente chamada de h.

  • Como sabemos calcular a direção da função incógnita y(x) em cada ponto, bastar substituir essa função por um segmento de reta, em cada um destes subintervalos.

  • Note que estes segmentos terão a direção que ela (função) tem no início de cada dos subintervalos, (veja Figura 2).

  • Assim, obtemos:

  • yi + 1 = yi + hf(xi, yi), i = 0, 1, 2, ...

  • que vem a ser o método de Euler.


M todos num ricos para edo s

Métodos de Euler (2)


M todos num ricos para edo s

Método Modificado de Euler

  • Um problema que ocorre no método “simples” de Euler é que ele pressupõe que a função que está sendo aproximada mantém, em todo intervalo, a direção que ela tem no extremo “de partida” dele.

  • O método modificado de Euler irá considerar também uma única direção para a função y ( x ), só que uma direção média entre aquela do “início” do intervalo e uma estimativa da direção no “final” dele.

  • Para tanto, em primeiro lugar, usando o método “simples” de Euler, fazemos uma previsão de yi + 1, chamada yi+1.


M todos num ricos para edo s

Método Modificado de Euler

Dessa forma,

Previsão :yi + 1 =yi + hf (xi , yi ).

Com esta previsão, podemos obter o valor aproximado da direção da curva y(x) no ponto (xi + 1, yi + 1) através de

f(xi + 1, y i + 1).

Determina-se a chamada correção,

Correção :

yi + 1 = yi + h/2[f(xi, yi) + f(xi + 1, yi + 1)].


M todos num ricos para edo s

Interpretação geométrica do Método modificado de Euler

Figura 3

y ( x )

y

( x1 ; y1 )

Direção média

( x1 ; y1 )

x

h

x1

x0

Método Modificado de Euler

Correção :

yi + 1 = yi + h/2[f(xi, yi) + f(xi + 1, yi + 1)]

Esta expressão é conhecida como o método modificado de Euler.

Uma interpretação geométrica deste método pode ser vista na Figura 3.


M todos num ricos para edo s

Método Modificado de Euler

Exemplo - Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y’ = f (x, y ) = 2x + 3 com a condição de valor inicial y ( 1) = 1.

Dividindo o intervalo [1; 2 ] em apenas uma parte, i.e, fazendo h =1 e, aplicando o método de modificado de Euler, determine o valor aproximado de y(2) para a equação dada.


M todos num ricos para edo s

Método Modificado de Euler

Solução

Sabendo que a cada aproximação é necessário fazer um processo de previsão – correção e, considerando h =1, temos yi + 1

Previsão

yi+1 = yi + hf(xi , yi )

no caso y1 = y0+ hf(x0, y0)

y1 = 1 + 1f(1, 1) = 1 + 1 (2x1 + 3) = 6


M todos num ricos para edo s

Método Modificado de Euler

Solução

Correção

yi+1 = yi + h/2[f(xi , yi ) + f(xi+1 , yi+1)]

y1 = 1 + ½[f(1, 1) + f(2, 6)]

y1 = 1 + 1/2[5 + 2x2+3] = 1 + 6 = 7.


Refer ncias

Referências

Ruggiero, M. A. G., Lopes, V. L. R., Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, Pearson/Markron Books, 2a. Edição, 1998.

Cláudio, D. M. e Martins, J. M., Cálculo Numérico Computacional, Ed. Atlas, 1987.

Barroso, L, Barroso, M.M.A., Campos Filho, F. F., Cálculo Numérico com Aplicações, Ed. Harbra, 1987.


  • Login